№1. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева «Затраты-выпуск»).

1.10. В составе пищекомбината 3 основных (1,2,3) и 2 заготовительных (4,5) цеха. Данные о межцеховых потоках продукции и объемах конечного выпуска в предшествующий плановому период приведены в таблице:

№ цехов	Межцеховые поставки						Конечный продукт
	1	2	3	4	5
1	10	60	70	0	0	800
2	10	0	75	20	0	1500
3	80	40	0	0	50	1800
4	250	10	700	10	0	0
5	320	900	800	0	15	0

Требуется рассчитать:

1. Валовые объемы выпуска продукции каждым цехом;

2. Матрицу коэффициентов прямых затрат;

3. Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям);

4. Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

5. Валовой выпуск каждого основного цеха на 3 варианта ассортиментного плана конечной продукции этих цехов в предположении, что объем заготовок в плановом периоде 4-го цеха увеличится на 5%, а 5-г о - на 10%:

I– увеличить выпуск конечной продукции каждого основного цеха на 12%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-го цеха на 10%, 2-г о – на 5%, 3-го – на 6 %;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-го и 2-го цехов на 15%, а 3-го на 10% уменьшить;

6. Для II варианта рассчитать производственную программу каждого цеха.

Решение.

1. Найдем валовые выпуски отраслей, просуммировав межцеховые поставки и конечный продукт:

х₁= 10 + 60 + 70 + 0 + 0 + 800 = 940

х₂= 10 + 0 + 75 + 20 + 0 + 1500 = 1605

х₃= 80 + 40 + 0 + 0 + 50 + 1800 = 1970

х₄= 250 + 10 + 700 + 10 + 0 + 0 = 970

х₅= 320 + 900 + 800 + 0 + 15 + 0 = 2035

Теперь таблица имеет вид:

№ цехов	Межцеховые поставки						Конечный продукт		Валовый продукт
	1	2 4 5	3	4	5
1	10	60	70	0	0	800		940
2	10	0	75	20	0	1500		1605
3	80	40	0	0	50	1800		1970
4	250	10	700	10	0	0		970
5	320	900	800	0	15	0		2035

2. Найдем матрицу коэффициентов прямых затрат. Ее элементы можно найти по формуле: . Произведем расчет с помощью MS Excel, используя функцию ТРАНСП:

3. Проверим выполнение условия продуктивности по нескольким критериям. Найдем матрицу «Затраты - выпуск», используя формулу Е-А:

Вычислим главные миноры, используя функцию МОПРЕД для вычисления определителей, входящую в пакет MS Excel: ; ;; ; .

Все главные миноры положительны, следовательно, модель продуктивна.

Можно проверить иным способом: если сумма элементов в каждом столбце матрицы прямых затрат (А) меньше 1, то матрица прямых затрат (А) продуктивная. Видно по полученной матрице прямых затрат (A), что у нее все элементы меньше 1. Следовательно, модель продуктивная.

4. Найдем матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат.

Найдем определитель матрицы (Е-А). Для расчета используем MS Excel с помощью функции МОПРЕД:

Обратная матрица (В) существует, поскольку определитель больше 0.

Матрица коэффициентов полных затрат (В) рассчитывается по формуле В = (Е-А)^-1. Произведем расчет с помощью MS Excel, используя функцию МОБР:

Найдем матрицу коэффициентов косвенных затрат, которая равна разности матриц полных и прямых затрат:

5. Определим валовые уровни продукции цехов на планируемый период, предварительно вычислив новые уровни их конечных продуктов:

у₁ = 800 + 3 = 803

у₂ = 1500 + 3 = 1503

у₃ = 1800 + 3 = 1803

у₄ = 0 * 1,05 = 0

у₅ = 0 * 1,1 = 0

Используя основную формулу межотраслевого баланса , найдем плановые объемы валовой продукции цехов. Для расчета воспользуемся функцией МУМНОЖ:

I – увеличить выпуск конечной продукции каждого основного цеха на 12%;

у₁ = 803 * 1,12 = 899

у₂ = 1503 * 1,12 = 1683

у₃ = 1803 * 1,12 = 2019

II – увеличить выпуск конечной продукции 1-го цеха на 10%, 2-г о – на 5%, 3-го – на 6 %;

у₁ = 803 * 1,1 = 883

у₂ = 1503 * 1,05 = 1567

у₃ = 1803 * 1,06 = 1911

III – увеличить выпуск конечной продукции 1-го и 2-го цехов на 15%, а 3-го на 10% уменьшить;

у₁ = 803 * 1,15 = 923

у₂ = 1503 * 1,15 = 1728

у₃ = 1803 * 0,9 = 1622

6. Для II варианта рассчитаем производственную программу каждого цеха по формуле , используя матрицу прямых затрат и новые значения валовых продуктов:

№2. Модели сетевого планирования и управления.

