Раздел 3. Синтез оптимального приемника

3.1. Условие задания.

При передаче линейного сигнала по линии связи с шириной полосы 66 МГц на этот сигнал накладывается нормальныйшум. Мощность шума равна 0,1 . Мощность сигнала на входе приемника=0,07. Ширина полосы шума во много раз больше ширины полосы сигнала.

1. Выбрать и изобразить структурную схему оптимального приемника для заданного варианта канального сигнала. Привести описание работы приемника, временные и спектральные диаграммы, поясняющие работу этого приёмника.

2. Вычислить уровни порогов в соответствующих вариантах приемников.

3. Определить вероятность ошибки, которая определяет потенциальную помехоустойчивость оптимального приёмника.

4. Определить и описать математическую модель дискретного канала. привести ненаправленный граф, соответствующий сигналам на его входе и выходе и рассчитанной вероятности ошибки оптимального приёмника. Определить ширину полосы пропускания дискретного канала. Привести название дискретного канала.

5. По исходным данным определить среду распространения и по этой среде определить название канала. Вычислить ширину полосы пропускания этого канала.

3.2. Теоретическая часть и расчет.

Целью построения оптимального приемника является улучшение качества принимаемого сообщения. Для этого необходимо верно выбрать структуру приемника. Структура приемника отвечающая заданному критерию оптимальности называется оптимальной, а приемник оптимальным.

При приеме сообщения демодулятор анализирует смесь сигнала и шумаи при этом принимает решение о том, присутствует ли в смеси сигнал и если есть, то какой из возможныхсигналов присутствует в единичном интервале времени. С каждым следующим интервалом эта процедура повторяется. Этот способ анализа принимаемого сигнала называется посимвольным.

(3.1)

Алгоритм работы приемника заключается в вычислении апостериорной (послеопытной) вероятности возможных значений бинарного сигнала на основе анализа смеси сигнала и шума и принятии решения о том, какое возможное значение бинарного сигнала (символа) присутствует на его входе. Значение бинарного сигнала на выходе приемника из-за присутствия шума не совпадает со значением сигнала на входе, т.е. является его оценкой.

Под синтезом оптимального приемника понимают отыскание его структуры. Задача синтеза формулируется следующим образом: требуется найти структуру приемника, которая удовлетворяет исходным условиям и ограничениям и при этом обеспечивает совокупность показателей качества, наилучших в смысле заданного критерия оптимальности.

Математический синтез заключается в математической формулировке совокупности исходных данных и критерия оптимальности, а также в отыскании чисто математическим путем такой структуры приемника, которая удовлетворяет исходным данным, критерию оптимального и требуемой совокупности показателей качества.

Сигналы являются детерминированными функциями времени, частоты, амплитуды и начальной фазы. Их начало и окончание заранее известно и совпадает с началом и окончанием единичного интервала. Выполнение последнего условия обеспечивается условиями тактовой синхронизации.

Помеха является нормальным белым шумом со спектральной плотностью . Канал связи является дискретно-непрерывным. Время анализа смеси и шума равно длительности единичного интервала.

В качестве критерия оптимальности выберем критерий максимума отношения правдоподобия, записанного в виде неравенства:

(3.2)

Рисунок 3.1 - Структурная схема оптимального приема сигналов на согласованных фильтрах: 1,2 – согласованные фильтры; 3,4 – амплитудные детекторы; 5,6 – сравнивающие устройства; 7 – решающее устройство

Смесь сигнала и шума фильтруется согласованным фильтром, а затем выделяется огибающая сигнала на выходе этого фильтра. Огибающая сравнивается с пороговым уровнем, величина которого при равных априорных вероятностях P(U₁(t)) = P(U₂(t)) определяется отношением Е, / N_o. Если эти вероятности не равны, пороговый уровень изменится на ln [P(U₁(t))/P(U₂(t))].

(3.3)

При приеме ЧМ сигнала, если порог превышается в верхнем канале, то принимается решение, что в канале содержится первый сигнал(например 1), если в нижнем – второй (0).

