Операции над нечеткими множествами.

Пусть М- базовое множество, Р = [0,1 ] - множество принадлежности , А и В два нечетких подмножества. К нечетким множествам применимы те же операции, чтои к обычным множествам.

Дополнение. А и В дополняют друг друга А = В или А = В, если

( х М) ( _А (х) = 1 - _В (х) )

Пример.

М ={1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7}. А = {(0.3/1), (0.7/3), (0.9/6)}.

Тогда Ā = {(0.7/1), (1/2), (0.3/3) (1/4), (1/5), (0.1/6), (1/7)}.

Пересечение. Пересечение А ∩ В определяют как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В.

( х М) ( _А∩В (х) = min (_А (х), _В (х) ).

Объединение. Определим объединение А  В как нечеткое множество, которое содержит как А, так и В.

( х М) ( _АВ (х) = max (_А (х), _В (х) ).

Введенные операции дополнения, объединения, пересечения удовлетворяют законам:

Коммутативности объединения и пересечения:

АВ = ВА, АВ = ВА.

Закон ассоциативности:

А (ВС) = (АВ)  С;

А (ВС) = (АВ) С.

Закон дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения:

А  (ВС) = А ВАС;

А (ВС) = (АВ)  (АС).

Закон идемпотентности:

А  А = А; А  А = А.

Законы де Моргана:

Закон двойного дополнения:

Действия с универсальным и пустым множествами:

А   = А, А   =  , А 1 = 1, А 1 = А.

 - пустое множество.   ( х А) (  _ (х) = 0 ).

1 – универсальное множество 1  ( х А) (  ₁ (х) = 1 ).

Необходимо заметить, что соотношения А  Ā = , А  Ā = 1 с нечеткими множествами не выполняется. Рассмотрим пример. Пусть М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {(0.3/1), (0.4/2), (0.5/3), (0.8/4), (0.9/5),(1/6)}.

Тогда Ā = {(0.7/1), (0.6/2), (0.5/3), (0.2/4), (0.1/5), (0/6)}.

А  Ā = {(0.3/1), (0.4/2), (0.5/3), (0.2/4), (0.1/5), (0/6)}.

А  Ā = {(0.7/1), (0.6/2), (0.5/3), (0.8/4), (0.9/5), (1/6)}.

В силу несправедливости выше приведенных соотношений не выполняются законы склеивания:

ВАВĀ  В, В АВĀ  В.

Так же не выполняются законы Порецкого:

АВĀ  ВА , А(ВĀ)  АВ.

Ряд задач информационной математики сводятся к определению «близости» нечеткого подмножества к подмножеству , выполняющему роль эталона. При решении этих задач используется понятие метрического пространства.

Метрическим пространством называется множество (M, D), состоящее из элементов множества М (точек) и определенного в нем расстояния d(m_i, m_j)D между любыми двумя точками m_i, m_j удовлетворяющего условиям:

Неотрицательности:

Симметричности:

d(m_i, m_j) = d(m_j, m_i).

Транзитивности:

d(m_i, m_j) + d(m_j, m_k) = d(m_i, m_k).

Расстоянием Хэминга d_h(A,B) между подмножествами А, В (обыкновенные детерминированные подмножества, в этом случае _А (х) принимает значения из {0,1}) называется число, равное

,

где n размерность пространства.

Относительным расстоянием Хеминга d_hо(A,B) между подмножествами А и В называется число, равное n^-1 d_h(A,B).

Рассмотрим пример. Пусть А ={10110}, B={01101}.

Расстояние Хемминга d_h(A,B) = 4. Относительное расстояние Хеминга d_hо(A,B) = 5^-14 = 0.8.

Обобщенное расстояние Хэминга (линейное расстояние) d_л(А, В) между нечеткими подмножествами А, В определяется значением

,

где n размерность пространства.

Здесь _А (х) принимает значения на интервале [ 0, 1 ].

Пример.

А={(0.2/1), (0.8/2), (1.0/3), (0.0/4), (0.7/5), (0.8/6)},

B={(0.3/1), (0.9/2), (0.8/3), (0.6/4), (1.0/5), (0.0/6)}.

d_л(А, В) =|0.2-0.3| + |0.8-0.9| +|1.0-0.8| +|0.0-0.6| +|0.7-1.0|+|0.8-0.0|=2.1.

Относительное линейное расстояние d _ол(А, В) определяется как

d _ол(А, В) = n^-1d_ол(A,B).

Евклидовым (квадратным) расстоянием d_e(А,В) между нечеткими подмножествами А и В называется число

где n – размерность пространства. Очевидно, что

Относительное евклидово расстояние d_eo(А, В) определяется как

в этом случае 0 ≤ d_eo ≤ 1 .

Рассмотрим еще два определения «расстояние»: – линейный индекс нечеткости  (А'), вычисляемый через относительное линейное расстояние d_oл(А', А) и квадратичный индекс нечеткости Χ (А'), определяемый посредством относительного евклидова расстояния d_eo(А', А)

где n – размерность пространства,

2 – коэффициент, обеспечивающий соотношения

0  (А')  1, 0  Х(А')  1.