1. Построить сетевой график (длина работы - t_ij )

2. Выделить критический путь и найти его длину.

3. Определить резервы времени каждого события .

4. Определить резервы времени (полные, частные первого вида, свободные и

независимые) всех работ и коэффициенты напряженности работ, не лежащих на критическом пути.

5. Выполнить оптимизацию сетевого графика по времени.

Работы	tij	dij	kij
1,2	14	5	0,5
1,3	5	2	0,2
2,4	3	1	0,4
2,5	12	5	0,8
3,4	13	6	0,9
3,5	3	2	0,2
4,5	7	2	0,3
	to=21

Решение.

1. Построим сетевой график.

2

14

1

12

3

4

5

5 7

13

3

3

2. Определим сроки свершения и резервы событий. Для каждого события вычисляем ранний срок свершения события t_р по формуле: .

Для каждого события вычисляем поздний срок свершения события t_п по формуле: .

Резерв времени события R_i вычисляем по формуле: .

Номер события	tp(i)	tп(i)	R(i)
1	0	0	0
2	14	14	0
3	5	6	1
4	18	19	1
5	26	26	0

Анализ таблицы и сетевого графика показывает, что критический путь имеет вид (1–2–5), а его длина равна t_кр=26.

3. Рассчитаем временные характеристики. К ним относятся ранние и поздние сроки наступления события.

Рассмотрим прямой ход. Ранний срок наступления события рассчитывается по формуле: 

Рассмотрим обратный ход и найдем поздний срок наступления каждого из событий по формуле:

Резервы времени определяем как разность между поздними и ранними сроками по формуле:

Полученные резервы времени показывают, на какое время можно задержать наступление того или иного события, не вызывая опасности срыва выполнения комплекса работ. Те события, которые не имеют резервов времени, находятся на критическом пути. 

4) Найдем основные характеристики работы и занесем в таблицу.

Ранний срок начала работы: .

Ранний срок окончания работы:.

Поздний срок начала работы: .

Поздний срок окончания работы: .

Резервы времени работ:

1. Полный резерв:

2. Частный резерв: .

3. Свободный резерв: .

4. Независимый резерв:

Для работ, лежащих на критическом пути, никаких резервов времени нет и, следовательно, коэффициент напряженности таких работ равен единице. Если работа не лежит на критическом пути, она располагает резервами времени и ее коэффициент напряженности меньше единицы.

Найдем коэффициент напряженности, который может быть вычислен одним из двух способов по приводимой ниже формуле:

Рассмотрим работу (2,4) и найдем все полные пути, проходящие через эту работу, и соответствующие им длины:

Тогда, – длина части (1–2, 5) пути (1–2–4–5), совпадающей с критическим путем (1–2–5).

Рассмотрим работу (3,5) и найдем все полные пути, проходящие через эту работу, и соответствующие им длины:

Возьмем максимальное значение. Тогда, – длина части (1, 5) пути (1–3–4–5), совпадающей с критическим путем (1–2–5).

Расчет основных показателей сетевой модели

1,2	14	0	4	0	14	0	0	0	0	1
1,3	5	0	5	1	6	1	1	0	0	0
2,4	3	14	17	16	19	2	2	1	1	-0,08
2,5	12	14	26	14	26	0	0	0	0	1
3,4	13	5	18	6	19	1	0	0	-1	0
3,5	3	5	8	23	26	18	7	8	17	-0,65
4,5	7	18	25	19	26	1	0	1	0	0

5. Выполним оптимизацию сетевого трафика по времени.

