2. Так как прямая задача является задачей максимизации, двойственная задача будет задачей минимизации.

Система ограничений прямой задачи состоит из трёх ограничений. Следовательно, в двойственной задаче будут три переменные y₁, y₂, y₃.

Систему ограничений прямой задачи надо вначале привести к стандартному виду, то есть в задаче на максимум все ограничения должны быть вида ≤ или =. Тогда в двойственной задаче на минимум все ограничения будут вида ≥ или =.

Составляем систему ограничений двойственной задачи.

Матрица коэффициентов при неизвестных в неравенствах двойственной задачи получается транспонированием матрицы коэффициентов прямой задачи, неравенства меняются на противоположные, а свободные члены совпадают с коэффициентами целевой функции прямо задачи.

min F = 30у₁ + 500у₂ + 140у₃

у₁ + 6у₂ + 4у₃ ≥ 60

у₁ + 5у₂ + 6у₃ ≥ 70

у₁ + 4у₂ +10 у₃ ≥ 120

у₁ + 3у₂ + 13у₃ ≥ 130

у₁, у₂, у₃ ≥ 0

Для этого внесем исходные данные в таблицу, осуществим абсолютную адресацию к блоку переменных (у₁, у₂, у₃), которому дадим уникальное имя «Искомые2».

Поиск решения двойственной задачи.

Результаты решения двойственной задачи.

Оптимальный план минимизации задачи единиц. Проведем анализ полученного оптимального решения исходной задачи с помощью двойственных оценок.

Объективно обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов: по оптимальному плану производства дефицитные (т.е. полностью используемые) ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитные — нулевые оценки.

Ресурсы 1 и 3 имеют отличные от нуля оценки 3,33 и 26,6 – эти ресурсы полностью используются в оптимальном плане, являются дефицитными, сдерживающими рост целевой функции. Правые части этих ограничений равны левым частям. Ресурсы 2 и 4 – являются недефицитными.

3. В разделе отчета «Ограничения» теневые цены это двойственные оценки ресурсов, а Допустимое увеличение и уменьшение показывают допустимые диапазоны изменения правых частей ограничений, в пределах которых в оптимальный план входят те же переменные, хотя возможно и с другими значениями.

Интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению запаса ресурсов каждого вида будут следующие:

Ресурс 1: допустимое увеличение на 40 единиц и допустимое уменьшение – 12 единиц.

Ресурс 2: допустимое увеличение на 10 единиц и допустимое уменьшение – бесконечность.

Ресурс 3: допустимое увеличение на 30 единиц и допустимое уменьшение – 13 единиц.

Ресурс 4: допустимое увеличение на 20 единиц и допустимое уменьшение - бесконечность.

Любое увеличение или уменьшение ресурсов, при которых значение не будет попадать в соответствующий диапазон приведет к изменению структуры решения.

1. Определим изменение максимальной прибыли от реализации продукции при увеличении запаса ресурса 1 на 10 ед., ресурса 2 – на 50 ед. И уменьшении запаса ресурса 3 на 30 ед.

Тогда исходная таблица примет вид:

Результаты решения после изменений всех запасов ресурсов.

Изменение всех запасов влияет на прибыль (максимальная прибыль становится меньше исходной), в то же время количество необходимых ресурсов так же уменьшается.

Увеличение ресурса 1 на 10 единиц приводит к еще большей максимизации прибыли, при этом количество ресурсов 1 и 2 требуется больше.

Результаты решения после изменения количества ресурса 1.

Увеличение ресурса 2 на 50 единиц не влияет ни на прибыль, ни на коэффициенты X, ни на требуемое количество ресурсов.

Результаты решения после изменения количества ресурса 2.

Уменьшение ресурса 3 на 30 единиц приводит к уменьшению максимальной прибыли.

Результаты решения после изменения количества ресурса 3.

Вывод. Таким образом, самый выгодный путь для еще большей максимизации прибыли – увеличение ресурса 1 на 10 единиц.

№4. Транспортная задача или Модели управления запасами.

Решить транспортную задачу - исходные данные транспортной задачи приведены схематически: внутри прямоугольника заданы удельные транспортные затраты на пере­возку единицы груза, слева указаны мощности поставщиков, а сверху – мощности потребителей. Сформулировать экономико-математическую модель исходной транспортной задачи, найти оптимальный план закреп­ления поставщиков за потребителями, установить единственность или не единственность оптимального плана, используя «Поиск решения».

Вариант 10
	7	7	7	7	2
4	16	30	17	10	16
6	20	27	26	9	23
10	13	4	22	3	1
10	3	1	5	4	24

Решение.

Экономическая постановка задачи следующая:

В 4 пунктах отправления A13, A14, A15, A16 сосредоточен однородный груз в количествах соответственно 4, 6, 10, 10 единиц. Имеющийся груз необходимо доставить потребителям B12, С12, D12, E12, F12, спрос которых выражается величинами 7, 7, 7, 7, 2 единиц соответственно. Известна стоимость перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Требуется составить план перевозок, который полностью удовлетворит потребителей в грузе и при этом суммарные транспортные издержки минимизируются.

Математическая постановка этой задачи имеет вид:

Здесь – объем, – тариф поставки продукции от i-го поставщика к j-му потребителю, – потребности потребителей в продукции, - запасы продукции у поставщиков.

Запишем в системе Excel исходные данные в две таблицы и сформируем вычисляемую ячейку значения целевой функции. В изменяемую таблицу Объемы перевозок первоначально для контроля введем единицы.. В целевую ячейку запишем функцию =СУММПРОИЗВ(B13:F16;B3:F6), которая вычисляет совокупные затраты на перевозку грузов от поставщиков к потребителям. В ячейках Итого поместим формулы сумм объемов перевозок по строкам и столбцам.

Затем вызываем функцию Поиск решения и осуществляем ввод данных в окно функции, переключатель установим в положение минимального значения. После ввода данных введем ограничения по мощностям поставщиков и потребителей.

В окне Параметры поиска решения установим параметры решения задачи. После этого выполним возврат в окно «Поиск решения», где нажмем кнопку «Найти решение».

Оптимальный план перевозок с минимальными затратами равными 191 денежных единиц. Решение единственно для данной транспортной задачи.

№5. Модель множественной линейной регрессии

В таблице для каждого варианта заданы три временных ряда: первый из них представляет ВНП (млрд $) за 10 лет у_t, второй и третий ряд – потребление (млрд $) х_1t и инвестиции(млрд $) х_2t.

1. Вычислить матрицу коэффициентов парной корреляции и проанализировать тесноту связи между показателями.

2. Построить линейную и нелинейную модели регрессии, описывающие зависимость у_t от факторов х_1t и х_2t

3. Оценить качество моделей. Вычислить среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации.

4. Проанализировать влияние факторов на зависимую переменную (β-коэффициент) и оценить их значимость, найти доверительный интервал.

5. Проверить остатки на нормальность распределения.

6. Определить точечные прогнозные оценки ВНП для 5 наблюдений (объясняющие переменные задать самостоятельно).

Вариант 10
24	22	15	26	25	32	35	34	39	45
62	58	63	60	56	53	54	53	51	52
30	28	26	24	25	23	19	27	22	20

Решение.

1. Вычислим матрицу коэффициентов парной корреляции и проанализируем тесноту связи между показателями с помощью MS Excel.

Для этого введем данные в таблицу MS Excel Данные и выберем функцию «Анализ данных», режим Корреляция.