СИНТЕЗ ЭЛЕМЕНТА ДЕШИФРАТОРА.

Задание: составить принципиальную схему управления сегмента ___ 9^ти сегментного индикатора на зажигание (гашение) с использованием дизъюнктивной (конъюнктивной) функции.

СОДЕРЖАНИЕ:

1.Функциональная схема.

2. Конфигурация цифр.

3. Таблица истинности.

4. Аналитическое представление функции, минимизация функции.

5. Карта Карно и минимизированная функция.

6. Преобразование функции и функциональная схема.

7. Принципиальная схема.

1. Функциональная схема индикатора. 1.1. Номера сегментов индикатора

2. Конфигурация цифр.

3.Таблица истинности.

Для составления таблицы истинности определяем минимальное количество переменных (n) из условия максимальных сочетаний задания (N) – 2 ^{n -1} < N < 2 ⁿ. Количество сочетаний по заданию равно 10. Следовательно, минимальное количество переменных – 4, количество наборов при этом – 16. 2^4-1 =8 <10<2⁴=16. Таким образом, для установления сигналов управления сегментами индикатора можно использовать любые десять (10) сочетаний переменных, остальные шесть (6) устанавливают неопределённость, которая должна быть устранена входными сигналами. Для данной работы выбираем наборы сочетаний, соответствующие коду, который формируется двоично-десятичным счётчиком.

Набор переменных устанавливает значение переключательной функции f_i управления сегментом. Если при заданном наборе необходимо управление сегментом (включение- зажигание или выключение- гашение i-того сегмента) ставится единица (1), а в противном случае нуль (0).

Цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : - - - - - -

--------------------------------------------------------------------------

Х1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 : 0 1 0 1 0 1

Х2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 : 1 1 0 0 1 1

Х3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 : 0 0 1 1 1 1

Х4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 : 1 1 1 1 1 1

---------------------------------------------------------------------------

Наборы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 : 11 12 13 14 15 16

----------------------------------------------------------------------------

₉ 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 : х х х х х х

f₁

f₂

f₃

f₄

f₅

f₆

f₇

f₈

-

гаш₉ 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 : х х х х х х

4. Дизъюнктивная нормальная совершенная функция ( ДНСФ)

Правило составления функции: ДНСФ содержит столько слагаемых (дизъюнкцию ), сколько «1» значений функции, а каждое слагаемое содержит конъюнкцию (произведение) всех переменных. Переменную в конъюнкции необходимо записывать с инверсией, если значение её равно «0» в наборе, для которого функция равна «1», и без инверсии, если значение её в наборе равно «1». Функция составляется в следующей последовательности:

Первая единица (1) в третьем наборе , следовательно, составляется слагаемое из конъюнкции (произведения) всех переменных - Х1Х2Х3Х4. В наборе переменные Х1= 0, Х3 = 0, Х4 = 0. Эти переменные необходимо брать с инверсией. Переменная Х2 = 1- эта переменная в конъюнкцию войдёт без инверсии. Таким образом, дизъюнкция от этого набора будет содержать конъюнкцию переменных: .

В четвёртом наборе вторая 1. Составляется второе слагаемое из конъюнкции переменных - Х1Х2Х3Х4. В наборе переменные Х3 = 0, Х4 = 0. Эти переменные необходимо брать с инверсией. Переменная Х1 = 1, Х2 = 1- эти переменные в конъюнкцию войдут без инверсии. Дизъюнкция от этого набора будет содержать конъюнкцию переменных:. .

В шестом наборе третья 1. Составляется третье слагаемое из конъюнкции переменных - Х1Х2Х3Х4. В наборе переменные Х2= 0, Х4 = 0. Эти переменные необходимо брать с инверсией. Переменная Х1 = 1 и Х3 = 1- эти переменные в конъюнкцию войдут без инверсии. Дизъюнкция от этого набора будет содержать конъюнкцию переменных: .

В восьмом наборе четвёртая 1. Составляется четвёртое слагаемое из конъюнкции переменных - Х1Х2Х3Х4. В наборе переменные Х4 = 0. Эту переменную необходимо брать с инверсией. Переменная Х1 =1, Х2 = 1, Х3 = 1- эти переменные в конъюнкцию войдут без инверсии. Дизъюнкция от этого набора будет содержать конъюнкцию переменных: .

В 10 наборе пятая 1. Составляется пятое слагаемое из ( конъюнкции ) переменных - Х1Х2Х3Х4. В наборе переменные Х2 = 0, Х3 = 0, Эти переменные необходимо брать с инверсией. Переменная Х1= 1, Х4 = 1- эта переменные в конъюнкцию войдут без инверсии. Дизъюнкция от этого набора будет содержать конъюнкцию переменных: .

Таким образом функция ₉ содержит пять слагаемых:

₉ = + + + +

5.Минимизация функции аналитическим методом

Правила минимизации называют операцией склеивания и поглощения. Операция склеивания заключается в том, что подбираются пары слагаемых таким образом, чтобы в паре было отличие только на одну переменную. При этом можно использовать аксиомы поглощения

а) Y = А В + А = А, б) Y = А В + А С = А В + А С

₉ = + + + +

В функции ₉ первое и второе слагаемые, подчёркнуты одной линией, отличаются только одной переменной – первое слагаемое имеет под инверсией, а второе слагаемое имеет переменную Х1 без инверсии , остальные переменные одинаковые – . Эти слагаемые можно склеить и применить аксиому поглощения А). В результате из двух слагаемых, содержащих по четыре переменных, останется одно - из трёх переменных.

а) + = Х2

Т ретье и четвёртое слагаемые, подчёркнуты двумя линиями, отличаются только одной переменной – третье слагаемое имеет Х2 под инверсией, а четвёртое слагаемое имеет переменную Х2 без инверсии , остальные переменные одинаковые – Х1Х3Х4. Эти слагаемые можно склеить и применить аксиому поглощения A). В результате из двух слагаемых, содержащих по четыре переменных, останется одно - из трёх переменных.

б) Х1 + Х1 = Х1

Пятое слагаемое при сравнении с остальными имеет отличие более чем на две переменных, поэтому оно не может использоваться для склеивания и записывается в результате без изменений.

Минимизированная функция без учёта неопределённостей :

₉ = Х2 + Х1 + Х1 Х4

4. Конъюнктивная нормальная совершенная функция ( КНСФ ).

Правило составления функции : КНСФ содержит столько сомножителей (конъюнкцию), сколько «0» значений функции. Каждый сомножитель содержит дизъюнкцию (сумму) всех переменных. Переменную в дизъюнкции необходимо записывать с инверсией, если значение её равно «1» в наборе, для которого функция равна «0», и без инверсии, если её значение в наборе равно «0». Функция составляется в следующей последовательности:

В первом наборе первый «0». Составляется сомножитель из дизъюнкции всех переменных (Х1+Х2+Х3+Х4). Все переменные в наборе равны 0. Дизъюнкция записывается без изменений.

Во втором наборе второй «0». Переменная Х1 в наборе равна 1 и в дизъюнкцию эта переменная записывается с инверсией, остальные переменные равны 0 и запишутся без инверсий ( +Х2+Х3+Х4).

В пятом наборе третий «0». Переменная Х2 в наборе равна 1 и в дизъюнкцию эта переменная записывается с инверсией, остальные переменные равны 0 и запишутся без инверсий (Х1+ +Х3+Х4).

В седьмом наборе четвёртый «0». Переменные Х2 и Х3 в наборе равны 1 и в дизъюнкцию эти переменные записываются с инверсией, остальные переменные равны 0 и запишутся без инверсий (Х1+ +Х4).

В девятом наборе пятый «0». Переменная Х4 в наборе равна 1 и в дизъюнкцию эта переменная записывается с инверсией, остальные переменные равны 0 и запишутся без инверсий (Х1+Х2+Х3+ ).

₉ =(Х1+Х2+Х3+Х4)( +Х2+Х3+Х4)(Х1+ +Х3+Х4)(Х1+ +Х4)(Х1+Х2+Х3+

5.Минимизация КНСФ аналитическим методом

Правила минимизации называют операцией склеивания и поглощения. Операция склеивания заключается в том, что подбираются пары сомножителей таким образом, чтобы в паре было отличие только на одну переменную. При этом можно использовать аксиомы поглощения :

а) (А + В)(А + ) = А

б) (А + В)(А + В + С) = (А + В)(А + С)

₉ =(Х1+Х2+Х3+Х4)( +Х2+Х3+Х4)(Х1+ +Х3+Х4)(Х1+ +Х4)(Х1+Х2+Х3+

1 2 3 4 5

В примере одной линией подчёркнута пара сомножителей 1и 5, которые отличаются только одной переменной. В первом сомножителе Х4 без инверсии, а в пятом Х4 под инверсией. К ним может быть применена операция склеивания и применена операция поглощения А). В результате из двух сомножителей, содержащих по четыре переменных, останется одно с тремя переменными.

а)(1-5) (Х1+Х2+Х3+Х4)(Х1+Х2+Х3+ ) = (Х1+Х2+Х3)

Двумя линиями подчёркнута пара сомножителей 3 и 4, которые отличаются только одной переменной. В третьем сомножителе Х3 без инверсии, а в четвёртом под инверсией. К ним может быть применена операция склеивания и применена операция поглощения А). В результате из двух сомножителей, содержащих по четыре переменных, останется одно с тремя переменными.

(3-4) (Х1+ +Х3+Х4)(Х1+ +Х4) = (Х1+ +Х4)

Волнистой линией подчёркнут 2 сомножитель , который может использоваться для склеивания с результатом поглощения а). В этой паре имеется отличие в одной переменной – во втором сомножителе под инверсией, а в результате поглощения а) – Х1 без инверсии. К ним может быть применена операция склеивания и применена операция поглощения Б). В результате в сомножителе, содержащем четыре переменных, останутся три переменные.

в) (Х1+Х2+Х3)( +Х2+Х3+Х4) = (Х1+Х2+Х3)(Х2+Х3+Х4)

Минимизированная конъюнктивная функция без учёта неопределённостей

₉ = .

6. Карта Карно и минимизированная дизъюнктивная функции.

Карта Карно – это таблица, каждая клетка которой соответствует только одному набору переменных. Конфигурация таблицы зависит от количества переменных: для двух переменных таблица содержит 4 клетки, для трёх переменных – 8 клеток, для четырёх -- 16 , для пяти – две таблицы по 16 клеток. При составлении таблицы пользуются несколькими правилами. По одному из них каждой стороне таблицы присваивается одна переменная. В таблице имеются горизонтальные и вертикальные клетки, каждая из которых соответствует только одному значению переменной. Для вертикали или горизонтали, в которых значения переменной соответствуют нулю (0), присваивается индекс этой переменной под инверсией. А для вертикали или горизонтали, в которых значения переменной соответствуют единице (1), присваивается индекс этой переменной без инверсии.

		Х1	Х1	__ Х1	__ Х1
	__ Х4	4	8	7	3	Х2
	Х4	12	16	15	11	Х2
	Х4	10	14	13	9	__ Х2
	__ Х4	2	6	5	1	__ Х2
		__ Х3	Х3	Х3	__ Х3

Для таблицы из 16 клеток значению «0» переменной из набора соответствуют две горизонтали и значению «1» также две горизонтали, если переменной присвоена вертикальная сторона прямоугольника. Если переменной присвоена горизонтальная сторона прямоугольника, то для значения «0» выделяются две вертикали, а для значения «1» также две вертикали. Особенностью является то, что крайние вертикали считаются соседними слева- справа, а крайние горизонтали считаются соседними сверху-снизу.

Цифра в клетке – это номер набора из таблицы истинности. например клетка 1 для набора Х1 = 0, Х2 = 0, Х3 = 0, Х4 = 0; клетка 13 для набора Х1= 0, Х2 = 0, Х3 = 1, Х4 = 1 и т. д.

Для составления функции таблицу заполняют значениями функции «0» или «1» для набора, соответствующего выбранной клетки.

		Х1	Х1	__ Х1	__ Х1
	__ Х4	1	1	0	1	Х2
	Х4	1 х	1 х	х	х	Х2
	Х4	1	1 х	х	0	__ Х2
	__ Х4	0	1	0	0	__ Х2
		__ Х3	Х 3	Х3	__ Х3

По таблице составляется функция в дизъюнктивной ( ДФ ) или в конъюнктивной ( КФ ) формах. Для составления функции объединяют в «зоны» элементы «1» для ДФ или элементы «0» для КФ. Объединение осуществляют соседних слева- справа- сверху- снизу, но не по диагонали. Объединение осуществляют так, чтобы в «зону» входило как можно больше элементов, а «зон» как только меньше. При этом в «зоне» должно быть элементов один или два, или четыре, или восемь, или шестнадцать. Если в таблице имеются неопределённости «Х», то при составлении «зон» вместо «Х» записывается «0» или «1» таким образом, чтобы «зон» было как можно меньше, а в «зону» входило как можно больше элементов объединения.

Правило составления ДФ. Дизъюнктивная функция содержит столько слагаемых (дизъюнкторов), сколько «зон» объединения «1», а каждое слагаемое содержит произведение (конъюнкцию) переменных, входящих в эту зону с учётом поглощения. Поглотившимися переменными считаются те, которые входят в зону с инверсией и без инверсии.

Дизъюнктивная функция:

₉ = . Пояснения: В «зону» 1 входят – переменные Х1 и Х4 в «зону» входят с инверсией и без инверсии, следовательно, эти переменные поглощаются и остаётся конъюнкция .

В «зону» 2 - – Х2 и Х4 поглощаются, остаётся конъюнкция Х1Х3.

В «зону» 3 – – Х2 и Х3 поглощаются, остаётся конъюнкция Х1Х4.

6. Карта Карно и минимизированная конъюнктивная функция.

.Правило составления конъюнктивной функции. Конъюнктивная функция содержит столько сомножителей (конъюкторов), сколько «зон» объединения «0».Каждый сомножитель содержит сумму (дизъюнкцию) переменных, входящих в «зону», с учётом поглощения. Каждую переменную необходимо дополнительно инверсировать

Конъюнктивная функция:

		Х1	Х 1	__ Х1	__ Х1
	__ Х4	1	1	1 0	1	Х2
	Х4	Х	Х	0 Х	Х	Х2
	Х4	1	Х	0 Х	2 0	__ Х2
	_ _ Х4	3 0	1	0	0	__ Х2
		__ Х3	Х3	Х3	__ Х3

₉ =

Пояснения: В одну «зону» входят переменные – Х2 и Х4 поглощаются, остаются . Каждую переменную необходимо дополнительно проинверсировать. Таким образом в функцию войдёт дизъюнкция .

Во вторую «зону» входят переменные: - Х3 и Х4 поглощаются и после дополнительной инверсии в функцию войдёт дизъюнкция Х1+Х2. В третью «зону» входят переменные: - Х1 поглощается, а в функцию войдёт дизъюнкция Х2+Х3+Х4.