Системы

Из

распределительного

относительно

суммы

матриц

свойства имеем:

A(B C) AB AC , где

0

0

x1

y1

B

x20

, C

y20

.

xn0

yn0

Тогда

A( x0

2

y0 ) A( x0 ) A(

2

y0 ) Ax0

2

Ay0 0

2

0

0. Следовательно,

1

1

1

1

x0

2

y0

— решение системы (5.18). Теорема доказана.

1

Замечание. В случае неоднородной системы соответствующее утверждение не имеет

места.

Так как решения однородной системы (5.18) являются n-мерными векторами, ранг системы больше, чем n, быть не может, т.е. ранг ограничен (rg A n), а значит, максимальное число линейно независимых векторов решения тоже ограничено. Отсюда следует, что из числа решений однородной системы (5.18) можно выбрать конечную максимальную линейно независимую систему максимальную в том смысле, что всякое другое решение системы (5.18) будет линейной комбинацией решений, входящих в эту выбранную систему.

Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений (5.18) называется ее фундаментальной системой решений.

n-мерный вектор тогда и только тогда будет решением системы (5.18), когда он является линейной комбинацией векторов, составляющих данную фундаментальную систему.

Фундаментальная система существует, если система (5.18) обладает ненулевыми решениями, т.е., если ранг ее матрицы из коэффициентов меньше числа неизвестных. При этом система (5.18) может обладать многими различными фундаментальными системами решений.

Теорема 5.4. Если ранг r матрицы из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (5.18) меньше числа неизвестных n, то всякая фундаментальная система решений системы (5.18) состоит из (n r) решений.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Заметим, что (n r) является числом свободных неизвестных в системе (5.18); пусть свободными будут неизвестные xr 1, xr 2 , , xn. Рассмотрим произвольный отличный от нуля определитель порядка n r:

48

	c1,r 1	c1,r 2	c1n
	c2,r 1	c2,r 2	c2n			.
	cn r,r 1	cn r,r 2	cn r,n

Беря элементы i-й строки этого определителя (1 i n r ) в качестве значений для свобод-

ных неизвестных,	получим однозначно определенные значения		для неизвестных
x1, x2 , , xr , т.е. придем к вполне определенному решению системы уравнений (5.18):
	i (ci1, ci2 , ,	cir , ci,r 1, ci,r 2 , , cin ) .
Полученная	система векторов	1, 2 , , n r служит для	системы уравнений

(5.18) фундаментальной системой решений. В самом деле: эта система векторов линейно независима, т.к. матрица, составленная из этих векторов, как из строк, содержит отличный от нуля минор порядка (n r). С другой стороны, пусть (b1 , b2 , , br , br 1 , br 2 , , bn ) — произвольное решение системы уравнений (5.18). Докажем, что вектор линейно выража-

ется через векторы 1,

2 ,

, n r .

Рассмотрим матрицу

c11

c12

c1r

c1r 1

c1n

c21

c22

c2r

c2r 1

c2n

B

.

cn r,1

cn r,2

cn r,r

cn r,r 1

cn r,n

1

2

r

r 1

n

Из нее выделим матрицу

c1,r 1

c1,r 2

c1n

c

2,r 1

c

c

2n

2,r 2

B

,

cn r,r 1

cn r,r 2

cn r,n

r 1

r 2

n

содержащую отличный от нуля определитель (n r)-го			порядка и состоящую из (n r 1)
строк и (n r)	столбцов.	Следовательно, rg B n r ,	а значит существуют такие числа
1, 2 , , n r , что
( r 1 , r 2 , , n ) 1 (c1,r 1 , c1,r 2 , , c1n ) ) n r (cn r ,r 1 , cn r ,r 2 , , cn r ,n ) .				(5.19)
Покажем	теперь,	что всё решение —	линейная комбинация	системы

1, 2 , , n r с теми же коэффициентами. Рассмотрим n-мерный вектор

1 1 2 2 n r n r .

49

Вектор — линейная комбинация решений системы однородных уравнений (5.18). Значит,— решение этой системы. Из (5.19) следует, что в решении значения для всех свободных неизвестных равны нулю. Однако то единственное решение системы уравнений (5.18), которое получается при равных нулю значениях для свободных неизвестных, будет нулевым решением. Таким образом, = 0, т.е.

1 1 2 2 n r n r .

Теорема доказана.

