2.2.2. Выполнение операций умножения чисел, представленных в форме с фиксированной точкой

Операция умножения чисел с ФТ выполняется в 2 этапа:

1) определение знака произведения при помощи сложения знаковых разрядов по модулю 2:

2) перемножение сомножителей последовательным сложением частичных произведений со сдвигом (как это выполняется в десятичной системе счисления).

Таблица умножения в двоичной системе счисления:

0 х 0 = 0

0 х 1 = 0

1 х 0 = 0

1 х 1 = 1

Обычно для выполнения операции умножения применяются два способа, различающиеся тем, с какого разряда множителя (с младшего или со старшего) начинается умножение множимого на множитель.

Операция умножения является одной из самых весомых операций в ЭВМ.

Рассмотрим пример выполнения операции умножения чисел с ФТ.

Пример 2.1

Предположим, необходимо перемножить числа [x₁]_пр= 1,1010(2) и [x₂]_пр= 0,1101(2).

1 этап: Определяем знак произведения.

0 1 = 1

2 этап: Перемножим множители.

Порядок перемножения определяется нумерацией цифр сомножителя.

1-й способ		2-й способ
0,1010 × 0,1101		0,1010 × 0,1101
4321	номера цифр множителя	1234
1010 0000 + 1010 1010 0.10000010	частичные произведения	1010 1010 + 0000 1010 0.10000010

Как видим, результаты совпадают при выполнении операции умножения обоими способами.

Если сомножители хранятся в памяти ЭВМ не в прямом коде, то и умножение производится в ДК или ОК. Предпочтительнее умножение выполнять в ДК. Возможны 4 случая:

1) х₁> 0; x₂> 0; x₃ = |x₁||x₂| = |x₁x₂|_доп = |x₁|_доп|x₂|_доп,

2) х₁> 0; x₂< 0;|[x₁]_доп||[x₂]_доп| = |x₁|(10^N – |x₂|) =10^N |х₁| – |x₁||x₂|.

Это значительно отличается от модуля кода произведения

|[x1·x2]доп| =

1 – (|x1||x2|) – для дробных чисел; 10^2N – (|x1||x2|) – для целых чисел.

Для получения модуля дополнительного кода истинного произведения |[x₁·x₂]_доп| необходимо к псевдопроизведению добавить величину

∆₂ = 1 – |x₁| – для дробных чисел;

∆₂ = 10^N (10^N– |x₁|) – для целых чисел.

3) х₁< 0; x₂> 0.

∆₃ = 1 – |x₂| – для дробных чисел;

∆₃ = 10^N (10^N – |x₂|) – для целых чисел.

4) х₁< 0; x₂< 0.

∆₄ = |x₁| + |x₂| – 1 – для дробных чисел;

∆₄ = 10^N(|x₁| + |x₂| – 10^N)– для целых чисел.

Пример 2.2

Перемножить числа [x₁] = 1,1010 и [x₂]= 0,1101 в дополнительном коде.

[x₁]_доп = 1,0110 и [x₂]_доп= 0,1101.

Знак произведения равен

В результате перемножения сомножителей в дополнительном коде получим

0.0110

×

0.1101

0110

0000

0110

0110

0.01001110

Как видим, результат перемножения модулей чисел в дополнительном коде не совпадает с результатом перемножения этих чисел в прямом коде (пример 2.1).

Необходима корректировка результата на величину

∆₃= 1 - |x₂| = 0,00110000, т.к. х₁< 0, x₂> 0.

Просуммируем значения псевдопроизведения и ∆₃.

.01001110

.00110000

х₃ = 1.01111100–в дополнительном кодезнак.

Переведем х₃ в прямой код.

[х₃]_пр = 1.10000001 + 1 = 1.10000010.

Это совпадает с результатом перемножения этих чисел в прямом коде (пример 2.1). Отметим, что при умножении дробных чисел с ФТ невозможно переполнение разрядной сетки.