Рабочая тетрадь Теория игр БЭ БУАиА

его чистых стратегий.

2. Множество смешанных стратегий в количестве m геометрически представляет собой:

а) m-мерный симплекс, с вершинами, представляющими собой чистые стратегии; б) (m-1)-мерный симплекс, с вершинами, представляющими собой чистые стратегии;

в) (m+1)-мерный симплекс, с вершинами, представляющими собой чистые стратегии.

3.Максиминная смешанная стратегия – это стратегия, которая:

а) максимизирует показатель эффективности; б) минимизирует показатель эффективности.

4.Минимаксная смешанная стратегия – это стратегия, которая:

а) максимизирует показатель неэффективности; б) минимизирует показатель неэффективности.

5.Нижняя цена игры в чистых стратегиях по значению:

а) не превосходит нижнюю цену в смешанных стратегиях; б) равна нижней цене в смешанных стратегиях;

в) превосходит нижнюю цену в смешанных стратегиях.

6.Верхняя цена игры в чистых стратегиях по значению:

а) не меньше верхней цены в смешанных стратегиях; б) равна верхней цене в смешанных стратегиях;

в) превосходит верхнюю цену в смешанных

стратегиях.

Тема 6. Решение игры в смешанных стратегиях. Основная теорема теории матричных игр.

А) Раздел «Логика курса».

Ответьте на следующие вопросы:

1.Дайте определение цены игры в смешанных стратегиях.

2.Оптимальные смешанные стратегии.

3.Полное и частное решение игры в смешанных стратегиях.

4.Сформулируйте теорему Дж. Фон Неймана.

5.Свойства седловых точек для смешанных стратегий.

6.Критерий существования седловой точки в смешанных стратегиях. Б) Раздел «Тесты».

Вопрос	Ответ
1. Цена игры в смешанных стратегиях – это:
а) общее значение нижней и верхней цен игры;
б) значение нижней цены игры;
в) значение верхней цены игры.

2.В смешанных стратегиях решение игры: а) существует; б) не всегда существует; в) не существует.

3.У ограниченного сверху числового множества существует:

а) конечное множество верхних границ; б) бесконечное множество верхних границ.

4.Наименьшая из верхних границ называется:

а) супремум (supremum); б) инфинум (infninum).

5.У ограниченного снизу числового множества существует:

а) конечное множество нижних границ; б) бесконечное множество нижних границ.

6.Наибольшая из нижних границ называется:

а) супремум (supremum); б) инфинум (infninum).

Тема 7. Редуцирование игр. А) Раздел «Логика курса».

Ответьте на следующие вопросы:

1.Дайте определение операции редуцирования игр.

2.Какая комбинация строк (столбцов) матрицы является выпуклой?

3.Сформулируйте принцип доминирования для строк.

4.Сформулируйте принцип доминирования для столбцов.

5.Каким свойством должна обладать матрица, чтобы её можно было разбить на подматрицы?

Б) Раздел «Тесты».

Вопрос

Ответ

1.Редуцирование игры – сведение данной матрицы: а) к более простой матрице; б) к более сложной матрице.

2.Комбинация строк матрицы является выпуклой, если:

а) коэффициенты p1,…pm неотрицательны и их сумма равна единице;

б) коэффициенты p1,…pm положительны и их сумма равна единице;

в) коэффициенты p1,…pm неотрицательны и их сумма не превосходит единицы;

г) коэффициенты p1,…pm положительны их сумма не превосходит единицы.

3.Комбинация столбцов матрицы является выпуклой, если:

а) коэффициенты q1,…qm неотрицательны и их сумма равна единице;

б) коэффициенты q1,…qm положительны и их сумма равна единице;

в) коэффициенты q1,…qm неотрицательны и их сумма не превосходит единицы;

г) коэффициенты q1,…qm положительны их сумма не превосходит единицы.

4.Для игрока А доминируемая не дублирующая стратегия:

а) невыгодна; б) выгодна; в) безразлична.

5.Для игрока В доминируемая не дублирующая стратегия:

а) невыгодна; б) выгодна; в) безразлична.

6.Для игроков А и В предпочтительными оказываются:

а) доминируемые стратегии; б) дублирующие стратегии; в) доминирующие стратегии.

7.Если строка матрицы строго доминируется некоторой выпуклой комбинацией остальных её строк, то можно удалить:

а) данную строку; б) данную выпуклую комбинацию строк.

8. Разбиение матрицы на подматрицы возможно, если в каждой подматрице:

а) суммы элементов в строках равны между собой и суммы элементов в столбцах также равны между собой; б) суммы элементов в строках равны

соответствующим суммам элементов в столбцах.

Тема 8. Аналитическое и геометрическое решение игры 2x2. А) Раздел «Логика курса».

Ответьте на следующие вопросы:

1.Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования седловой точки в игре с матрицей 2x2.

2.Сформулируйте достаточное условие существования седловой точки в игре с матрицей 2x2.

3.Объясните алгоритм «А;В1» (построения отрезка a11a21).

4.Объясните алгоритм «А;В2» (построения отрезка a12a22).

5.Объясните алгоритм «А;В1, В2».

Б) Раздел «Тесты».

Вопрос

Ответ

1.В игре с матрицей 2x2 для существования седловой точки, необходимо и достаточно, чтобы одна из чистых стратегий была:

а) активной; б) пассивной.

2.В игре с матрицей 2x2 достаточным условием существования седловой точки, является:

а) равенство суммы элементов главной диагонали

сумме элементов побочной диагонали; б) равенство суммы элементов первого столбца сумме элементов второго столбца;

в) равенство суммы элементов первой строки сумме элементов второй строки.

