Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка.pdf

Скачиваний:

197

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

4.86 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Кафедра высшей математики

СПЕЦИАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

И ФУНКЦИИ

Методическое пособие для студентов специальностей 1-45 01 01 «Многоканальные системы телеком-

муникаций», 1-45 01 02 «Системы радиосвязи, радиовещания

ителевидения», 1-53 01 07 «Информационные технологии и управление

втехнических системах» заочной формы обучения

Минск БГУИР 2011

УДК 517.9(076) ББК 22.16я73 С71

Авторы:

В. В. Цегельник, З. Н. Четыркина, В. А. Ранцевич, Н. В. Спичекова, З. Н. Примичева

Рецензент: заведующий кафедрой информатики

учреждения образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники», доктор физико-математических наук, профессор Л. И. Минченко

Специальные математические методы и функции : метод. посоС71 бие для студ. спец. 1-45 01 01 «Многоканальные системы телекоммуникаций», 1-45 01 02 «Системы радиосвязи, радиовещания и телевидения», 1-53 01 07 «Информационные технологии и управление в технических системах» заоч. формы обуч. / В. В. Цегельник [и др.]. – Минск :

БГУИР, 2011. – 76 с.

ISBN 978-985-488-708-1.

Дано краткое изложение теоретического материала, а также примеры решений типовых задач с использованием специальных математических методов. Содержит 10 вариантов контрольной работы, методические указания к ее выполнению и список литературы.

Для самостоятельного изучения специальных математических методов и функций студентами-заочниками. Может быть использовано и при проведении занятий со студентами дневной формы обучения, где изучается указанная дисциплина.

УДК 517.9(076) ББК 22.16я73

ISBN 978-985-488-708-1	© УО «Белорусский государственный
	университет информатики
	и радиоэлектроники», 2011

Содержание
Введение ……………………………………………………………….....	4
Раздел 1. Основные элементы функционального анализа.
Функциональные пространства ………………………………………..............	4
§1.1. Линейное пространство …………………………………………..	4
§1.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Базис и размерность линейного пространства ………………………………..	6
§1.3. Евклидово пространство ………………………………………….	7
§1.4. Метрические пространства ……………………………………....	9
§1.5. Полнота метрического пространства (X, ) ……………………	12
§1.6. Пространство Гильберта ………………………………………….	12
§1.7. Обобщенный ряд Фурье …………………………………………..	15
§1.8. Ортогональные системы функций ……………………………….	17
Раздел 2. Линейные операторы. Функционалы ………………………..	21
§2.1. Введение …………………………………………………………...	21
§2.2. Линейные операторы в конечномерных линейных
пространствах и их матрицы …………………………………………………..	22
§2.3. Интегральные и дифференциальные операторы. Функционалы ….	26
Раздел 3. Специальные функции и их приложения ……………………	29
§3.1. Определенные интегралы, зависящие от параметра, и их
свойства ………………………………………………………………………….	29
§3.2. Эйлеровы функции (x) и B(x, y) ……………………………...	31
Раздел 4. Решетчатые функции. Z-преобразование и его приложения...	33
§4.1. Решетчатые функции. Z-преобразование и его свойства ……….	33
§4.2. Разностные уравнения. Решение разностных уравнений
с помощью Z-преобразования …………………………………………………	37
Раздел 5. Элементы вариационного исчисления ………………………...	39
§5.1. Первоначальные понятия …………………………………………	39
§5.2. Простейшая задача вариационного исчисления ………………...	40
§5.3. Задача Бернулли о брахистохроне ……………………………….	42
Раздел 6. Уравнения математической физики …………………………	44
§6.1. Понятия дифференциального уравнения в частных
производных второго порядка с двумя независимыми переменными и его
решения.................................................................................................................	44
§6.2. Классификация и приведение к каноническому виду линейных
уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми
переменными в окрестности точки ……………………………………………	45
§6.3. Уравнение малых поперечных колебаний струны. Граничные
и начальные условия. Корректность постановки задачи …………………….	48
§6.4. Решение уравнений свободных колебаний однородной струны
методом Даламбера …………………………………………………………….	50
§6.5. Решение уравнений колебаний струны методом Фурье ………..	52
Методические указания к выполнению контрольной работы ………..	63
Литература ………………………………………………………………..	69
Контрольная работа ……………………………………………………...	70