Пусть задан срок выполнения проекта , а расчетное время . Задан сетевой график выполнения проекта, продолжительность каждой работы равна . В этом случае оптимизация комплекса работ сводится к сокращению продолжительности критического пути. Задача заключается в определении вели­чины дополнительных вложений в отдельные работы про­екта с тем, чтобы общий срок его выполнения не превышал заданной величины , а суммарный расход дополнительных средств был минимальным. Время выполнения каждой рабо­ты должно быть не меньше минимально возможного времени .

Так как в последнее событие сети входят сразу несколько работ, то необходимо добавить фиктивную работу , время выполнения которой равно нулю.

Математическая запись этой задачи:

– целевая функция;

– фактический срок выполнения работы должен быть не больше поставленного срока выполнения проекта;

– продолжительность каждой работы должна быть не менее минимально возмож­ной ее продолжительности;

– зависимость продолжительности каждой работы от вложенных в нее дополнительных средств;

– время начала выпол­нения каждой работы должно быть не меньше времени окон­чания непосредственно предшествующих ей работ;

– условие неотрицательности.

Построим таблицу при помощи MS Excel выберем раздел «Данные» нажмем на «Поиск решения». Заполним ячейки с первоначальными данными и введем необходимые формулы. В поле «Установить целевую ячейку» выделим ячейку со значением целевой функции модели, в нашем случае, сумма . Чтобы минимизировать значение целевой ячейки, установим соответствующее положение переключателя. Введем ограничения, которые прописаны выше, в окне Параметры поиска решения для решения линейных задач установим флажки Линейная модель и Неотрицательные значения.

Далее нажимаем «Найти решение»

Результаты решения.

№3. Модели линейного программирования.

1. Записать прямую задачу. Определить план выпуска продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

2. Записать двойственную задачу. Получить решение двойственной задачи. Пояснить экономический смысл полученных объективно обусловленных (теневых) оценок ресурсов.

3. Найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению запаса ресурсов каждого вида.

4. Определить изменение максимальной прибыли от реализации продукции при увеличении запаса ресурса 1 на 10 ед., ресурса П – на 50 ед. и уменьшении запаса ресурса Ш на 30 ед. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное влияние.

5. Сопоставить оценку затрат и прибыли по оптимальному плану и каждому виду продукции.

Ресурсы	Запас ресурсов, ед.	Нормы расхода сырья на единицу продукции
		А		Б		В		Г
1	30	1		1		1		1
П	500	6		5		4		3
Ш	140	4		6		10		13
Прибыль от реализации единицы продукции, ден.ед.			60		70		120		130

Решение.

1. Запишем прямую задачу:

мах Z = 60х₁ + 70х₂ + 120х₃ + 130х₄

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ ≤ 30

6х₁ + 5х₂ + 4х₃ + 3х₄ ≤ 500

4х₁ +6 х₂ + 10х₃ + 13х₄ ≤ 140

х1, х2, х3, х4 ≥ 0,

где переменные (x₁, x₂, x₃, x₄) обозначают объемы производства соответствующих видов продукции (тыс. т), Z – выручка от реализации продукции при заданных ценах (60, 70, 120, 130) в тыс. руб. и заданных ограничениях на используемые ресурсы труда, сырья и оборудования (30, 500, 140) в ед.

Решение задачи осуществляется при помощи EXCEL с помощью функции «Поиск решения». Для этого внесем исходные данные в таблицу, осуществим абсолютную адресацию к блоку переменных (х₁, х₂, х₃, х₄), которому дадим уникальное имя «Искомые». Вычислим значения прибыли и ресурсов посредством того, что внесем расчетные значения в соответствующие ячейки. Нажмем = и далее выберем функцию СУММПРОИЗВ среди математических функций пакета.

Далее в пункте меню Данные (для MS Excel 2010) выберем команду «Поиск решения». В поле «Установить целевую ячейку» команды «Поиск решения» выделим ячейку со значением целевой функции модели. Установим положение переключателя для максимизации функции. В поле Изменение ячейки выделим блок этих ячеек «Искомые». После чего добавим ограничения, накладываемые на решение задачи. В окне Параметры поиска решения для решения линейных задач установим флажки Линейная модель и Неотрицательные значения.

Оптимальный план задачи единиц. Максимальная прибыль равна 2000 ед. Ресурсы использованы следующим образом: 1-й ресурс полностью – 30 ед., 2-й – не полностью – 173,3 ед., 3-й – полностью – 140 ед.