3.Если матрица игры 2x2 – симметрическая, то у неё седловая точка:

а) существует; б) не существует;

в) может существовать.

4.Двоякосимметрическая квадратная матрица второго порядка:

а) имеет 4 седловых точки; б) имеет 2 седловых точки; в) не имеет седловых точек.

5.Если игрок А выбирает смешанную стратегию P,

аигрок B чистую стратегию, то отрезок a11a21 определяется:

а) чистой стратегией B1; б) чистой стратегией B2.

6.Если игрок А выбирает смешанную стратегию P,

аигрок B чистую стратегию, то отрезок a12a212 определяется:

а) чистой стратегией B1; б) чистой стратегией B2.

7.В игре 2x2 множество оптимальных стратегий каждого из игроков:

а) может либо состоять из единственной точки отрезка [0,1], либо представлять собой промежуток, только один конец которого совпадает с одним из

концов отрезка [0,1], либо совпадать со всем отрезком [0,1].

б) может либо состоять из единственной точки отрезка [0,1], либо представлять собой промежуток, только один конец которого совпадает с одним из концов отрезка [0,1].

в) может, либо представлять собой промежуток, только один конец которого совпадает с одним из концов отрезка [0,1], либо совпадать со всем отрезком [0,1].

Тема 9. Решение игр 2xn и mx2. А) Раздел «Логика курса».

Ответьте на следующие вопросы:

1.Как геометрически можно интерпретировать показатель эффективности стратегий игрока А в игре 2xn?

2.Дайте геометрическую интерпретацию цене игры 2xn.

3.Сформулируйте алгоритм нахождения цены игры 2xn и оптимальной стратегии игрока А.

4.Как геометрически можно интерпретировать показатель неэффективности стратегий игрока B в игре mx2?

5.Дайте геометрическую интерпретацию цене игры mx2.

6.Сформулируйте алгоритм нахождения цены игры mx2 и оптимальной стратегии игрока B.

Б) Раздел «Тесты».

Вопрос	Ответ
1. При геометрическом решении игры 2xn ордината
наивысшей точки нижней огибающей является:
а) ценой игры;
б) нижней ценой игры в чистых стратегиях;

в) верхней ценой игры в чистых стратегиях.

2.При геометрическом решении игры 2xn верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на перпендикулярах) является:

а) ценой игры; б) нижней ценой игры в чистых стратегиях;

в) верхней ценой игры в чистых стратегиях.

3.В игре 2xn у каждого из игроков А и B существует оптимальная стратегия, содержащая: а) не более двух чистых стратегий; б) более двух чистых стратегий; в) две чистые стратегии.

4.При геометрическом решении игры mx2 ордината минимальной точки верхней огибающей является:

а) ценой игры; б) нижней ценой игры в чистых стратегиях;

в) верхней ценой игры в чистых стратегиях.

5.При геометрическом решении игры mx2 нижний из двух концов верхней огибающей (лежащих на перпендикулярах) является:

а) ценой игры; б) нижней ценой игры в чистых стратегиях;

в) верхней ценой игры в чистых стратегиях.

6.В игре mx2 у каждого из игроков А и B существует оптимальная стратегия, содержащая: а) не более двух чистых стратегий; б) более двух чистых стратегий; в) две чистые стратегии.

Тема 10. Решение игры mxn методом Шепли-Сноу. А) Раздел «Логика курса».

Ответьте на следующие вопросы:

1.Дайте понятие крайних оптимальных стратегий.

2.Сформулируйте теорему Шепли-Сноу.

3.Объясните алгоритм решения игры mxn методом Шепли-Сноу.

4.Каков наименьший порядок подматриц, для которых применяется метод Шепли-Сноу?

5.Достаточными ли являются условия теоремы Шепли-Сноу?

Б) Раздел «Тесты».

Вопрос

Ответ

1.Если множество оптимальных стратегий изображается некоторым отрезком положительной длины, то оно вполне определяется:

а) своими крайними оптимальными стратегиями; б) своими оптимальными стратегиями.

2.Точка P выпуклого множества S называется крайней, если точку P:

а) можно представить выпуклой комбинацией двух других точек из множества S;

б) нельзя представить выпуклой комбинацией двух других точек из множества S.

3.Крайние точки выпуклого многогранника называют:

а) полярными точками; б) крайними точками

4.Любая оптимальная стратегия выражается:

а) выпуклой комбинацией крайних оптимальных

стратегий; б) комбинацией крайних оптимальных стратегий.

5. Условия теоремы Шепли-Сноу являются:

а) достаточными для того, чтобы оптимальные стратегии были крайними; б) необходимыми для того, чтобы оптимальные стратегии были крайними;

в) необходимыми и достаточными для того, чтобы оптимальные стратегии были крайними.

Тема 11. Решение игры mxn приближённым методом Брауна-Робинсон. А) Раздел «Логика курса».

Ответьте на следующие вопросы:

1.Какие предположения о правилах проведения игры mxn лежат в основе приближённого метода Брауна-Робинсон.

2.Исходя из каких соображений игроки А и B выбирают стратегии на первом, втором, k-шаге приближённого метода Брауна-Робинсон.

3.Дайте определение разрешающих последовательностей чистых стратегий.

4.Достаточным ли является условие «разрешимости» последовательности чистых стратегий для сходимости последовательностей соответствующих смешанных стратегий?

5.Как зависит скорость сходимости итерационного процесса БраунаРобинсон от размерности матрицы игры?

6.Какое условие определяет окончание итерационного процесса Брауна-Робинсон?

Б) Раздел «Тесты».

Вопрос	Ответ
1. Метод Брауна-Робинсон основывается на
предположении: