Примеры двоично-десятичных кодов

Десятичная цифра	Двоично-десятичный код
	8421	5421	8421+3	8421+6	5121	2421
0	0000	0000	0011	0110	0000	0000
1	0001	0001	0100	0111	0001	0001
2	0010	0010	0101	1000	0010	0010
3	0011	0011	0110	1001	0011	0011
4	0100	0100	0111	1010	0111	0100
5	0101	1000	1000	1011	1000	1011
6	0110	1001	1001	1100	1001	1100
7	0111	1010	1010	1101	1010	1101
8	1000	1011	1011	1110	1011	1110
9	1001	1100	1100	1111	1111	1111

2.2. Сложение одноразрядных десятичных числе со знаком в двоично-десятичном коде

Разработка алгоритма сложения чисел в заданном коде может осуществляться двумя способами. Первый способ заключается в рассмотрении свойств заданного кода и анализа этих свойств. На основании проведенного анализа можно сделать вывод о величине коррекции для кода и критериях ввода этой коррекции.

Пусть

• T(A) = α₈ α₄ α₂ α₁ — тетрада, изображающая одноразрядное десятичное число А;

• T(B) = β₈ β₄ β₂ β₁ — тетрада, изображающая одноразрядное десятичное число B;

• T(C) = X₈ X₄ X₂ X₁ — результат от сложения чисел A и B.

При этом

• П_i-1 — перенос из предыдущего десятичного разряда (тетрады);

• П_i — перенос в следующий десятичный разряд (тетраду).

Все рассмотренные ниже примеры приведены в коде 8421.

Если T(A) + T(B) + П_i-1 < 10, то результат всегда получается правильный и никакой коррекции не требуется:

+	7		+	0011
	1			0001
8			1000

Примечание: все действия выполняются с соблюдением правил двоичной арифметики:

1. 0 + 0 = 0

2. 0 + 1 = 1

3. 1 + 0 = 1

4. 1 + 1 = 10

В случае T(A) + T(B) + П_i-1 ≥ 10, результат всегда получается неверный. Причём, здесь можно рассмотреть два варианта:

1. 10 ≤ T(A) + T(B) + П_i-1 ≤ 15

2. 15 < T(A) + T(B) + П_i-1

В первом варианте результат от сложения T(C) — величина, которая не используется в коде 8421:

+	8		+	1000
	5			0101
13			1101

На самом деле, величина 13 должна представляться как П_i = 1 и T(C) = 0011, то есть для коррекции полученного результата надо организовать перенос "1" в следующую тетраду, а из полученного значения вычесть величину 1010. Однако, поскольку вычитание в прямом виде невозможно, заменим его сложением полученной величины 1101 и величины 1010 в дополнительном коде 0110. Тогда

+	1101
	0110
0011

Единицу переноса, которая при этом получается, можно или отбросить, или использовать как единицу переноса в следующую тетраду. В дальнейшем будем использовать данную единицу как единицу переноса.

Во втором варианте результат от сложения T(C) — величина, которая используется в коде 8421:

+	9		+	1001
	7			0111
16			0000

Однако этот результат неверен и требует коррекции. Нетрудно видеть, что для получения правильного результата из величины 16 надо вычесть 10 (величины десятичные). Вычитание, как и в предыдущем случае, заменим сложением, взяв интересующую величину в дополнительном коде.

Таким образом, и в данном варианте величина коррекции будет 0110 (двоичная величина). При этом полученная единица переноса в следующую тетраду сохраняется.

Обобщив все эти случаи, можно получить алгоритм сложения чисел в коде 8421. Он будет следующим:

• если результат от сложения двух одноразрядных десятичных чисел с учетом переноса из предыдущего разряда меньше десяти, то коррекция не требуется. При этом результат получается в коде 8421;

• если результат от сложения двух одноразрядных чисел с учетом переноса из предыдущего разряда больше или равен десяти, то коррекция требуется. Корректирующая величина будет 0110.

При этом результат получается в виде комбинации, которая не используется в коде 8421, или в результате присутствует единица переноса в следующую тетраду.

На основании этого алгоритма можно выработать правило введения корректирующей величины:

корректирующую величину 0110 необходимо прибавить к полученному результату от сложения T(A) и T(B), если результат — запрещенная величина или если есть перенос в следующий разряд П_i = 1. В первом случае после введения коррекции получается величина П_i = 1, которую необходимо сохранить для получения правильного результата. Во втором случае эта величина получается сама собой.

Однако, не всегда удается получить алгоритм сложения, используя только свойства кода. В этом случае можно использовать другой подход. Он заключается в следующем:

Строится таблица соответствия результатов сложения десятичных и двоично-десятичных чисел. Таблица симметрична относительно главной диагонали.

Таблица 2.2.1.

