Системы

ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Понятие системы линейных уравнений и ее решения

В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий

вид:

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2					a2n xn		b2	.	(5.1)
a	x a	m2	x	2	a	x	b
	m1 1					mn n	m

При этом через x1, x2 , , xn обозначены неизвестные, подлежащие определению (число их n не предполагается обязательно равным числу уравнений m); величины a11, a12 , , amn , называемые коэффициентами системы, и величины b1, b2 , , bm, называемые свободными членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы aij имеет два индекса,

первый из которых i указывает номер уравнения, а второй j — номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Система (5.1) называется однородной, если все ее свободные члены b1, b2 , , bm равны нулю.

Если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то система (5.1) называется неоднородной.

Система (5.1) называется квадратной, если число m составляющих ее уравнений равно числу неизвестных n.

Решением системы (5.1) называется такая совокупность n чисел c1, c2 , , cn , которая при подстановке в систему (5.1) на место неизвестных x1, x2 , , xn обращает все уравнения этой системы в тождества.

Система уравнений вида (5.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Совместная система вида (5.1) может иметь либо одно, либо несколько решений. Два решения совместной системы вида (5.1) c1(1) , c2(1) , , cn(1) и c1(2) , c2(2) , , cn(2) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств c1(1) c1(2) , c2(1) c2(2) , , cn(1) cn(2) .

Совместная система вида (5.1) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

38

Обозначим векторы-столбцы, состоящие из коэффициентов системы

(5.1)

a11

a12

a1n

b1

a21

,

a22

, ,

a2n

через a1, a2 , , an , а вектор-столбец свободных членов

b2

через

am1

am2

amn

bm

b . Тогда система линейных уравнений (5.1) в векторном виде представима следующим образом:

a1x	a2 x	2	an x	n	b.	(5.2)
1

Весьма удобно записывать линейную систему (5.1) в матричной форме. Для этого используем понятие произведения двух матриц (таких, что число столбцов первой из них равно числу строк второй). В качестве перемножаемых матриц возьмем две матрицы: матрицу

	a11	a12	a1n
A	a21	a22	a2n				,	(5.3)
	am1	am2		amn

содержащую m строк и n столбцов и составленную из коэффициентов при неизвестных, и матрицу

	x1
X	x2			,	(5.4)
	xn
содержащую n строк и один столбец.
Согласно правилу перемножения двух матриц, произведение AX					матрицы (5.3) на

матрицу (5.4) представляет собой матрицу, содержащую m строк и один столбец, т.е. столбец следующего вида:

	a11 x1 a12 x2 a1n xn
AX	a21 x1 a22 x2 a2n xn				.
	am1 x1 am2 x2 amn xn

Из системы равенств (5.1) следует, что столбец (5.5) совпадает со столбцом

b1 B b2 .

bm

(5.5)

(5.6)

39

Таким образом, в матричной записи систему (5.1) можно заменить одним эквивалентным ей матричным уравнением

AX B ,

в котором матрицы A, X и B определяются соотношениями (5.3), (5.4) и (5.6). Решение матричного уравнения заключается в отыскании такого столбца (5.4), который при заданной матрице (5.3) и заданном столбце правых частей (5.6) обращает это уравнение в тождество.

§2. Условие совместности системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений (5.1). Для решения вопроса о ее совместности возьмем матрицу A из коэффициентов системы, которую принято называть основной матрицей системы, и расширенную матрицу A , полученную присоединением к матрице A столбца свободных членов:

a11

a12

a1n

a11

a12

a1n

b1

A

a21

a22

a2n

,

a21

a22

a2n

b2

.

A

am1

am2

amn

am1

am2

amn

bm

Вычислим ранги этих матриц. Ранг матрицы A либо равен рангу матрицы A, либо на единицу больше. Действительно, берем некоторую максимальную линейно независимую систему столбцов матрицы A. Она будет линейно независимой и в матрице A . При этом, если она сохраняет и свойство максимальности (т.е. через нее линейно выражается столбец свободных членов), ранги матриц A и A равны; в противном случае, присоединяя к этой системе столбец свободных членов, получим линейно независимую систему столбцов матрицы A , которая будет в ней максимальной.

Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается следующей теоремой.

