Фундаментальные взаимодействия

Тип взаимодействия	Теория	Константа	Радиус сил
Сильное	ÊÕÄ	s 1	10^-13 ñì
Электромагнитное Слабое		e 1/137 w 10^-6	10^-16 ñì
Гравитационное		G 10^-38

6. Диаграммы Фейнмана для электромагнитных взаимодействий

Согласно квантовой теории поля взаимодействие между двумя частицами осуществляется обменом некоторой третьей частицей, которая является возбуждением (квантом) поля или переносчиком взаимодействия. Так электромагнитное взаимодействие двух электронов осуществляется обменом фотоном: один электрон испускает фотон, другой - поглощает. Этот процесс показан на рис.8.2, где изображены траектории двух электронов e₁ è e₂, двига-

Ðèñ. 8.2

ющихся навстречу друг другу в плоскости листа. В точке A электрон 1 испускает фотон и в силу закона сохранения импульса испытывает отдачу. Сохранение энергии при этом невозможно (легко убе-диться, рассматривая испускание фотона первоначально покоившимся электроном)

и поэтому испущенный фотон не обычный (свободный), а, так называемый, “виртуальный”. В силу соотношения неопределен-ностей разрешено кратковременное нарушение закона сохранения энергии. Если энергия нарушается на величину E, то такие нарушения ненаблюдаемы за временные интервалы

.

В точке B виртуальный фотон поглощается и энергетический баланс восстанавливается. Электрон 2 при поглощении фотона также испытывает отдачу и, следовательно, оба электрона отталкиваются друг от друга. Однако не всегда при взаимодействии с обменом фотоном возникают силы отталкивания, т.к. направление импульса виртуального фотона не обязательно совпадает с классическим. Виртуальный фотон отличается от свободного (то же можно сказать о любой виртуальной частице). Виртуальный фотон может пройти расстояние ct и следовательно, чем дальше он уходит, тем меньше E, слабее обмен энергией между частицами. Таким образом, сила взаимодействия электронов убывает с расстоянием, что является хорошо известным свойством кулоновского взаимодействия.

Точки A è B, в которых происходит испускание и поглощение виртуальной частицы, называют узлами (или вершинами). За исключением закона сохранения энергии в каждом узле выполняются все законы сохранения, присущие данному взаимодействию (для всех типов взаимодействий - это законы сохранения электрического, барионного, лептонного зарядов, для электромагнитного и сильного взаимодействий - это закон сохранения ч¸тности, для сильного взаимодействия - это также закон сохранения изоспина и т.д. (подробнее о законах сохранения сказано в Лекции 9). В каждом узле сохраняется импульс, но не выполняется соотношение E²-(pc)²=m²c⁴ для внутренней линии. В каждом узле сохраняется и момент количества движения. При этом для виртуальной частицы, которой соответствует свободная частица со спином J, возможны спины J, J-1,..., 1/2 или 0. Так для виртуальной векторной частицы (со спином 1), например, фотона, возможны значения J=1 è 0.

Обычно диаграммы изображают следующим образом: ось времени направлена вправо или вверх. Перпендикулярно этой оси направлена координатная ось, условно описывающая положение частиц. Вышеприведенный рис.8.2, изображавший рассеяние двух электронов, теперь меняется на рис.8.3.

Ðèñ. 8.3

Такой рисунок называется диаграммой Фейнмана. С помощью таких диаграмм можно написать (вообще говоря, комплексную) амплитуду вероятности процесса и, просуммировав амплитуды для всех возможных диаграмм, отвечающих данному процессу, получить его эффективное сечение как квадрат модуля суммарной амплитуды.

Каждому элементу диаграммы отвечает, как правило, заранее известная функция или множитель. Внешним (незамкнутым) линиям соответствуют волновые функции реальных частиц до и после взаимодействия. Внутренним линиям отвечают виртуальные частицы, распространяющиеся от точки возникновения до точки поглощения. Этим линиям сопоставляются функции распростране-ния виртуальных частиц, называемые пропагаторами (от англ. propagate - распространяться). В каждом узле появление (или поглощение) частицы происходит с вероятностью, присущей данному взаимодействию.