Таблица соответствия для кода 8421

Код 8421	0 0000	1 0001	2 0010	3 0011	4 0100	5 0101	6 0110	7 0111	8 1000	9 1001
0 0000	0000 0000	0001 0001	0010 0010	0011 0011	0100 0100	0101 0101	0110 0110	0111 0111	1000 1000	1001 1001
1 0001	0001 0001	0010 0010	0011 0011	0100 0100	0101 0101	0110 0110	0111 0111	1000 1000	1001 1001	0110 1010 1.0000
2 0010	0010 0010	0011 0011	0100 0100	0101 0101	0110 0110	0111 0111	1000 1000	1001 1001	0110 1010 1.0000	0110 1011 1.0001
3 0011	0011 0011	0100 0100	0101 0101	0110 0110	0111 0111	1000 1000	1001 1001	0110 1010 1.0000	0110 1011 1.0001	0110 1100 1.0010
4 0100	0100 0100	0101 0101	0110 0110	0111 0111	1000 1000	1001 1001	0110 1010 1.0000	0110 1011 1.0001	0110 1100 1.0010	0110 1101 1.0011
5 0101	0101 0101	0110 0110	0111 0111	1000 1000	1001 1001	0110 1010 1.0000	0110 1011 1.0001	0110 1100 1.0010	0110 1101 1.0011	0110 1110 1.0100
6 0110	0110 0110	0111 0111	1000 1000	1001 1001	0110 1010 1.0000	0110 1011 1.0001	0110 1100 1.0010	0110 1101 1.0011	0110 1110 1.0100	0110 1111 1.0101
7 0111	0111 0111	1000 1000	1001 1001	0110 1010 1.0000	0110 1011 1.0001	0110 1100 1.0010	0110 1101 1.0011	0110 1110 1.0100	0110 1111 1.0101	0110 1.0000 1.0110
8 1000	1000 1000	1001 1001	0110 1010 1.0000	0110 1011 1.0001	0110 1100 1.0010	0110 1101 1.0011	0110 1110 1.0100	0110 1111 1.0101	0110 1.0000 1.0110	0110 1.0001 1.0111
9 1001	1001 1001	0110 1010 1.0000	0110 1011 1.0001	0110 1100 1.0010	0110 1101 1.0011	0110 1110 1.0100	0110 1111 1.0101	0110 1.0000 1.0110	0110 1.0001 1.0111	0110 1.0010 1.1000

Строки и столбцы таблицы соответствуют десятичным числам от 0 до 9 (см. таблицу 2.2.1).

Каждая клетка таблицы содержит:

• корректирующую величину;

• результат сложения соответствующих двоично-десятичных чисел по правилам двоичной арифметики;

• корректный результат сложения, то есть результат, который должен получиться при сложении двоично-десятичных чисел.

Пусть имеет место пересечение цифр 7 и 6. В коде 8421 7 — это 0111, а 6 — это 0110.

От сложения этих величин в коде будет:

+	0111
	0110
1101

Эта величина размещается в средней части пересечения. На самом деле 7 + 6 = 13 и в коде 8421 — это 1.0011, где в тетраде 0011 и "1" переноса в следующую тетраду.

Величина 1.0011 размещается в нижней части пересечения (см. таблицу 2.2.1).

Составив такую таблицу и рассмотрев разницу между двумя величинами в клетке, можно найти и корректирующую величину. Внимательно посмотрев, в каких местах таблицы есть коррекция, можно найти закономерность ее введения.

Как правило, для широко используемых двоично-десятичный кодов бывает не больше двух корректирующих комбинаций, и критерий их ввода определяется:

1. наличием или отсутствием запрещенной комбинации в результате;

2. наличием или отсутствием переноса в следующую тетраду;

3. определенное сочетание "1" и "0" в фиксируемых разрядах внутри тетрады.

Поскольку нельзя оперировать только с одноразрядными положительными числами, то надо уметь представлять многоразрядные числа с положительным и отрицательным знаком.

Если A - многоразрядное десятичное число со знаком плюс, то в прямом, обратном и дополнительном видах кодирования оно будет представлено следующим образом:

A = a a₁ a₂ a₃ ... a_n

где a_i — десятичное одноразрядное число, записанное в виде двоичной тетрады.

Если же A имеет знак минус, то для его представления можно использовать прямой, обратный и дополнительный код:

[A]_пр. = 1. a₁ a₂ a₃ ... a_n

[A]_обр. = 1. a₁ a₂ a₃ ... a_n

гдеa_i — дополнение до "9" в десятичной системе;

[A]_доп. = 1. a₁ a₂ a₃ ... a_n-1 a_n

гдеa_i — дополнение до "9" во всех десятичных разрядах, кроме младшего. В младшем разряде берётся дополнение до "10" (a_n).

Величина +875 в коде 8421 будет иметь вид: