2.1.2. Формы представления чисел в эвм

Для представления чисел в ЭВМ применяется две формы:

– естественная, или форма представления чисел с фиксированной точкой (ФТ);

– нормальная, или форма представления чисел с плавающей точкой (ПТ).

В естественной форме представления число записывается в соответствии с выражением (2.1) только при помощи набора значащих цифр без явного указания их весов и знаков сложения между ними.

(2.2)

В нормальной форме число представляется как произведение некоторой целой степени основания системы счисления и цифровой части, являющейся правильной дробью.

(2.3)

Показатель степени основания называется порядком, а цифровая часть – мантиссой. При записи числа достаточно указать только порядок и мантиссу, не фиксируя в явном виде основание системы. Например,

119,375 =10³·0,119375 => 3·0,119375

порядок мантисса

Число, представленное в НФ (ПТ), у которого первая цифра мантиссы является значащей (т.е. не равна 0), называется нормализованным.

Если же первая или несколько первых цифр мантиссы равны 0, то такое число называется ненормализованным.

Обе формы представления чисел имеют достоинства и недостатки [5].

Одним из очевидных преимуществ формы представления чисел с ПТ является значительно больший диапазон возможных представляемых чисел по сравнению с формой с ФТ при равном количестве разрядов. Так, диапазон значащих цифр в системе счисления с основанием В будет:

,

где m – количество разрядов в мантиссе;

p– количество разрядов в порядке.

Приведем пример: при B=2, m=22 и p=10 диапазон чисел составляет примерно от 10^-300 до 10³⁰⁰.

В случае с ЭВМ с ФТ неприятны два случая:

1) |х_{мaш ФТ}| < |х_min| – обнуление,

2) |х_{мaш ФТ}| > |х_max| – переполнение разрядной сетки, т.е. теряются старшие разряды.

Для устранения этих случаев применяют масштабирование, которое заключается в замене чисел, участвующих в операции, произведениями этих чисел на так называемые масштабные коэффициенты

х_маш = mּ x,

где m – масштабный коэффициент (МК).

Цель масштабирования заключается в том, чтобы во время вычислений не возникло переполнения разрядной сетки ни в промежуточных, ни в конечных результатах.

Выбор МК зависит от вида конкретных чисел и вида операции (таблица 2.1)

Таблица 2.1. Определение масштабных коэффициентов

Вид операции	Значение МК
Сложение-вычитание	| х3|маш = m3 x3 = m1x1+ m2x2, но т.к. х3 = х1+х2, находим, что должно выполняться условие m3 = m1 = m2 = mобщ
Умножение	| х3|маш = m3 x3 = (m1x1 )·(m2x2), т.к. х3 = х1·х2, то получим m3 = m1·m2
Деление	| х3|маш = m1x1/ m2x2, зная, что х3 = х1/х2, получим m3 = m1/m2

Нетрудно увидеть, что процесс подборки МК является сложным и трудоемким.

Обычно МК выбирают таким образом, чтобы он имел вид целой степени основания системы счисления, т.е.

m = 2^P,

где P – некоторое целое число.

Это облегчает выравнивание МК.

Для облегчения процесса масштабирования применяют предварительное масштабирование. Обычно используют два вида предварительного масштабирования:

1) точка фиксируется перед старшим цифровым разрядом (дробные числа)

[–1< |х_маш| <1];

2) точка фиксируется после младшего разряда (целые числа)

– 2ⁿ< |х_маш| < 2ⁿ.

Отметим, что форма представления чисел влияет и на точность представления информации в ЭВМ.

При записи чисел в ограниченную разрядную сетку возникает ошибка округления. Если округление сделано правильно, то ошибка не должна превышать ½ веса самого младшего разряда. Величина ошибки зависит от формы представления чисел, вида чисел и количества разрядов (таблица 2.2).

Таблица 2.2. Точность представления чисел в ЭВМ

Вид ошибки	Форма ФТ		Форма ПТ
	Дробные числа	Целые числа
Абсолютная ошибка	[∆ФТ]=1/2·2^-n=const	[∆ФТ]=1/2=const	[∆ПТ]=1/2·2^-n·2^Р=var, (*) где n – количество значащих цифр в мантиссе; р – порядок числа. Из выражения (*) видно, что [∆ПТ] изменяется (варьируется) в пределах от [∆ПТ min]= 1/2·2^-n·2^–|Pmax^| до [∆ПТ max]= 1/2·2^-n·2^|Pmax^|
Относитель-ная ошибка	δФТmin=(1/2·2^-n)/ /(1-2^-n)≈ 2^-(n+1) при 1>>2^-n; δФТmax=(1/2·2^-n)/ /2^-n=1/2 = 50 %	δФТmin=(1/2)/ /(2^n – 1)≈ 2^-(n+1) при 2^n>>1; δФТmax=(1/2)/1= =1/2 = 50 %	[δПТmax] = 2^-^n

Из таблицы 2.2 видно, что:

1) точность записи чисел с ФТ в ограниченную разрядную сетку не зависит от величины масштабного коэффициента и способа масштабирования;

2) в ЭВМ с ПТ ошибка округления не зависит от величины порядка чисел, а зависит от количества разрядов мантиссы n.