Матрица A ортогонального оператора A называется ортогональной. Признаком ортогональности матрицы A является попарная ортогональность ее вектор-столбцов и вектор-строк. При этом длина каждого вектор-столбца (век- тор-строки) равна единице.

Если A – ортогональный оператор, то сопряженный ему оператор A удовлетворяет равенству

A A 1 .

Это равенство в ОНБ в матричной записи имеет вид

AT A 1.

§2.3. Интегральные и дифференциальные операторы. Функционалы

1. Интегральные операторы

Преобразование Фурье

Пусть f (t) является кусочно-гладкой, т. е. имеет конечное число точек

разрыва первого рода, и абсолютно интегрируемой на						( , ), т. е. интеграл
		f (t)		dt сходится. Тогда поставим в соответствие функции f (t)функцию
					f (t)e i tdt.
				F(i )		(2.1)

Данная функция называется прямым преобразованием Фурье (функцией спектральной плотности). Прямое преобразование Фурье является в общем случае комплекснозначной функцией. Когда функция f (t) является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование Фурье имеет стандартную интерпретацию как спектра сигнала. Модуль комплексной функции F(i ) представляет амплитуды соответствующих частот , в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Тогда функцию

1

f (t)

F(i ) ei td

(2.2)

2

называют обратным преобразованием Фурье.

Формулы (2.1) и (2.2) иногда записывают в симметричной форме :

1

1

F(i )

f (t) e i tdt,

f (t)

F(i ) ei td .

2

f (t)

2

Таким образом, между функциями

и F(i )

установлено взаимное

соответствие. Для обозначения данного соответствия будем применять символ ,

т. е. f (t) F(i ).

26

Свойства преобразования Фурье:
1. Однородность.
Если	f (t) F(i ), то f (t) F(i ).
2. Аддитивность.
Если	f1(t) F 1(i ) и f2(t) F 2(i ), то	f1(t) f2(t) F1(i ) F2(i ).

Из данных двух свойств следует, что преобразование Фурье есть линейное преобразование.

3. Подобие (изменение масштаба). Если f (t) F(i ), то f ( t) 1 F(i ).

4. Дифференцирование.

	Если		f (t) F(i ), то f '(t)		i2 F(i ).
	5.	Интегрирование функции			f (t).
				t		F(i )
	Если		f (t) F(i ), то f (t)dt				.
	6.			0		i2
		Запаздывание (задержка во времени).
	Если		f (t) F(i ), то	f (t ) e i2 F(i ).
	7.	Теорема смещения.		ei2 0t f (t) F(i i 0).
	Если		f (t) F(i ), то
	8.	Свертка.

Если f(t) F(i ) и g(t) G(i ), то f *g f(u)g(t u)du F(i )G(i ).

	9. Произведение.
	Если f (t) F(i ) и g(t) G(i ), то	f (t)g(t) F( )G( u)du.

Следует отметить, что преобразование Фурье сохраняет свойства четности и нечетности функций.

Преобразование Гильберта. Прямое преобразование Гильберта произвольной действительной функции f (u), u , результат которого будем обозначать со знаком тильды над исходной функцией, задается сверткой f (u) с функцией 1/( u):

	~		1		f (u)
	f	(t)				du H( f ).
					t u

Прямое преобразование Гильберта позволяет по данному сигналу f (u)

~

построить сопряженный сигнал f (t).

27

Используя теорему умножения спектральных функций, несложно восста-

					~
	новить сигнал f (u) по сопряженному сигналу f (t):
		1		~
	f (t)			f (u)	du H 1( f ).
				t u

Данное преобразование называется обратным преобразованием Гильбер-

та. Оператор H 1 называется оператором обратного преобразования Гильберта.

Замечание. Прямое

~				1 f (u)
f (t) H(f (t))										du
				t u
и обратное
									~
		~				1
	1								f (u)
f (t) H		( f	(t))								du
									t u

преобразования Гильберта – это интегральные преобразования с ядром 1 . t u

Несобственные интегралы в преобразовании Гильберта обычно понимают в смысле главного значения вблизи особой точки u t :

~	1		t f (u)			f (u)
f (t)		lim			du lim			du	,
							t u
	0 t u				0 t

f (t) 1

	t	~
lim		f (u)
0	t u

		~
		f (u)
du lim			du .
0t t u

Преобразование Гильберта для любого произвольного сигнала представляет собой идеальный широкополосный фазовращатель, который осуществляет поворот начальных фаз всех частотных составляющих сигнала на угол, равный 90о (сдвиг на /2). Применение преобразования Гильберта позволяет выполнять квадратурную модуляцию сигналов, в каждой текущей координате модулированных сигналов производить определение огибающей и мгновенной фазы и частоты сигналов.

2. Дифференциальные операторы

Левую часть линейного дифференциального уравнения

	dn y(x)	a1(x)	dn 1y(x)	a2(x)	dn 2 y(x)	.... an(x)y(x) (x)
	dxn		dxn 1		dxn 2

можно рассматривать как результат применения некоторого оператора, ставящего в соответствие функции y(x) функцию (x). Такой оператор носит название линейного дифференциального оператора. Простейшим частным случаем линейного дифференциального оператора является оператор дифференцирования, градиент, ротор, оператор Лапласа, оператор дивергенции.

28