Фейнмановские диаграммы содержат алгоритм расч¸та амплитуды процесса, который сводится к так называемым правилам Фейнмана. Рассмотрение этих правил не входит в нашу задачу. Мы ограничимся лишь изложением самых общих принципов построения диаграмм Фейнмана и оценок с их помощью сравнительных вероятностей различных процессов.

Вероятность (или, как часто говорят, интенсивность) реального или виртуального процесса, соответствующего данному узлу, определяется, главным образом, тремя факторами:

1. фундаментальным взаимодействием, ответственным за про-цесс, т.е. константой , о которой говорилось в предыдущем разделе (чем больше , тем выше вероятность);

2. степенью нарушения соотношения E²-(pc)²=m²c⁴ для вирту-альной частицы - степенью виртуальности (чем сильнее это нарушение, тем ниже вероятность);

3. полной энергией столкновения или распада (чем больше энергия распада, тем выше его вероятность).

Самый важный фактор - первый, определяемый константой взаимодействия . Амплитуда вероятности процесса, представля-емого узлом из трех линий, пропорциональна . В диаграмме сN узлами амплитуда вероятности A_N ()^N. Так, амплитуда электрон-электронного рассеяния, описываемого вышеприведен-ными диаграммами с двумя узлами, пропорциональна ()²=, ò.å. A_ee()²=. Сама вероятность этого процесса ², т.к. эта вероятность определяется значением дифференциального эффективного сечения , которое связано с амплитудойA процесса соотношением (без доказательства)

= |A|². (8.4)

Напомним, что амплитуда процесса в квантовой механике аналогична амплитуде процесса в оптике, а интенсивность процесса в оптике аналогична дифференциальному эффективному сечению в квантовой механике.

Виртуальной частицей не обязательно должен быть квант поля (например, фотон - квант электромагнитного поля). Ею может быть, например, электрон, как в ниже рассмотренном примере комптон-эффекта. Электрон в этом примере является переносчиком взаимодействия. Однако, как мы увидим, и в этом случае “элементарным” блоком диаграммы остается тот же узел из двух электронных и одной фотонной линий, который был в ee-рассеянии.

Рассмотрим в качестве примера эффект Комптона - рассеяние фотона на свободном электроне. Диаграммы низшего порядка (т.е. с наименьшим числом узлов) для этого процесса - это двухузловые диаграммы. Можно нарисовать 2 типа двухузловых диаграмм комптон-эффекта (рис.8.4).

1	21

Ðèñ. 8.4

Если процесс комптон-эффекта развивается в соответствии с диаграммой 1, то фотон сначала поглощается электроном в момент времени t₁, отвечающий первому узлу, а затем испускается в момент t₂, отвечающий второму узлу. На временном интервале от t₁ äî t₂ имеется лишь один виртуальный электрон.

Если реализуется диаграмма 2, то сначала в момент t₁ электрон испускает фотон, с которым в дальнейшем ничего не происходит. Первичный фотон в момент t₂ поглощается электроном и исчезает. В интервале от t₁ äî t₂ имеются два фотона и виртуальный электрон.

Амплитуда вероятности комптон-эффекта A с учетом только двухузловых диаграмм есть сумма амплитуд, соответствующих диаграмм 1 è 2: A=A₁+A₂. Сама вероятность комптон-эффекта дается дифференциальным сечением

_{комптон} = |A|² = |A₁ +A₂|².

Ò.ê. A₁ = A₂ ()² = _e, òî

_{комптон} e⁴.

Дифференциальное сечение ee-рассеяния с учетом только двухузловых диаграмм также пропорционально .

