2. Бета-функция Эйлера. B(x, y) определяется несобственным интегралом

1
B(x, y) tx 1(1 t)y 1dt, x 0, y 0,		(3.10)
0	y. Функция B(x,y) является аналитиче-
зависящим от двух параметров – x и
ской двух комплексных переменных (x и y) в области Rex 0,		Re y 0.
Свойства функции B(x,y):
1. B(x,y) – симметричная функция, т. е. B(x, y) B(y, x).
Действительно, положив 1 t, получим
1	1

B(x, y) tx 1(1 t)y 1dt y 1(1 )x 1d B(y,x).

00

2.Между бета- и гамма-функциями существует зависимость

B(x,y)	(x) (y)	.	(3.11)
	(x y)

Применение интегралов Эйлера к вычислению определенных интегралов

Некоторые интегралы могут быть вычислены с помощью рассматриваемых функций. Приведем без доказательства некоторые полезные формулы:

/2

sin

0

									1					1
						1
																2
xcos			xdx						2										.
						2
															1
													2
	x 1				dx				( ) ( )
0															.
	(1 x)								( )

(3.12)

(3.13)

Раздел 4. Решетчатые функции. Z-преобразование

иего приложения

§4.1. Решетчатые функции. Z -преобразование и его свойства

Решетчатые функции. В приложениях часто рассматриваются функции f (t), определенные в дискретных точках t1, t2, ..., tn, tn 1, промежутка T ,

причем tn 1 tn . Такие функции называются решетчатыми. На рисунке ниже изображен график непрерывной функции f (t),t 0, 1, 2, .

Обозначив f (tn ) fn, получим последовательность значений функции:

{f (n)} { , f ( n), , f ( 1), f (0), f (1), , f (n), }.

Если значения этого множества изобразить в виде отрезков, исходящих из точек n оси t, то получим картину, напоминающую решетку. Поэтому

33

{f (n)} называется решетчатой функцией.

f (0)	f (1)	f (t)

f (n)

		0	1		n					t
	Применение преобразования Лапласа к решетчатым оригиналам
	Z -преобразование. Пусть f (n)				– решетчатая функция (последователь-
	ность чисел), причем f (n) 0		при n 0. Функция F(z)						комплексной пере-
	менной z, определяемая равенством
		f (1)		f (2)		f (n)			f (n)
	F(z) f (0)				...		...			,	(4.1)
		z		z2		zn			zn
								n 0			F(z)
	называется Z -преобразованием решетчатой функции							f (n). Функцию
	также называют изображением		f (n).					Z -преобразование, то
	Если f (n) – решетчатая функция, а F(z)						– ее

представим это в виде f (n) F(z).

Правую часть равенства (4.1) можно рассматривать как ряд Лорана функции F(z).

Теорема 4.1. Пусть существует предел lim n | f (n) | R . Тогда ряд

n

(4.1) сходится абсолютно в области | z | R. Ряд (4.1) сходится равномерно в

области | z | R1 R.

Свойства Z-преобразования

1.Свойство линейности преобразования. Оператор F – линейный, т. е.

если f1 F1(z), f2 F2 (z), то c1 f1 c2 f2 c1F1(z) c2F2 (z), где c1,c2 –

произвольные числа.

2.Свойство запаздывания аргумента.

Если f (n) F(z), то	f (n k)	F(z)	.
		zk

3. Свойство опережения аргумента. Если

		k		f (1)
	f (n k) z	F(z) f (0)
				z

f (n) F(z), то

f(k 1)

... . zk 1

34

4. Свойство подобия. Если

f (n) F(z), то

f (n)

F(az).

an

5. Свойство дифференцирования Z-преобразования.

Если

f (n) F(z), то

n f

(n) zF (z).

6. Z-преобразование свертки решетчатых функций. Сверткой двух ре-

шетчатых

функций f (n)

и

(n)

называется

решетчатая функция

n

f (n) F(z), (n) (z), то

f (n) * (n) f (k) (n k) . Если

k 0

f (n)* (n) F (z) (z).