Введение

Радиоинженеру традиционно приходится иметь дело с сигналами. С математической точки зрения сигнал представляет собой временную функцию. Поэтому для успешной обработки сигнала необходимо понять, что такое сигнал; какие у него могут быть математические характеристики; что значит «два сигнала близки друг к другу»; как понять «расстояние» между сигналами. Для того чтобы найти связь между указанными характеристиками, а также выяснить границы их применимости, необходимо освоить ряд вспомогательных математических понятий и методов исследования, которые не входят в классический курс «Высшая математика». Поэтому на кафедре высшей математики разработана дисциплина «Специальные математические методы и функции», относящаяся к разделу «Специальные главы высшей математики».

Раздел 1. Основные элементы функционального анализа. Функциональные пространства

§1.1. Линейное пространство

В математике важную роль играет понятие пространства, т. е. множества, между элементами которого аксиоматически заданы некоторые соотношения. В этом случае говорят, что на множестве задана структура соответствующего пространства.

Определение 1.1. Линейным (или векторным) пространством L называ-

ется всякая совокупность объектов (элементов)

L x, y,..., z,...,u,... ,

условно называемых векторами, над которым определены две операции –

сложения : x, y L, x y z L, и умножения на число : x L,

P (P – некоторое числовое множество), x u L, подчиняющиеся следующим аксиомам:

1º.

– коммутативность сложения;

2º.

– ассоциативность сложения;

3º.

существует нуль-вектор:

для любого

4º.

для каждого вектора x существует противоположный x , такой, что

;

5º.

– умножение на единицу;

6º.

( )

, где и – действительные или ком-

плексные числа;

7º.

(

)

;

8º.

(

) ( )

– ассоциативный закон относительно про-

изведения чисел.

Из аксиом 5º – 8º следует, что 0 x 0 для x L, 0 0 для

В зависимости от того, какому из множеств принадлежат числа P – множеству действительных чисел R или множеству комплексных чисел C, пространство L называется соответственно действительным или комплексным линейным пространством. Элементы линейного пространства называются векторами, а само пространство – векторным.

Пример 1.1. Исследовать на линейность множество векторов трехмерно-

го пространства R3, исходящих из точки O.
Решение.		z
Так как сумма двух таких векторов есть вектор, выхо-
Так как сумма двух таких векторов есть вектор, выхо-			y
дящий из точки O, и произведение вектора на любое дейст-			y
дящий из точки O, и произведение вектора на любое дейст-
вительное число также является вектором заданного множе-
ства, то операции сложения и умножения на число опреде-
лены на множестве векторов, исходящих из точки O трех-	O
лены на множестве векторов, исходящих из точки O трех-	O			x

мерного пространства R3, которые, можно показать, удов-

летворяют аксиомам 1º – 8º, и, следовательно, пространство R3 будет линейным пространством.

Пример 1.2. Доказать, что совокупность всех многочленов степени не

выше n a	tn a tn 1 ... a	t a	n	образует линейное пространство L от-
0	1	n 1	n
носительно обычных операций сложения и умножения на число.
Решение.
Сумма многочленов степени не выше n является мно-						z
Сумма многочленов степени не выше n является мно-						z	y
гочленом степени не выше n. Произведение любого много-							y
гочленом степени не выше n. Произведение любого много-
члена из данного множества на число (действительное или
комплексное) не изменит степень многочлена. Таким обра-
зом, операции сложения и умножения на число определены					O
зом, операции сложения и умножения на число определены					O			x
на множестве многочленов степени не выше n и удовлетво-

ряют аксиомам 1º – 8º. Данное множество является линейным пространством. Аналогично можно доказать, что линейными пространствами являются: 1) множество всех решений y(x) линейного однородного дифференци-

ального уравнения


L(y(x)) y(n) a1y(n 1)	... an 1y an y 0;
2) множество C[a,b] {f (x),g(x),...}		всех функций,				непрерывных на от-
резке [a,b], с обычными операциями сложенияи умножения на число;
a a			b b
	11	1n		11	1n
			,				размерности
3) множество всех матриц M						,...
a a			b b
	m1	mn		m1	mn

m n с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число.

dimV

1 2 ... m 0.