Теорема 5.1 (теорема Кронекера Капелли). Система линейных уравнений сов-

местна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы этой системы равен рангу ее основной матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть система (5.2) совместна и пусть x0 x10 , x20 , , xn0

— одно из ее решений. Подставляя эти числа вместо неизвестных в систему (5.2), получим

40

тождество a1x0 a2 x				0	an x0 b, которое показывает, что последний столбец матри-
			1	2	n
цы		является суммой всех остальных столбцов, взятых соответственно с коэффициентами
	A
x0 ,	x0 , ,		x0 , т.е. b		— линейная комбинация векторов-столбцов a1, a2 , , an. Всякий
1	2		n

другой столбец матрицы A входит и в матрицу A, и обратно, всякий столбец матрицы A является столбцом и в A . Таким образом, если r — ранг основной матрицы, т.е. r — макси-

мальное число линейно независимых векторов системы столбцов			a1,	a2 , ,	an ,	то и
максимальное число линейно независимых векторов системы		, a			n
	a1		2 , , an , b ai xi0
					i 1

тоже равно r. То есть обе эти системы m-мерных векторов имеют один и тот же ранг; иными словами, ранги матриц A и A равны между собой.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть теперь дано, что матрицы A и A имеют равные ранги,

т.е. rg A = rg

=

r .

Следовательно,

любая максимальная линейно независимая система

A

столбцов матрицы A остается максимальной линейно независимой системой и в матрице

.

A

Пусть для определенности в системе

a1,

a2 , ,

an

первые r

векторов a1, a2 , , ar

линейно независимы,

а

остальные векторы-столбцы

являются

линейной комбинацией

первых

r столбцов. Так как rg A = rg

A

= r , то система

a1, a2 , ,

an , b тоже содержит r

линейно независимых векторов, и т.к.

все столбцы матрицы A входят в

, то и в системе

A

a1, a2 ,

,

an

максимальную

линейно

независимую

систему составляют векторы

a1, a2 , ,

ar . Следовательно векторы ar 1,

ar 2 , ,

an ,

b — линейная комбинация пер-

вых столбцов матрицы A. Таким образом,

b a1

a

2 ar

ar 1 an,

1

2

r

r 1

n

где x0 для i 1,

2,

,

n и

j

0 для

j r 1,

r 2, , n . Значит

i

i

x0 x10 , x20 , , xn0

— решение системы (5.2). Теорема доказана.

При применении теоремы Кронекера Капелли к конкретным примерам, необходимо вычислить ранг матрицы A, для чего надо найти один из тех отличных от нуля миноров этой матрицы, для которого все миноры, его окаймляющие, равны нулю; пусть это будет минор M . После этого следует вычислить все миноры матрицы A , окаймляющие M , но в A не содержащиеся. Если они все равны нулю, то ранг матрицы A равен рангу матрицы A, и поэтому система (5.1) совместна. В противном случае она несовместна.

41

§3. Отыскание решений линейной системы. Правило Крамера

Теорема Кронекера Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности линейной системы, но не дает способа нахождения решений этой системы.

В этом параграфе мы займемся отысканием решений линейной системы (5.1). Сначала рассмотрим простейший случай квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы, а затем перейдем к отысканию совокупности всех решений общей линейной системы вида (5.1).

Пусть дана квадратная система линейных уравнений

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2				a2n xn	b2		(5.7)
a x a	n2	x	2	a x	b
n1 1				nn n	n

с отличным от нуля определителем основной матрицы

	a11	a12	a1n
A	a21	a22		a2n			.	(5.8)
	an1	an2	ann

Докажем, что эта система имеет и притом единственное решение.

Е д и н с т в е н н о с т ь р е ш е н и я.

Предположим,

что

существует

некоторое

решение

системы

x0 (x0

, x0

, , x0), обращающее все уравнения этой системы в тождества

1

2

n

a11 x10 a12 x20 a1n xn0 b1

a21 x10 a22 x20 a2n xn0

b2

.

a

x0 a

n2

x

0

a

nn

x0

b

n1 1

2

n

n

(5.7)

(5.9)

Тогда, умножая равенства (5.9) соответственно на алгебраические дополнения

A1 j , A2 j , , Anj		элемента j-го столбца определителя матрицы (5.8) и складывая затем от-
дельно	левые и	правые части получившихся при этом равенств, получим (для любого
j 1, 2,	, n)

n	a1i A1 j a2i A2 j ani Anj b1A1 j b2 A2 j bn Anj .
xi0
i 1
	42

Учитывая, что сумма произведений элементов i-го столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов j-го столбца равна нулю при i j и равна определителю матрицы (5.8) при i j , получим из последнего равенства

x0 b A		b A	b A .	(5.10)
j	1 1 j	2 2 j	n nj

Обозначим символом j определитель, получающийся из определителя матрицы

(5.8) заменой его j-го столбца столбцом свободных членов b1, b2 , , bn. Тогда равенство

	(5.10) принимает вид
	x0j j			( j 1, 2, , n).	(5.11)
	Поскольку определитель матрицы (5.8) отличен от нуля, равенства (5.11) эквива-
	лентны соотношениям
	x0j		j	( j 1, 2, , n) .	(5.12)

Таким образом доказано, что если решение системы (5.7) с определителем основной матрицы (5.8), отличным от нуля, существует, то это решение однозначно определяется формулами (5.12).