Рассмотрим связь между решениями неоднородных и однородных систем. Пусть дана система линейных неоднородных уравнений:

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2					a2n xn b2			.
a	x a	m2	x	2	a	x	b
	m1 1					mn n	m

Система линейных однородных уравнений:

a11 x1 a12 x2				a1n xn		0
a21 x1 a22 x2 a2n xn 0 ,
a	x a	m2	x	a	x	0
	m1 1		2		mn n

(5.20)

(5.21)

полученная из системы (5.20) заменой свободных членов нулями, называется приведенной системой для системы (5.20). Между решениями систем (5.20) и (5.21) существует тесная связь, как показывают следующие теоремы.

Теорема 5.5. Сумма любого решения системы (5.20) с любым решением приведенной системы (5.21) снова будет решением системы (5.20).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть x0 — решение неоднородной системы, т.е. Ax0 b, а y — решение однородной системы, т.е. Ay 0. Тогда A(x0 y) Ax0 Ay b 0 b. Теорема доказана.

Теорема 5.6. Разность любых двух решений системы (5.20) служит решением для приведенной системы (5.21).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть x1 и x2 — решения системы (5.20), т.е. Ax1 b и Ax2 b. Тогда A(x1 x2 ) Ax1 Ax2 b b 0. Теорема доказана.

Из этих теорем вытекает, что, найдя одно решение системы линейных неоднородных уравнений (5.20) и складывая его с каждым из решений приведенной системы (5.21), мы получим все решения системы (5.20).

50

§5. Метод Гаусса

Методом, наиболее удобным для практического разыскания решений систем с число-

выми коэффициентами, является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.

Вначале одно предварительное замечание. Вычтем обе части первого уравнения системы (5.1), умноженные на число c из соответствующих частей второго уравнения. Получим новую систему линейных уравнений:

				a11 x1 a12 x2		a1n xn b1
				a21 x1 a22 x2 a2n xn			b2
				a31 x1 a32 x2		a3n xn b3		,	(5.22)
				am1 x1 am2 x2 amn xn bm
где a2 j		a2 j ca1 j при	j 1,	2, , n,	b2 b2 cb1.

Утверждение. Системы уравнений (5.1) и (5.22) эквивалентны, т.е. они или обе несовместны, или обе совместны и обладают одними и теми же решениями.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть k1, k2 , , kn — произвольное решение системы (5.1). Эти числа, очевидно, удовлетворяют всем уравнениям системы (5.22), кроме второго. Они удовлетворяют и второму уравнению системы (5.22), что следует из способа его получения:

(a21 ca11)k1 (a22 ca12 )k2 (a2n ca1n )kn (b2 cb1) .

Обратно, любое решение системы (5.22) будет удовлетворять системе (5.1). Очевидно, что, если к системе (5.1) будут несколько раз применены такие преобразования, вновь полученная система уравнений останется эквивалентной исходной системе (5.1).

Если после выполнения таких преобразований в системе появится уравнение, все коэффициенты левой части которого равны нулю, то, если и свободный член этого уравнения равен нулю, уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных. Поэтому, отбрасывая это уравнение, мы придем к системе уравнений, эквивалентной исходной системе. Если свободный член рассматриваемого уравнения отличен от нуля, то это уравнение не может удовлетворяться ни при каких значениях неизвестных, а поэтому система уравнений, равно как и эквивалентная ей исходная система, будут несовместными. Утверждение доказано.

51

Пусть дана произвольная система линейных уравнений (5.1). И пусть, для определенности, коэффициент a11 0, хотя на самом деле он может оказаться равным нулю и надо будет начать с какого-либо другого, отличного от нуля, коэффициента из первого уравнения системы.

