23

ЛЕКЦИЯ 7

Содержание

1. Модель ядерных оболочек. История е¸ появления. Магические числа.

2. Формулировка модели оболочек для ядра. Роль принципа Паули. Объяснение магических чисел. Нуклонные конфигурации.

3. Квантовые характеристики основных состояний ядер в одночастичной модели оболочек (ОМО). Возбужденные состояния в ОМО.

4. Ограниченность одночастичной модели оболочек. Многочастичная модель оболочек (ММО). Коллективные возбуждения ядер. Аналогия с молекулой.

5. Вращательные уровни ч¸тно-ч¸тных несферических (деформирован-ных) ядер.

6. Колебательные (вибрационные) уровни ч¸тно-ч¸тных сферических ядер.

7. Реальный ядерный спектр.

1. Модель ядерных оболочек. История е¸ появления.

Магические числа.

Модели ядра можно разбить на два больших класса - микроскопические (рассматривающие поведение отдельных нуклонов в ядре) и коллективные (рассматривающие согласованное движение больших групп нуклонов в ядре). Один из примеров последних - модель жидкой капли. Среди микроскопических ядерных моделей выделяется модель оболочек. Она аналогична модели атомных оболочек, в которой задача многих тел сведена к задаче одного тела (одночастичной задаче) - движению невзаимодействующих друг с другом электронов, подчиняющихся принципу Паули, во внешнем (кулоновском) поле ядра. Таким образом, модель оболочек для атома базируется на двух основных положениях:

1. Отсутствие взаимодействия между частицами (электронами).

2. Наличие внешнего поля сил притяжения (потенциальной

ÿìû) V(r)=-Ze²/r.

Ни одно из этих условий для ядра не выполняется. Ядро - это система сильно взаимодействующих плотно упакованных нуклонов. Ядерное поле создается внутренними межнуклонными силами. Нуклоны в ядре должны часто сталкиваться и обмениваться энергиями. Средняя длина свободного пробега нуклона в ядре должна быть меньше радиуса ядра. Все это приводит к выводу о невозможности движения нуклонов внутри ядра по устойчивым орбитам, с долго сохраняющимися квантовыми числами, т.е. нахождения их на определенных оболочках. Однако факты заставили эту модель ввести. Она была сформулирована в 1949 г. Марией Гепперт-Майер, Хансом Йенсеном, а также Хакселем и Суэссом. Первые двое за эту работу были удостоены в 1963 г. Нобелевской премии.

Рис. 7.1. Относительная распространенность средних и тяжелых ядер

Основной факт, подтверждающий оболочечное строение ядра - это “магические числа” нуклонов (протонов и нейтронов). Ядра, у которых число нейтронов и (или) протонов равно этим числам (2, 8, 20, 50, 82, 126) обладают повышенной устойчивостью и распространенностью, а также целым рядом других свойств, выделяющих их из других ядер. Магические числа были установлены ещ¸ в 1934 г. немецким физиком Эльзассером и интерпретированы им и американцем Бартлетом задолго до 1949 г. как проявление оболочечного строения ядер. Приведем основные экспериментальные факты в пользу существования магических чисел:

1. Повышенная распространенность магических ядер (рис.7.1).

2. Относительное уменьшение массы магических ядер (рис.7.2).

3. Увеличение энергии отделения нейтрона в ядрах с N=50, 82,

126 (ðèñ.7.3).

4. Резкое увеличение энергии первого возбужденного состояния у

ядер с магическим числом нейтронов и (или) протонов (рис.7.4).

Ðèñ. 7.2.

Ðèñ. 7.3

Магическим числам нуклонов отвечают ядра с заполненными оболочками, демонстрирующие особую устойчивость, подобно благородным газам, имеющим заполненные атомные оболочки. Оболочечная структура ядра свидетельствует о том, что нуклоны в ядре во многом ведут себя как независимые частицы в потенциальной яме.

Ðèñ. 7.4

2. Формулировка модели оболочек для ядра. Роль принципа Паули.

Объяснение магических чисел. Нуклонные конфигурации.

Возможность введения модели оболочек для ядра означает, что многочастичная ядерная задача допускает такую переформулировку, при которой усреднение отдельных короткодействующих межнуклонных потенциалов внутри ядра сводится к возникновению почти одинакового для всех нуклонов потенциала притяжения (яме), причем нуклоны в этой яме можно приближенно рассматривать как независимые частицы.