Краткая таблица Z-преобразования

f (n)

F(z)

an

z

z a

1

z

z 1

( 1)n

z

z 1

ej n

z

z ej

cos n

z(z cos n)

z2 2zcos 1

sin n

zsin

z2 2zcos 1

n 1n

z

z 1 2

n2

z(z 1)

(z 1)3

Восстановление решетчатой функции по ее Z-преобразованию. При восстановлении решетчатой функции в простейших случаях можно использовать таблицу основных Z-преобразований. В общем случае справедлива

Теорема 4.2. Пусть f (n) F(z). Тогда

	f (n)=	1	F(z)zn 1dz, n 0,1,...,	(4.2)
		2 i
где	– любая окружность радиусом | z | R1 R (R – радиус сходимости

35

ряда (4.1)), проходимая против часовой стрелки.

К интегралу, стоящему в правой части формулы (4.2), можно применить теорию вычетов. Поэтому справедлива

Теорема 4.3. Если a1, a2,..., am – особые точки функции F(z)

в области

| z | R1, то

m

f (n) Res F(z) zn 1 .

(4.3)

k 1 z ak

P(z)

Замечание. Если, в

частности,

F(z)

–

несократимая

дробь и

Q(z)

a1, a2,..., am – простые корни знаменателя Q(z), то

m

P(a

k

)

akn 1 .

f (n)

Напомним, что

k 1Q'(ak )

а) если а – простой полюс, то

ResF(z) zn 1 lim F(z) zn 1(z a);

z a

z a

б) если а – полюс кратности l, то

dl 1 F(z)zn 1(z a)l

ResF(z)zn

1

1

lim

.

dzl 1

z a

(l 1)! z a

Пример 4.1.

F(z)

z 1

z 1

Дана

функция

.

z2 2z 3

(z 1)(z 3)

Найти f (n).

Решение. Точки

z1 1, z2 3 – простые полюса. Поэтому

f (n) ResF(z) zn 1 ResF(z) zn 1

lim

(z 1)

zn 1

z 1

z 3

z 1

z 3

lim

(z 1) zn 1

1

( 3)n 1

.

z 1

2

2

z 3

Пример 4.2. Дана функция F(z)

z 3

. Найти

f (n).

(z 1)3

Решение.

Здесь z 1 – особая точка, полюс 3-го порядка. Поэтому

1

1

f (n)

lim F(z)zn 1(z 1)3

lim (z 3)zn 1

2!

1

z 1

1

2 z 1

lim zn 3zn 1

lim n(n 1)zn 2 3(n 1)(n 2)zn 3

2 z 1

1

2 z 1

(n 1)(n 3n 6) (n 1)(2n 3).

2

36

§4.2. Разностные уравнения. Решение разностных уравнений с помощью Z-преобразования

Разностные уравнения. Z-преобразование используется для решения линейных разностных уравнений. Линейные разностные уравнения получаются из линейных дифференциальных уравнений для решетчатых функций. Например, пусть даны уравнения

y f (x),	(4.4)
y ay by f (x).	(4.5)

Полагая, что y(x) – решетчатая функция, т. е. она задается таблицей значений в равноотстоящих узлах с шагом h 1, строим разделенные разности

первого и 2 y			0	, 2 y ,..., 2 y	n	второго порядков:
				1
	xn	y(xn )		y (xn)						y (xn)
	0	y0		y0 y1 y0			2 y0 y1 y0 (y2 y1) (y1 y0 )
	1	y1
				y1 y2 y1			y		2y y
	2	y2						2		0
				y2 y3 y2					1
	3	y3								…
				…
	…	…
	n	yn 1		yn 1 yn yn 1
	n 1	yn					2 yn 1 yn yn 1 (yn 1 yn )
	n 1	yn 1		yn yn 1 yn			(yn yn 1) yn 1 2yn yn 1
	Разности первого порядка y0, y1,..., yn									при шаге h 1 приближают

производные первого порядка, а разности второго – производные 2-го порядка.

Уравнение (4.1) в узле n перепишется так:
y(n 1) y(n) f (n),	(4.6)
при этом (4.6) – линейное разностное уравнение первого порядка.
Дифференциальное уравнение (4.5) в n-м узле имеет вид
y(n 2) 2y(n 1) y(n) a[y(n 1) y(n)] by(n) f (n),	(4.7)

где (4.7) – линейное разностное уравнение второго порядка.

В общем случае линейное дифференциальное уравнение k -го порядка всегда можно свести к соответствующему линейному разностному уравнению k -го порядка, которое имеет вид

A0 y(n k) A1y(n k 1) A2 y(n k 2) ... Ak y(n) f (n).