Преобразуем систему (5.1), исключая неизвестное x1 из всех уравнений, кроме перво-

го. Для этого обе части первого уравнения умножим на число a21 и вычтем из соответству-

a11

ющих частей второго уравнения, затем обе части первого уравнения, умноженные на число

a31 , вычтем из соответствующих частей третьего уравнения и т.д. Мы придем к новой

a11

системе из m линейных уравнений с n неизвестными:

	a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn b1
	a22 x2	a23 x3	a2n xn b2
					.	(5.23)
	a32 x2	a33 x3	a3n xn b3
	am2 x2	am3 x3	amn xn bm

Система уравнений (5.23) эквивалентна системе (5.1). Преобразуем систему (5.23). Первое уравнение больше трогать не будем и подлежащей преобразованиям будем считать лишь часть системы (5.23), состоящую из всех уравнений, кроме первого. При этом будем считать, что среди данных уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю: такие уравнения, если бы и их свободные члены были равны нулю, рассмотрению бы не подлежали в противном случае мы уже доказали бы несовместность нашей системы. Таким образом, среди коэффициентов aij есть отличные от нуля; для определенности примем,

что			0		. В системе (5.23) вычитаем из обеих частей третьего и каждого из следующих
	a22
уравнений					обе		части второго уравнения, умноженные соответственно на числа
a		a				a
32	,	42		,	,	m2		. Этим будет исключено неизвестное x2 из всех уравнений, кроме перво-
a		a				a
22		22				22

го и второго, и мы придем к следующей системе уравнений, эквивалентной системе (5.23), а поэтому и системе (5.1):

a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn b1
a22 x2	a23 x3	a2n xn	b2
				.
	a33 x3	a3n xn	b3
	at 3 x3	atn xn	bt

52

Полученная система содержит t уравнений, где t s, т.к. некоторые уравнения оказались, возможно, отброшенными. В дальнейшем подлежит преобразованиям лишь часть полученной системы, содержащая все уравнения, кроме двух первых. Далее поступаем аналогично.

Процесс последовательного исключения неизвестных остановится, если мы придем к такой системе, одно из уравнений которой имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой части равны нулю, т.е. исходная система несовместна.

В противном случае получим следующую систему уравнений, эквивалентную систе-

ме (5.1):

a11 x1 a12 x2 a1,k 1 xk 1 a1k xk a1n xn b1

a22 x2 a2,k

1 xk 1 a2k xk a2n xn

b2

.

(5.24)

(k 2)

(k 2)

(k 2)

xn

(k 2)

ak 1,k 1 xk 1 ak 1,k

xk ak 1,n

bk 1

(k 1)

xk

(k 1)

(k 1)

akk

akn

xn bk

(k 2)

(k 1)

0

, а k m и k n.

Здесь a11 0, a22 0,

, ak 1,k 1

0, akk

В этом случае система (5.1) совместна. Она будет определенной при k n и неопре-

деленной при k n.

Действительно, если k n, то система (5.24) имеет вид

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1

(5.25)

a22 x2

a2n xn b2

.

a(n 1) x

b(n 1)

nn

n

n

Из последнего уравнения получаем вполне определенное значение для неизвестного xn. Подставляя его в предпоследнее уравнение, мы найдем однозначно определенное значение для неизвестного xn 1. Продолжая так далее, мы найдем, что система (5.25), а значит, и система (5.1), обладают единственным решением, т.е. совместны и определены. Если же k n, то для свободных неизвестных xk 1, xk 2 , , xn возьмем произвольные числовые значения, после чего, двигаясь по системе (5.24) снизу вверх, найдем для неизвестных xk , xk 1, , x1 вполне определенные значения. Так как значения для свободных неизвестных можно выбрать бесконечным числом различных способов, то система (5.24), а значит, и система (5.1) будут совместными, но неопределенными.

Замечание. «Треугольная» форма системы уравнений (5.25) или «трапецеидальная» форма системы уравнений (5.24) (при k n) получилась ввиду предположения, что коэффициенты a11, a22 и т.д. отличны от нуля. В общем случае та система уравнений, к которой мы придем после доведения до конца процесса исключения неизвестных, приобретет «треуголь-

53

ную» или «трапецеидальную» форму лишь после надлежащего изменения нумерации неизвестных.

Из всего сказанного выше получаем, что метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, если в процессе преобразований будет получено уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же такого уравнения не найдется, то система будет совместной. Совместная система уравнений будет определенной, если она приводится к треугольному виду (5.25), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (5.24) при k n.

Применим сказанное к случаю системы линейных однородных уравнений. Если в рас-

сматриваемой системе число уравнений меньше числа неизвестных, то эта система обладает, помимо нулевого решения, также и ненулевыми решениями; таких решений будет бесконечно много.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса следует выписать матрицу из коэффициентов системы, присоединить к ней столбец из свободных членов, для удобства отделенный вертикальной чертой, и все преобразования выполнять над строками этой расширенной матрицы.

54