§1.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства

Пусть V – линейное векторное пространство.

Определение 1.2. Вектор b V называется линейной комбинацией век-

торов a1, a2,..., am, если найдется такой набор чисел 1, 2,..., m , при котором справедливо равенство

b 1,a1 2 ,a2 ... m ,am .

Определение 1.3. Система векторов a1, a2,..., am называется линейно зависимой, если равенство

1,a1 2 ,a2 ... m ,am 0

может быть выполнено хотя бы для одного ненулевого набора чисел

( 1, 2,..., m) (0,0,...,0).

Определение 1.4. Система векторов a1, a2,...am называется линейно независимой, если равенство

1,a1 2 ,a2 ... m ,am 0

выполняется тогда и только тогда, когда

Определение 1.5. Базисом линейного пространства V называется упорядоченная система максимального числа линейно независимых векторов.

Количество базисных векторов определяет размерность пространстваen,

которая обозначается . Если e1, e2,...,en – базис линейного пространства

V , то оно называется n-мерным и обозначается Vn , а всякий его вектор x можно представить в виде

x x1e1 x2e2 ... xnen .

Числа x1, x2,..., xn называют координатами вектора x в данном базисе. Например, в трехмерном пространстве в декартовой системе координат

базис образуют векторы i, j, k . Тогда любой вектор x представляется в виде их линейной комбинации

x x1i x2 j x3k .

Числа x1, x2, x3 – координаты вектора x в этом базисе.

В линейном пространстве многочленов степени не выше n в качестве ба-

зисных векторов можно взять набор многочленов B {xn, xn 1,..., x,1}. Тогда любой многочлен P(x) представляет собой линейную комбинацию элементов множества B:

P(x) a0xn a1xn 1 ... an 1x an 1.

Коэффициенты a0, a1,..., an 1, an являются координатами многочлена P(x) в базисе B.

Для	множества		матриц	M (aij		), ... , i				, j		, базисными
								1, m			1, n
будут матрицы				j

	1	0 0		0...0	0		0		0 0
				...

E11	0	0 0	,..., Eij i	0 1	0	,..., Emn	0		0 0
							.

0 0 0 .. 0 0 1

0...0 0

Вматрице Eij единица стоит на пересечении i-й строки и j-го столбца, а

все остальные элементы – нули. Тогда любая матрица (aij ) представляется в

виде суммы:

(aij ) a11E11 ... aijEij ... amnEmn .

Определение 1.6. Линейное пространство V называется бесконечномерным, если в нем существуют системы из любого числа линейно независимых векторов.

Примером такого бесконечномерного линейного пространства может служить множество всех аналитических (бесконечное число раз дифференци-

руемых) функций V C f (x), (x),... . В качестве базиса в этом про-

странстве можно взять набор простейших многочленов 1, x, x2,..., xn,... . Замечание 1. Все линейные пространства размерности n имеют одинако-

вые свойства. Поэтому достаточно изучить свойства арифметического линейного пространства An, элементы которого представляют собой упорядоченный набор n вещественных чисел:

An {x(x1, x2,..., xn)| xi R}.

Векторы e1 (1, 0,...,0), e2 (0,1,..., 0),...,en (0, 0,...,0,1) образуют базис пространства An.

§1.3. Евклидово пространство

Определение 1.7. Действительное линейное пространство L называется евклидовым, если каждой паре векторов x и y из L ставится в соответствие вещественное число (x, y) и выполняются аксиомы:

1º. (x,y) (y, x), x,y L;

2º. (x1 x2, y) (x1, y) (x2, y), x1, x2, y L; 3º. ( x, y) (x, y), R, x,y L;

4º. (x,x) x2 0, x L;(x,x) 0 x 0.

Число (x, y) называется скалярным произведением векторов x и y,

(x, x)

– скалярным квадратом вектора x (обозначается x2 ).

Аксиома 1º требует, чтобы скалярное произведение было коммутативно, т. е. не зависело от порядка сомножителей. Аксиомы 2º и 3º указывают на линейность этой операции по каждому аргументу.

Как известно, в декартовой системе координат в трехмерном векторном пространстве R3 скалярное произведение векторов a(ax,ay,az) и b(bx,by,bz)