Множители в узлах процессовee-рассеяния и комптон-эффекта характеризуют вероятность испускания (поглощения) фотона электроном. Если вместо электрона будет объект с зарядом Ze, то он будет создавать вокруг себя в Z раз более плотное облако виртуальных фотонов и соответствующий множитель в узле будет равен Z. Диаграмма низшего порядка для упругого рассеяния электрона на ядре с зарядом Ze показана на рис.8.5.

Ðèñ. 8.5

Амплитуда этого процесса A Z =Ze, а его сечение (вероятность) Z^2 Z^2e^4. Как мы уже видели именно множители Z^2e^4 присутствуют в резер-фордовском и моттовском сечениях (Лекция 1).

Константа _e - не что иное как постоянная тонкой структуры, хорошо известная в атомной физике:

_e << 1.

Поэтому увеличение числа узлов диаграммы на два (это минимальное число узлов, на которое можно увеличить диаграмму процесса, т.к. появление нового узла, где возникает виртуальная частица, обязательно должно быть дополнено еще одним узлом, где эта виртуальная частица исчезает) уменьшает вероятность процесса примерно в 10⁴ ðàç.

Следовательно в электромагнитных процессах с большой точностью можно ограничиться диаграммами с минимальным числом узлов. При этом расчет вероятности процесса сильно облегчается. Так при расчете ee-рассеяния из всех возможных диаграмм в хорошем приближении может быть оставлена лишь простейшая - двухузловая (рис.8.6).

	A()^2=e	A()^4=	A()^6=

Ðèñ. 8.6

На рис.8.6 темный кружок слева - область взаимодействия. Приведено лишь по одному типу 4-х и 6-ти узловых диаграмм (их на самом деле много больше).

Аналогично обстоит дело и в слабых взаимодействиях (_w 10^-6), где также можно в большинстве случаев ограничиться малоузловыми диаграммами. А в сильных взаимодействиях (_s 1) часто приходится учитывать большое число диаграмм, что существенно осложняет расчеты. Поэтому точность КХД, скажем в предсказании магнитных моментов нуклонов, 10% в лучшем случае, что ниже точности эксперимента в 10⁶-10⁷ раз. Точность же КЭД, как уже отмечалось, достигает 10^-10, что отвечает учету восьмиузловых диаграмм. Именно в таких расчетах получена величина магнитного момента электрона _e, приведенная в предыдущем разделе.

Отметим еще то, что линии античастиц на диаграммах направлены в сторону уменьшения времени. Возникновение такого обозначения античастиц поясняется рис.8.7.

Ðèñ. 8.7

На этом рисунке слева показан обычный электромагнитный узел, описывающий испускание (поглощение) фотона электроном. Если повернуть левый электронный луч вокруг узловой точки в положение, когда он будет лежать правее узла, то получим правую диаграмму. При этом стрелка на повернутом луче будет направлена в сторону меньших времен и самому этому лучу будет отвечать позитрон (e⁺), а не электрон (e^-). Этого требует закон сохранения электрического заряда. Правая диаграмма описывает процесс рождения фотоном пары e⁺e^-. Ещ¸ раз подчеркнем, что показанные на рис.8.7 диаграммы не описывают реальных процессов, т.к. не обеспечивают одновременное выполнение законов сохранения энергии и импульса. Эти диаграммы должны быть составными частями более сложных диаграмм.

В завершение этого раздела ещ¸ раз определим константу взаимодействия . В Лекции 5 мы определяли эту константу как безразмерную величину

= , (8.5)

где каждому взаимодействию присущ свой заряд - электрический для электромагнитного взаимодействия, и, соответственно, сильный, слабый и гравитационный - для трех других взаимо-действий. Для электромагнитного взаимодействия в качестве заряда используется элементарный электрический заряд (заряд электрона или протона), что дает _e. В качестве трех других зарядов (сильного, слабого и гравитационного) будем использовать соответствующие заряды протона, который участвует во всех видах взаимодействий (гравитационный заряд протона - это просто его масса). Полученные при этом константы _s, _w è _G приведены в табл.8.2, помещенной в предыдущем разделе.