Задачи и упражнения

Пример 1.

Докажите справедливость неравенства

Доказательство:

1. 

2. 

получаем 2 случая:

а) получаемое число становится менее нуля,

из определения разности по модулю k: .

б) получаемое число становится равным нулю,

.

С другой стороны: .

Таким образом, в случаях а) и б) формулы приобретают одинаковые значения, что и требовалось доказать.

Пример 2.

Для k=3 представить функцию в первой и второй формах (полученные выражения упростить)

Для представления функции в первой форме:

Для представления функции во второй форме:

I. Докажите справедливость следующих неравенств

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. , i=1, 2, …, k-1

II. При каких значениях k (k3) функции x², x³ и x⁴ попарно различны?

III. Для заданного k представить функцию f в первой и второй формах (полученные выражения упростить)

1. f=~ x, k=4;

2. f=-j₀(x), k=5;

3. f=2J₁(x), k=6;

4. f=J₂(x²+x), k=5;

5. f=(~x)²+x, k=4;

6. f=3j₁(x) - j₃(x), k=4;

7. f=x₁+2x₂, k=3;

8. f=max (x₁, x₂), k=3;

9. f= x₁  x₂², k=3;

10. f= x₁² x₂, k=3.

5. Логика высказываний

Логика высказываний является разделом математической логики в котором рассматриваются сложные предложения, получающиеся из предложений, принимаемых за элементарные высказывания, соединенных союзами “И”, “ИЛИ”, “ИЛИ…ИЛИ”, “ЕСЛИ…, ТО”, “ТОГДА И ТОЛЛЬКО ТОГДА, КОГДА” и присоединением к ним частицы “НЕ”.

Высказывание – это предложение, которое может оцениваться по его истинности, а не с точки зрения его содержания.

Неделимое высказывание называется элементарным.

Сложные высказывания соединяются логическими связями или связками “И”, “ИЛИ”, “ИЛИ…ИЛИ”, “ЕСЛИ…, ТО”, “ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА” и частицей “НЕ”.

Логика высказываний занимается не смыслом высказывания, а анализирует, истинно оно или ложно.

Про истинное предложение говорят, что его логическим значением является истина, а про ложное – что его логическим значением является ложь.

Примеры элементарных высказываний:

“пять – нечетное число”, “трава голубая”, “Томск – столица Сибири”.

Следующие предложения не являются высказываниями: “Уходя, гасите свет”, “сколько Вам лет?” и т.п. Такого типа выражения в логике высказываний не рассматриваются.

В естественном языке союзы и частица “НЕ” имеют не вполне отчетливое значение, а некоторые из них могут употребляться в различных смыслах. Например, союз “ИЛИ” может быть разделительным (как в фразе “выбирай, он или я”) или неразделительным (как в фразе “от шума или света я проснулся”, в которой не исключается, что "я проснулся" от общих причин).

В логике высказываний принято ставить в соответствие высказываниям буквы и называть их логическими переменными.

Рассмотрим выражение: Если в следующее воскресенье будет плохая погода и я не достану билет на концерт, то я схожу в кино или буду готовиться к зачету. Разобьем это высказывание на элементарные высказывания и обозначим их буквами:

а – в следующее воскресенье будет плохая погода;

b – я достану билет на концерт;

c – я схожу в кино;

d – буду готовиться к зачету.

Выражение примет следующий вид:

Если a и не b, то c или d

Для сокращения письма связки обозначаются соответствующими знаками: ¬, ۸, ۷, ~, , . Смысл операций (связок) устанавливается соответствующими таблицами, поскольку определить операцию – это значит определить истинность высказывания для каждого значения логических переменных.

1. отрицание ¬а, ā, не а; Ложь обозначим буквой Л, истину – И.

   а	ā
   Л И	И Л

2. конъюнкция а ۸ b , (a и b, (a & b), (a конъюнкция b) . Эту операцию называют логическим умножением.

a b	a ۸ b
Л Л Л И И Л И И	Л Л Л И

Пример: 5 > 2 и 7 четное число. Оценим истинность данного высказывания. 5 > 2 – истина; 7 четное число – ложь; в результате исходное выражение ложно.

3. дизъюнкция a ۷ b, (a или b). Операция логического сложения.

   a b	a ۷ b
   Л Л Л И И Л И И	Л И И И

4. импликация a → b (если a, то b).

   a b	a → b
   Л Л Л И И Л И И	И И Л И

5. Эквивалентность a ~ b, (a эквивалентно b), (a если и только если b)

a b	a ~ b
Л Л Л И И Л И И	И Л Л И

6. дизъюнкция с исключением  ; (или a или b)

a b	a  b
Л Л Л И И Л И И	Л И И Л

Рассмотрим предыдущий пример. В соответствии с введенными операциями он будет выглядеть:

а ۸ ¬ b → c ۷ d.

Вычислим истинность этого высказывания. Для этого необходимо построить таблицу истинности от четырех переменных, в которой будет 2⁴ строк и вычислить значение на каждом наборе переменных.

a	b	c	d	a ۸ ¬ b → c ۷ d
Л	Л	Л	Л	И
Л	Л	Л	И	И
Л	Л	И	Л	И
Л	Л	И	И	И
Л	И	Л	Л	И
Л	И	Л	И	И
Л	И	И	Л	И
Л	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	Л
И	Л	Л	И	И
И	Л	И	Л	И
И	Л	И	И	И
И	И	Л	Л	И
И	И	Л	И	И
И	И	И	Л	И
И	И	И	И	И

Это высказывание ложно только в одном случае, когда высказывания а = И, b = Л, c = Л, d = Л.

Логика высказываний не дает методов вычисления истинности элементарных высказываний, но хорошо определяет истинность сложных высказываний.

Если высказывание сложное и стоит задача определить истинность высказывания, то необходимо построить формулу или систему формул. Далее необходимо определить множество правильных формул, затем выполнить действия и получить ответ.

1. Определим алфавит, т.е. символы, которыми можно пользоваться:

a, b, c,…, x, y, z, ۸, ۷, ¬, →, , ), (.

2. Будем утверждать, что a, b, c,…, x, y, z – формулы.

3. Если a, b – формулы, то формулами являются выражения:

(¬а), (ab), (ab), (aB), (a~b), (ab).

4. Других формул нет.

Примеры:

((a  b)  (¬(с  а))), ((а  (¬b))  a) – формулы.

(а¬b)- не является формулой.

Введем правила упрощенного написания формул.

Прежде всего, определим приоритетность выполнения операций. Для этого разобьем их на группы и запишем в порядке уменьшения приоритета.

¬; ; ; ; ; ~;

Если перед нами формула, то, прежде всего, выполняются операции в скобках и операция отрицания, затем – конъюнкция. Операции дизъюнкция и дизъюнкция с исключением имеют одинаковый приоритет. Если необходимо какую-либо из них выполнять первой, то надо уточнить, используя скобки. То же самое касается операций импликации и эквивалентности, которые имеют наиболее низкий приоритет.

Для упрощения написания можно опускать знак конъюнкции.

И последнее. Символ отрицания можно помещать над переменной, скобкой в виде черты.

Пример:

Рассмотрим формулы А и В. Визуально формулы могут быть различны, но может оказаться, что для каждого набора значений переменных значения ложь и истина совпадают, тогда говорят, что формулы А и В равносильны, т.е. А=В; А = И – формула истинна, если через И обозначить формулу, которая всегда истинна. А=Л – формула всегда ложна. Необходимо заметить, что под символом = понимается отношение равенства.