Задачи и упражнения

2.1. Укажите номера всех пар, являющихся элементами отношения:

a - b = 2, a  A, A = {1, 2, 3, 4, 5}, b  B, B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

1. 3,1; 2) 6,4; 3) 4,6; 4) 5,3; 5) 4,2; 6) 7,5; 7) 8,6.

2.2. Найдите элементы множества

(AB)(BA), A = {a, b}, B = {b, c}.

2.3. Найдите элементы множеств А и В, если

AB = {<a, 3>, <a, 8>, <b, 3>, <b, 8>, <k, 3>, <k, 8>}.

2.4. Декартово произведение множеств А и В содержит 12 элементов. Известно, что А = {a, k, f} и АВ = . Найдите число собственных подмножеств множества В.

2.5. Укажите рефлексивные отношения:

• точка а удалена от точки b на 4 см.;

• a  b, где a и b – натуральные числа;

• a  b, где a и b – натуральные числа;

• a похоже на b (в множестве людей);

• Петров и Сидоров имеют одинаковый рост;

• Смирнов и Васильев живут на третьем этаже;

• число а не больше числа b;

• поезд a идет быстрее поезда b.

2.6. Укажите симметричные отношения:

• лесоруб спилил дерево;

• число а не больше числа b, где a, b{1, 2, 3,…, 9};

• а равно b;

• с старше, чем b;

• Таня – сестра Пети;

• 25 + 10 = 20 + 15.

2.7. Укажите транзитивные отношения:

• быть южнее;

• не равно;

• быть врагом;

• являться матерью;

• дружить.

2.8. Укажите отношения эквивалентности:

• автомобиль а столкнулся с автомобилем b;

• высота горы а равна высоте горы b;

• Иванов задал вопрос Петрову;

• a + b = 100, где a, b{1, 2, 3,…, 100}.

• прямая а перпендикулярна прямой b;

• A и b равновеликие треугольники;

• фраза а имеет тот же самый смысл, что и фраза b.

2.9. Привести примеры отношений:

• не рефлексивного, но симметричного и транзитивного;

• не симметричного, но рефлексивного и транзитивного;

• не транзитивного, но рефлексивного и симметричного.

2.10. На множестве АА, где А – множество натуральных чисел {1, 2, 3,…} определено отношение R : <x, y> R<u,v>, такое, что х + v = y + v. Доказать, что R - отношение эквивалентности на этом множестве.

2.11. Доказать, что если отношения R₁ и R₂ рефлексивны, то рефлексивны отношения R₁ R₂, R₁ R₂.

2.12. На множестве А = {1, 2, 3, 4, 5} задано отношение R = {<1,2>, <3,1>, <3,4>, <4,4>, <5,4>}. Построить рефлексивное, симметричное и транзитивное замыкания.

3. Нечеткие множества

Расширим понятия множества, введя свойство нечеткости. Принадлежность элемента х множеству А х  А, А  М будем задавать с помощью характеристической функции: _А (х) которая принимает значения на интервале [ 0, 1 ]. В соответствии с этим элемент может не принадлежать множеству А (в этом случае _А (х) =0), может принадлежать множеству А в какой-то степени, может быть элементом множества А (_А (х)=1).

Нечеткие множества применяются в том случае, когда затруднительно использовать традиционный математический аппарат, то есть когда характеристики объекта размыты. Как правило, это качественные характеристики и они не могут быть однозначно интерпретированы.

Нечетким множеством А множества М назовем множество пар

А={( _А (х) | x)}, где х  М, _А (х)  [ 0 , 1].

Функция _{А :} х [ 0, 1] называется функцией принадлежности нечеткого множества А. М называется базовым множеством. Множество элементов Х  М для которых функция принадлежности не равна нулю, называется носителем нечеткого множества.

Для каждого конкретного значения хМ величина _А (х) принимает определенное значение из заданного интервала [ 0, 1]. Величина _А (х) называется степенью принадлежности элемента х к множеству А.

Обозначим Р = {_А (х) } – множество принадлежностей.

Пусть М – базовое множество, Р – множество принадлежностей, А и В два нечетких множества.

Будем говорить, что А содержится в В, если ( х М) ( _А (х)  _В (х) )

и обозначать А  В , если неравенство строгое, то обозначаем А   В. Скажем, что А и В равны тогда и только тогда, когда ( х М) ( _А (х) =_В (х)) и будем обозначать А=В. Если найдется по крайней мере один такой элемент из М, что равенство (_А (х) =_В (х)) не удовлетворяется , то будем говорить, что А и В не равны и обозначать А  В.

Пример. Пусть Х множество натуральных чисел. Тогда его нечеткое подмножество «очень малых чисел» может быть таким:

А={(1/1), (0.8/2), (0.7/3), (0.6/4), (0.5/5), (0.3/6), (0.1/7)}. Носителем нечеткого множества А является множество Х={1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7}. Функция принадлежности определяется субъективно.