Звенья второго порядка

Дифференциальное уравнение звена в оригиналах и изображениях:

	T	d 2 y(t)	T	dy(t)	y(t) kx(t)
		dt 2		dt
	1		2

(T12 p2 T2 p 1)Y ( p) kX ( p).

T1, T2 – постоянные времени Передаточная функция

		k
W ( p)			.
	T 2 p2	T p 1
1		2

Пусть p1, p2 – корни характеристического уравнения

T12 p2 T2 p 1 0

Апериодическое звено второго порядка

• p1, p2 – вещественные отрицательные корни Передаточная функция

W ( p)		k			k
	T 2 p2	T p 1			T3 p 1 T4 p 1
1		2

где эквивалентные постоянные времени

T3,4 T2 T22 T12

2 4

• Апериодическое звено второго порядка есть последовательное соединение двух инерционных звеньев с постоянными времени T3, T4, поэтому его

ЛАЧХ и ЛФЧХ – сумма ЛАЧХ и ЛФЧХ этих звеньев

		ЛАЧХ и ЛФЧХ
		G( )				-20дБ/дек
	G0					-40дБ/дек
		lg	1	lg	1
		0	T		T	lg
			3		4
	4	0				lg
	2

Переходная функция и переходная характеристика апериодического звена второго порядка

		T3	e	t		T4	e	t
	h(t) k 1			T3				T4	.
		T4 T3				T4 T3

h(t)

k

0

t

Колебательное звено

• p1, p2 – комплексные сопряжённые корни с отрицательными вещественными частями

Передаточная функция

W ( p) T 2 p2 k2 Tp 1

Здесь T T1			T2
Параметр					называется коэффициентом
			2T1
демпфирования					0 1
Для колебательного звена

Для апериодического звена второго порядка 1 и корни p1, p2 становятся вещественными

Частотная передаточная функция
W ( j )	k		k 1 2T 2 2 j T
1 2T 2 2 j T			1 2T 2 2 4 2 2T 2
ВЧХ			МЧХ
	1 2T 2				2 T
P( ) k 1 2T 2 2 4 2 2T 2			Q( ) k 1 2T 2 2 4 2 2T 2				,
АЧХ				A( )		0
	k
A( ) W ( j )						< 0,707
	1 2T 2 2
		4 2 2T 2				> 0,707
			k
			0	к1	к2

Частота собственных колебаний						к		1 2
								T
ЛАЧХ	G( ) 20lg k 20lg				1 2T 2 2		4 2 2T 2
					G( )			< 0,5
ФЧХ		Q( )						- 40 дБ/дек
( ) arctg				G0				> 0,5
		P( )
		2 T			0			1	lg
arctg		1 2T 2			( )			lg T
					0			< 0,5	lg
				2
									> 0,5

Переходная функция и переходная характеристика колебательного звена

				t
						1			2								1			2
				T
h(t) k	1	e			cos			T			t					sin			T			t
												1		2

	h(t)
	= 0,15
	= 0,7
k
	hmax
0	t

Консервативное звено

• p1, p2 – мнимые сопряжённые корни, что соответствует

Передаточная ф 0

W ( p)

k

T 2 p2 1

Частотная передаточная функция

W ( j )

k

АЧХ

k

ЛАЧХ

1 2T 2

W ( j )

20lg 1 2T 2

G( ) 20lg k

ФЧХ

1 2T 2

0

при

1

,

2 T

T

( ) lim arctg

1 2T 2

1

0

при

.

T

ЛАЧХ и ЛФЧХ

G( )

- 40 дБ/дек

G0

0	lg
( )

0		lg

Переходная функция и переходная характеристика

	t
h(t) k 1 cos
	T

h(t)

k

0

t