Соответствующие начальные условия задаются так: y(0) y0, y(1) y1,...,y(n 1) yn 1,

где y0, y1,..., yn 1 – заданные числа.

37

Решение линейных разностных уравнений с помощью Z-преобразования.

Рассмотрим следующую задачу.

Пусть дано линейное разностное уравнение

L[y] A0 y(n k) A1y(n k 1) A2 y(n k 2) ... Ak y(n) f (n)					(4.8)
при начальных условиях
y(0) y0, y(1)		y1,...,y(n 1)		yn 1,
где y0, y1,..., yn 1 – заданные числа.
Требуется найти всю	бесконечную		последовательность значений
y(n), y(n 1), y(n 2),... .
Решение. Приступая	к	решению	этой	задачи, полагаем,	что

f (n) F(z), y(n) – решетчатый оригинал, а Y(z) – его Z-изображение. Тогда

y(n) Y(z),

y(n 1) z[Y(z) y0],

y(n 2) z2[Y(z) (y

0

y

/ z)],

1

......................................................

y(n k 1) zk 1[Y(z) (y

0

y / z y2 / z2

... y

k 2

/ zk 2)],

1

y(n k) zk[Y(z) (y

0

y

/ z y

2

/ z2 ... y

k 1

/ zk 1)].

1

Теперь, комбинируя оригиналы,

стоящие

слева,

с

коэффициентами

Ak ,..., A0, в силу линейности

Z -преобразования получим комбинацию их

Z -изображений с теми же коэффициентами:

L[y] Y(z)(A zk A zk 1 A

z A ) y

0

(A zk

A zk 1

A

z)

0

1

k 1

k

0

1

k 1

y

(A zk 1

A zk 2

A

z) ... y

A z.

1

0

1

k 2

k 1

0

Так как должно быть тождество (4.5) решетчатых оригиналов, то должны совпадать и их Z -изображения. Итак, получаем операторное Z-изображение:

L[y] Y(z)(A zk A zk 1		A		z A ) y		0	(A zk A zk 1			A	z)
0	1		k 1		k			0	1	k 1	(4.9)
y (A zk 1	A zk 2		A		z) ... y				A z F(z).
								k 1
1 0	1			k 2					0

Уравнение (4.9) легко решается относительно Y(z). Запишем его так:

Y(z) (z) (z) F(z),

F(z) (z) Y(z) .

(z)

Остается только стандартным путем через вычеты восстановить решетчатый оригинал y(n).

Аналогично решаются системы линейных разностных уравнений.

38

Раздел 5. Элементы вариационного исчисления

§5.1. Первоначальные понятия

Вариационное исчисление – это раздел математики, рассматривающий задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функционалов (см. определение 2.8).

Функционал – это обобщение понятия функции. Отличие его от функции состоит в том, что в качестве области определения функционал имеет не числовое множество, а множество D произвольной природы – например, множество функций.

В качестве множеств функций, на которых определены функционалы, бу-

дем рассматривать следующие пространства:

1) C [a,b] – пространство непрерывных функций

f (x) на [a,b].

Норма

f (x)

C max

f (x)

,

x [a,b];

(5.1)

2) C1 [a,b] – пространство непрерывно дифференцируемых функций на

[a,b].

Норма

f (x) C(1) max	f (x) max f		x [a,b];	(5.2)
		(x),

3) Cn [a,b] – пространство функций, имеющих непрерывные производные до n-го порядка на [a,b].

Норма

(n)

(5.3)

f (x)

C(n) max

f (x)

max

f

(x)

max

f

(x)

,

x [a, b].

Нормы нужны для оценки близости двух элементов пространства.

Под -окрестностью элемента y0 нормированного пространства E понимают множество всех элементов из E, для которых выполняется неравенство

(y, y0) y y0 .

Вслучае нормы (5.1) в -окрестность функции y0 попадут все функции,

которые по своим ординатам отличаются меньше чем на .

В случае нормы (5.2) в -окрестность функции y0 попадут все функции , которые не только по своим ординатам отличаются меньше чем на , но и по значениям своих первых производных.

В случае нормы (5.3) в -окрестность функции y0 попадут все функции , которые близки не только по значениям ординат, но и по значениям своих производных.

Эти понятия используют для определения непрерывности функционала. Функционал I (y) называется непрерывным в y0, если значения 0

0 такие, что I(y0) I(y) , как только (y, y0) y y0 .

39