Фундаментальная роль в применимости модели оболочек к ядрам принадлежит принципу Паули. Этот принцип существенно ограничивает возможность взаимодействия между двумя фермионами при низких энергиях. Так у невозбужденного ядра нижние одночастичные состояния вплоть до некоторой энергии (уровня Ферми) заполнены. Взаимодействие двух нуклонов с изменением их состояния требует их перехода на новые энергетические уровни. При этом один нуклон увеличивает свою энергию и переходит в более высокое свободное состояние, а другой - теряет энергию и обязан занять более низкое состояние. Но все нижние состояния уже заполнены и на них не может появиться дополнительный фермион. Таким образом, нуклоны продолжают двигаться по прежним орбитам и длина свободного пробега нуклона становится больше диаметра ядра. Возникает условие для устойчивых нуклонных орбиталей.

Будем рассматривать “сферическую” модель оболочек, когда нуклоны находятся в сферически симметричной потенциальной яме V()V(r). Пренебрегаем кулоновским взаимодействием. Рассмот-рим три вида модельного потенциала (рис.7.5):

Ðèñ. 7.5

1. Прямоугольная яма с бесконечно высокими стенками V(r) = (7.1) 2. Потенциал гармонического осци- ллятора (M - масса нуклона) V(r) = -V0 +M^2r^2. (7.2) 3. Потенциал Вудса-Саксона V(r) . (7.3)

Последний потенциал наиболее близок к реальному ядерному потенциалу. По форме он является перевернутым распределением Ферми для плотности ядерного вещества (см. Лекцию 1). В потенциале (7.3) V₀40-50 ÌýÂ, a0.55 ôì.

Переход от короткодействующего межнуклонного потенциала к ядерной яме иллюстрируется рис.7.6.

Если выбран модельный потенциал, то далее все сводится к решению уравнения Шредингера для отдельного нуклона. Пусть H₀ - гамильтониан ядра, а h - гамильтониан отдельного нуклона (с индексом ). Тогда имеем

H₀ = E,

ãäå

H₀ . (7.4)

Ðèñ. 7.6.

Уравнение Шредингера для отдельного нуклона

. (7.5)

Ò.ê. h выглядит одинаково для всех нуклонов, то запишем

h_i = _ii, (7.6)

причем волновая функция нуклона, описывающая его орбитальное движение, имеет вид

_nLm = R_nL(r)Y_Lm (,), (7.7)

ãäå n - главное квантовое число (n=1, 2, 3, ...), L - орбитальный момент нуклона, m - его проекция на ось z. n - число узлов (точек обращения в нуль) радиальной волновой функции в области r>0. При фиксированном L энергия нуклона тем больше, чем больше число n. Äëÿ L используются обычные буквенные обозначения.

L = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ....

s p d f g h i j

Состояние нуклона обозначают (как и состояние электрона в атоме) в виде комбинации n(число) L(буква). Последовательность одночастичных уровней зависит от V(r). На рис.7.7 показаны схемы уровней для потенциалов гармонического осциллятора, прямоугольной ямы и промежуточной формы (типа Вудса-Саксона). Ядерные оболочки обычно обозначают по уровням гармонического осциллятора: 1s-оболочка, 1p-оболочка, 1d2s-оболочка и т.д. Подоболочками называют одночастичные уровни, входящие в состав оболочек.

Ðèñ. 7.7.

Заполнение оболочек (подоболочек) нуклонами происходит в соответствии с принципом Паули. В основном состоянии заняты самые нижние уровни. При этом одночастичные уровни для протонов и нейтронов заселяются независимо. Число нуклонов одного типа на уровне дается формулой

_L = 2(2L+1), (7.8)

ãäå (2L+1) - число ориентаций вектора , а 2 - число ориентаций спина нуклона.

Уровни гармонического осциллятора эквидистантны. Расстояние между ними дается выражением

47A^-1/3 ÌýÂ (7.9)

ïðè V₀=40 ÌýÂ.

Из (7.9) видно, что с ростом числа нуклонов A “плотность” оболочек растет (расстояние между оболочками уменьшается). Так при A=20 17 ÌýÂ, à ïðè A 200 8 ÌýÂ.