Формулы (5.12) называются формулами Крамера. С у щ е с т в о в а н и е р е ш е н и я.

Для доказательства существования решения системы (5.7), исходя из теоремы Кронекера Капелли, достаточно доказать, что ранг основной матрицы (5.8) равен рангу расширенной матрицы

			a11	a12	a1n	b1
			a21	a22	a2n	b2				.
	A										(5.13)
			an1	an2	ann	bn

Но это очевидно, т.к. в силу соотношения 0 ранг основной матрицы равен n, а ранг содержащей n строк расширенной матрицы (5.13) больше числа n быть не может и потому равен рангу основной матрицы.

Тем самым полностью доказано, что квадратная система линейных уравнений (5.7) с определителем основной матрицы, отличным от нуля, имеет и притом единственное решение определяемое формулами Крамера (5.12).

Определим доказанное выше утверждение матричным способом. Для этого заменим

систему (5.7) эквивалентным ей матричным уравнением
AX B ,	(5.14)

43

где A — основная матрица системы, а X и B — столбцы:

	x1					b1
X	x2			,	B	b2				.
	xn					bn

Так как определитель матрицы A отличен от нуля, то существует обратная матрица

A 1.

Предположим, что существует решение системы (5.7). Умножая (5.14) слева на обратную матрицу A 1, имеем

A 1( AX ) A 1B.

Тогда в силу сочетательного свойства произведения трех матриц (см. гл.1 §2) и в силу соотношения A 1 A E (см. гл.3 § 4),

A 1( AX ) ( A 1 A) X EX X .

Следовательно, имеем
X A 1B.	(5.15)

Учитывая вид обратной матрицы (см. гл.3 §4), мы получим для элементов столбца X формулы Крамера.

Таким образом доказано, что если решение матричного уравнения (5.14) существует, то оно однозначно определяется соотношением (5.15), эквивалентным формулам Крамера.

Убедимся, что столбец X , определяемый соотношением (5.15), в самом деле является решением матричного уравнения (5.14), т.е. при подстановке в это уравнение обращает его в тождество:

AX A( A 1B) ( AA 1)B EB B .

Итак, если определитель матрицы A отличен от нуля, то существует и притом единственное решение матричного уравнения (5.14), определяемое соотношением (5.15), эквивалентным формулам Крамера.

Основное значение правила Крамера заключается в том, что в тех случаях, когда это правило применимо, оно дает явное выражение для решения системы через ее коэффициенты. Практическое использование правила Крамера связано, однако, с большим количеством громоздких вычислений: в случае системы n линейных уравнений с n неизвестными приходится вычислять n 1 определитель n-го порядка. Кроме того, если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких-либо измеряемых физических величин или округляются в процессе вычислений, то применение

44

формул Крамера может привести к большим ошибкам и в ряде случаев является нецелесообразным.

Рассмотрим теперь общую систему m линейных уравнений с n неизвестными (5.1). Предположим, что эта система совместна и матрица A имеет ранг r. Не ограничивая общности, будем считать линейно независимыми первые r строк матрицы A. Каждая из строк, начиная с (r 1)-й строки, является их линейной комбинацией. Тогда первые r строк расширенной матрицы A также будут линейно независимыми, а всякая другая строка этой матрицы будет их линейной комбинацией. Отсюда следует, что всякое уравнение системы (5.1) можно представить как сумму первых r уравнений, взятых с некоторыми коэффициентами, а поэтому любое общее решение первых r уравнений будет удовлетворять всем урав-

нениям системы (5.1). Следовательно, достаточно найти все решения системы

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2					a2n xn				b2	.	(5.16)
a	x a	r 2	x	2	a	rn	x	n	b
	r1 1								r
Так как строки из коэффициентов при неизвестных в уравнениях (5.16) линейно неза-
висимы, т.е. матрица из коэффициентов имеет ранг, равный r,										то r n и, кроме того, хотя бы

один из миноров r-го порядка этой матрицы отличен от нуля. Если r n, то (5.16) будет системой с равным числом уравнений и неизвестных и с отличным от нуля определителем, т.е. она, а поэтому и система (5.1) обладает единственным решением, а именно — вычисляемым по правилу Крамера.