Рисунок 3.2 - Диаграммы, поясняющие работу приемника

Значение порога, необходимого для работы решающего устройства, в соответствии с выражением (3.3) рассчитывается по формуле:

Определим величину спектральной плотности шума

(3.5)

Рассчитаем амплитуду сигнала:

(3.6)

Определим энергию Е по формуле:

(3.7)

Определим величину порога:

(3.8)

где р₀=.609 и р₁=0.391 – вероятности появления символов «0» и «1» соответственно на выходе АЦП.

Найдем вероятность ошибки:

(3.9)

(3.10)

(3.11)

Найдем значение вероятности ошибки подставив наши данные в формулу (3.9):

Математическая модель канала связи, необходимая для проведения исследований, считается заданной, если известны оператор преобразования, а также условия и ограничения, накладываемые как на канал, так и на входные и выходные сигналы. Математическая модель реального канала связи является достаточно сложной. Это объясняется следующими причинами.

1. Оператор L, кроме линейных, содержит также нелинейные и параметрические преобразования.

2. В канале присутствуют помехи.

3. Входной сигнал может быть случайным.

Часто пользуются упрощенными математическими моделями, где используют представление канала в виде последовательно соединенных четырехполюсников (линейных, нелинейных, параметрических). Полезным является также выделение из канала его дискретной, непрерывной и дискретно-непрерывных частей.

Результаты анализа во многом зависят от условий и ограничений, которые накладываются на сигналы и помехи. Это касается законов их распределения и физических характеристик сигналов, таких, как длительность, ширина спектра, мощность.

Для дискретного m-ичного канала связи сигналы на его входе и выходе являются дискретными.

Математическая модель этого канала определяется:

а) алфавитом кодовых символов на входе и выходе;

б) априорными вероятностями появления символов на входе канала;

в) вероятность перехода ,которые определяются вероятностью того, что при передаче символана выходе канала появится символ.

Если вероятность не зависит от времени, то такой канал называетсяоднородным.

В симметричном однородном канале без памяти алфавит кодовых символов на входе совпадает с алфавитом на выходе, а вероятности перехода определяется равенствами:

(3.12)

Любой символ может перейти в другой символс равной вероятностью. Эти переходы определяют вероятность ошибки, равнуюp. Кроме того, любой символ может с вероятностью 1-р перейти в символ , т.е. принят правильно.

Для двоичного симметричного канала без памяти: m=2 и

(3.13)

Вероятность перехода (3.16) схематично показано на рис. 3.3. Вероятность перехода нули в нуль равна 1-р, а нуля в единицу равна р. Соответственно, вероятность перехода 1 в 1 равна 1-р, а вероятность перехода 1 в нуль равна р.

Рисунок 3.3 - Переходные вероятности в двоичном симметричном канале

Ошибка называется одно-, двух-, q-кратной, если из n передаваемых символов q переданы с ошибкой. Векторная ошибка в двоичном канале является последовательность “0” и “1”, каждый элемент который определен суммой по модулю 2 элементов входной и выходной последовательностей, находящихся на одних и тех же позициях.

(3.14)

где - знак суммирования по модулю 2.

Очевидно, что q-кратной ошибке в двоичном симметричном канале будет соответствовать такой вектор ошибки, у которого на любых позициях число единиц равно q. На остальных n-q позициях этого вектора элементы равны 0.

В симметричном канале без памяти статистическая зависимость между предаваемыми символами отсутствует. Поэтому вероятность того, что произойдет q ошибок, расположенных как угодно на протяжении последовательности длиной n, равна:

(3.15)

где - биноминальный коэффициент, равный числу различных сочетанийq ошибок в последовательности длиной n.

Несимметричный однородный канал без памяти отличается от рассмотренного тем, что вероятности перехода зависят от того, какой символ передается. Поэтому P(1/0)P(0/1) (рис.3.4)

Рисунок 3.4 - Переходные вероятности в двоичном несимметричном канале

Симметричный однородный канал без памяти со стиранием содержит дополнительный выходной символ, обозначенный на рис 3.5 знаком “?”. Вероятность правильной передачи нуля и единицы в двоичном симметричном канале определяется не только условными вероятностями перехода P(1/0)=P(0/1)=p, но и вероятностью стирания . Состояние стирания символа в канале связи возникает всякий раз, когда решающая схема демодулятора, принимающая решение о том какой из символов “0” или “1” передается, не может надежно опознать этот символ.

Рисунок 3.5 Переходные вероятности в симметричном однородном канале без памяти и со стиранием