Уровни гармонического осциллятора характеризуются сильным вырождением. В потенциале Вудса-Саксона (как и в прямоугольной потенциальной яме) снимается вырождение по орбитальному моменту нуклона в пределах одной оболочки и происходит перегруппировка подоболочек для высоких одночастичных уровней. Оболочками в случае произвольного потенциала следует считать группы близко расположенных одночастичных уровней.

Пользуясь формулой (7.8), можно найти максимальное число нуклонов одного типа на подоболочке (одночастичном уровне), максимальное число нуклонов одного типа на оболочке (группе близкорасположенных одночастичных уровней) и, наконец, - максимальное число нуклонов одного типа в ядрах с заполненными оболочками. Эти последние числа должны отвечать магическим ядрам. Для потенциалов гармонического осциллятора, прямоуголь-ной ямы и промежуточной формы (типа Вудса-Саксона) получаем следующие магические числа (рис.7.7):

гармонический осциллятор N, Z = 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168;

прямоугольная яма N, Z = 2, 8, 20, 34, 58, 92, 138;

Вудс-Саксон N, Z = 2, 8, 20, 40, 70, 92, 138.

Лишь первые три числа (2, 8, 20) совпадают с реальными магическими числами. Для объяснения всего набора магических чисел, как оказалось, необходимо учесть спин-орбитальные силы, т.е. ту часть ядерного потенциала, которая зависит от взаимной ориентации орбитального и спинового моментов нуклона (об это типе межнуклонных сил говорилось в Лекции 5). С учетом спин-орбитальной добавки ядерный потенциал записывается в виде

V(r) = V₁(r) +V₂(r) , (7.10)

ãäå V₂(r)<0 êàê è V₁(r).

Рис. 7.8. Схема ядерных уровней при наличии спин-орбитальной связи. Показано расположение нуклонов в основном состоянии ¹⁶O.

В потенциале (7.10) снимается вырождение по полному моменту j нуклона в пределах одной оболочки, который при данном L, в зависимости от ориентации спина, принимает 2 значения: j=L1/2. Иными словами потенциал (7.10) расщепляет состояния с разной взаимной ориентацией è . Таким образом, каждый одночастичный уровень расщепляется на два. Глубже опускается уровень с j=L+1/2, т. к. в этом случае нуклон сильнее взаимодействует с остальными. Возникновение схемы ядерных одночастичных уровней с учетом sL-расщепления демонстрируется рис.7.8.

В обозначение одночастичных уровней вводится нижний индекс, указывающий величину j. Так вместо уровня 1p появляются два уровня с j=1/2 и 3/2, обозначаемые 1p_1/2 è 1p_3/2. Величина расщепления, очевидно, тем больше, чем больше L (это следует уже из вида выражения ). Начиная с уровня 1g (рис.7.8), затем 1h è ò.ä., sL-расщепление становится сравнимым с расстоянием между соседними осцилляторными оболочками. Расщепление уровней с L4 настолько велико, что нижний уровень оболочки с максимальным j è L сильно опускается вниз и присоединяется к предыдущей оболочке (это относится к уровням 1g_9/2, 1h_11/2, 1i_13/2 è 1j_15/2, которые попадают соответственно в 4-ю, 5-ю, 6-ю и 7-ю оболочки).

Количество нуклонов одного сорта на подоболочке равно числу _j проекций j íà îñü z:

_j = 2j + 1. (7.11)

Состояния ядра в изложенном варианте модели оболочек, которая носит название одночастичной модели оболочек (ОМО), определяются расположением нуклонов на одночастичных орбитах и называются конфигурациями. Основное состояние ядра отвечает расположению нуклонов на самых нижних подоболочках (орбитах). На рис.7.8 показано расположение нуклонов по подоболочкам в основном состоянии ядра . Кулоновское отталкивание протонов увеличивает энергию протонных одночастичных уровней по сравнению с нейтронными и видоизменяет потенциальную яму для протонов (она мельче нейтронной и за пределами ядра дополнена кулоновским потенциалом). С учетом этого расположение нуклонов по подоболочкам в основном состоянии¹⁶O правильнее изобразить рис.7.9. Конфигурации записываются в виде последовательности обозначений , ãäå_j - число нуклонов на подоболочке. Так для основного состояния ядра конфигурация нуклонов выглядит так -èëè.

Ðèñ. 7.9.