Пусть теперь r n и пусть, для определенности, отличен от нуля минор r-го порядка,

составленный из коэффициентов при первых	неизвестных. Перенесем в каждом из уравне-
ний (5.16) в правую часть все члены с неизвестными xr 1, xr 2 , , xn		и выберем для этих
неизвестных некоторые значения cr 1, cr 2 ,	, cn. Получим систему r	уравнений
a11 x1 a12 x2 a1r xr b1 a1,r 1cr 1 a1,r 2cr 2 a1ncn
a21 x1 a22 x2 a2r xr b2 a2,r 1cr 1 a2,r 2cr 2 a2ncn			(5.17)
ar1 x1 ar 2 x2 arr xr br ar ,r 1cr 1 ar ,r 2cr 2 arncn

относительно r неизвестных x1, x2 , , xr . К этой системе применимо правило Крамера, и поэтому она обладает единственным решением c1, c2 , , cr ; очевидно, что система чисел c1, c2 , , cr , cr 1, , cn — это решение системы (5.16). Так как значения

45

cr 1, cr 2 , , cn для неизвестных xr 1, xr 2 , , xn, называемых свободными неизвестными, можно выбирать произвольным образом, то этим путем будет получено бесконечно много различных решений системы (5.16).

С другой стороны, всякое решение системы (5.16) может быть получено указанным путем: если дано некоторое решение c1, c2 , , cn системы (5.16), то в качестве значений для свободных неизвестных берем числа cr 1, cr 2 , , cn. Тогда числа c1, c2 , , cr будут удовлетворять системе (5.17) и поэтому будут составлять то единственное решение этой системы, которое вычисляется по правилу Крамера.

Все сказанное выше можно объединить в виде следующего правила решения произвольной системы линейных уравнений:

Пусть дана совместная система линейных уравнений (5.1) и пусть матрица из коэффициентов A имеет ранг r. Выбираем в A r линейно независимых строк и оставляем в системе (5.1) лишь уравнения, коэффициенты которых вошли в выбранные строки. В этих уравнениях оставляем в левых частях такие r неизвестных, что определитель из коэффициентов при них отличен от нуля, а остальные неизвестные объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Давая свободным неизвестным произвольные числовые значения и вычисляя значения остальных неизвестных по правилу Крамера, мы получим все решения системы (5.1).

Итак, совместная система (5.1) тогда и только тогда обладает единственным решением, когда ранг матрицы A равен числу неизвестных.

§4. Система линейных однородных уравнений

Рассмотрим систему линейных однородных уравнений:

a11 x1 a12 x2				a1n xn		0
a21 x1 a22 x2				a2n xn
						0 .	(5.18)
a	x a	m2	x	a	x	0
	m1 1		2		mn n

Из теоремы Кронекера Капелли следует, что эта система всегда совместна, т.к. добавление столбца свободных членов, состоящего из нулей, не может повысить ранг матрицы. Это видно и непосредственно — система (5.18) заведомо обладает нулевым решением

(0, 0, , 0) .

Пусть матрица A, составленная из коэффициентов системы (5.18), имеет ранг r.

46

Утверждение. Если r n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.18); при r n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для отыскания этих решений применяется тот же прием, что и в случае произвольной системы уравнений.

Теорема 5.2. Для того, чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными обладала ненулевыми решениями, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

До к а з а т е л ь с т в о.

Не о б х о д и м о с т ь. Пусть det A 0, т.е. к этой системе применимо правило Крамера. Значит, существует единственное решение, равное нулю: x1 x2 xn 0 , т.к. все

определители j ( j 1, 2, , n) содержат столбец, составленный из нулей, и поэтому рав-

ны нулю. Следовательно, для того, чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными обладала ненулевыми решениями, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть det A 0. Следовательно, rg A n и в матрице A столбцы a1, a2 , , an — линейно зависимы, а значит существуют такие числа 1 , 2 , , n , не все из которых равны нулю, что выполняется равенство:

1a1 2 a2 n an 0 .

Значит, x0 ( 1 , 2 , , n ) 0 — решение уравнения Ax 0. Теорема доказана.

Следствие. Если в системе линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных (m n ), то система обладает решениями, отличными от нулевого.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

rg A min (m, n) . Так как m n , то ранг не может быть равным числу неизвестных, т.е. rg A n. Следствие доказано.

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами.

Теорема 5.3. Всякая линейная комбинация решений системы (5.18) также является решением этой системы.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть x0 (x10 , x20 , , xn0 ) и y0 ( y10 , y20 , , yn0 ) — решения системы (5.18), а 1 , 2 —

некоторые действительные числа. Докажем, что 1 x0 2 y0 также является решением этой системы.

47