2. Шар радиусом R = 6 см					заряжен с объемной плотностью	0	/ r 2 , где
	0	= 4 мкКл/м 3 . Найти модуль напряженности поля внутри, вне шара и на его
поверхности.
			3. Бесконечный				цилиндр	заряжен с объемной плотностью заряда
			0	1 r / R , где		0	= 3 нКл/м 3 , R = 10 см. Найти модуль напряженности

поля внутри и вне цилиндра, а также на его поверхности.

4.Два шара равномерно заряжены с объемными плотностями заряда =

=4 нКл/м 3 и . Шары частично накладываются друг на друга. Центр второго

шара относительно первого задается вектором a , модуль которого a = 6 мм . Найти напряженность электрического поля в произвольной точке A , находящейся в области, принадлежащей обоим шарам.

5. Бесконечная пластина толщиной 2d = 4 см заряжена с объемной плотностью 0 x , 0 = 4 нКл/м 3 . Ось 0X перпендикулярна поверхностям

пластины. Начало системы координат лежит на одинаковом расстоянии от поверхностей пластины. Найти напряженность поля внутри и вне пластины.

3. СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ С ПОТЕНЦИАЛОМ

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

Основными	характеристиками	электростатического поля являются
напряженность и	потенциал. Зная	напряженность	E , можно найти силу,

действующую на заряд, помещенный в любую точку поля, вычислить работу сил поля при движении этого заряда, найти плотность энергии электрического поля:

		2			0 E	2
F	qE, A12		(qE, dl ), w			.
		1			2
Зная потенциал , можно определить				потенциальную энергию заряда,

находящегося в электростатическом поле, работу сил поля при движении заряда:

Wp q , A12 q 1 q 2 .

Между этими величинами существует связь. По известному потенциалу можно найти напряженность:

	E		i	j		k .
			x	y	z
Напряженность	E является антиградиентом потенциала :
E grad или, используя оператор набла,							E ( , ) .

Таким образом, векторная функция, задаваемая тремя компонентами, определяется скалярной функцией, состоящей из одной компоненты.

21

Существует обратная связь. По известному выражению для напряженности можно найти разность потенциалов в двух произвольных точках поля:

2

1 2 (E, dl ) .

1

В силу консервативности электростатического поля интегрирование

выполняется по произвольному контуру L , соединяющему точки 1 и				2.
Для замкнутого	контура	точки 1	и 2 совпадают,	поэтому
1 2 1 1 0 . В	результате	получаем	теорему о циркуляции для

напряженности электростатического поля в интегральной форме:

(E,dl ) 0 .

L

	Формулировка в дифференциальной форме
	rot E 0			0
		или , E
	удобна для проверки потенциальности векторного поля					(векторное поле
					E

потенциально, если ротор этого поля равен нулю). Потенциальное поле представимо как градиент некоторого скалярного поля.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Найти напряженность электрического поля, если его потенциал

ax2 y bxyz cyz2 .

Решение:

Воспользуемся связью между потенциалом и напряженностью

электростатического поля:

E

i

j

k .

x

y

z

Вычисление частных производных

от

заданного в

условии

задачи

выражения для потенциала дает проекции

E на координатные оси:

E

2axy byz, E

ax2

bxz cz

2 , E

bxy

2cyz .

x

x

y

y

z

z

Вектор напряженности равен

E y(2ax bz)i (ax2 bxz cz2 ) j y(bx

2cz)k .

Ответ: E

y(2ax bz)i

(ax2 bxz cz2 ) j

y(bx 2cz)k .

22

Задача 2. Найти потенциал электрического поля, если его напряженность

E ayi		(ax bz) j	byk .

Решение:

Сравнив данное в условии задачи выражение для напряженности с

формулой, устанавливающей связь между E и , получим систему трех

дифференциальных уравнений:

				ay,
		x
			ax bz,
		y
				by.
		z

Проинтегрировав каждое из них, получаем три различных выражения для потенциала:

ay dx axy C1( y, z),

(ax bz) dy axy byz C2 (x, z),

by dz byz C3 (x, y).

Ясно, что полученные выражения для потенциала должны совпадать. Чтобы добиться этого, воспользуемся произвольностью выбора функций C1, C2 , C3 .

Из условия равенства первых двух выражений получаем

axy C1 ( y, z) axy byz C2 (x, z) C1 ( y, z) byz C2 (x, z)C1 ( y, z) byz C2 (z).

Приравняв два последних выражения, имеем:

axy byz C2 (z) byz C3 (x, y) axy C2 (z) C3 (x, y)C2 C, C3 (x, y) axy C, C1 ( y, z) byz C

(здесь C – произвольная постоянная). Таким образом

axy byz C .

Ответ: axy byz C .

Задача 3. Потенциал электрического поля имеет вид (xy z 2 ) .

Найти проекцию напряженности электрического поля на направление вектора
			в точке A 2,1, 3 , положив = 10 В/м 2 .
a	i	3k
					Решение:
		По выражению для потенциала находим вектор напряженности:
			E yi			xj	2 zk .

В точке A 2,1, 3

E i 2 j 6 k .

23

Проекция вектора на некоторое направление равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и заданным направлением. Воспользовавшись определением скалярного произведения

(E,a) E a cos Exax Ey ay Ez az ,

находим, что искомая проекция

E		E		cos	Ex ax E	y ay Ez az		.
a						a
Подставив численные значения, получаем

					18		19
	E							10 = 60,1 В/м.
		a
				12 32			10
Ответ: Ea 1,9	10 = 60,1 В/м.

Задача 4. Шар радиусом R = 12 см равномерно заряжен с объемной плотностью заряда = 10 нКл/м 3 . Найти напряженность и потенциал внутри и вне шара. Начертить графики E(r) и (r) . Вычислить E на поверхности шара.

Решение:

Повторяя рассуждения задачи 1 из раздела 2, на основании теоремы Гаусса находим напряженность поля внутри и вне шара:

	q		4 r2		4 r3		r		r
(E , dS)	1	E			1 E		1	E	1	, r	R ,
1	0	1	1		0 3	1	3 0	1	1
S									3 0

E2

, dS

q2

E2 4 r22

4 R3

E2

R3

E2

R3r2

, r2 R .

0

0 3

3 0r22

3 0r23

S

Потенциал поля найдем, воспользовавшись формулой для разности потенциалов:

2

1 2 (E, dl ) ,

1

в которой точка 1 соответствует точке, в которой вычисляется потенциал, а точка 2 находится на бесконечности. Так как заряды на бесконечности отсутствуют, то можно положить потенциал на бесконечности равным нулю.

Для потенциала внутри шара получаем

			R	(r , dl )
(r1 )		(E, dl )
				3
	r		r		0
	1		1

R3 (r , dl )

3 0r3

R

Rr dr

r 3 0

1

R3r dr

r2

R

R3

R2

r2

1 .

3

R

3 0r

6 0

r1

3 0r

R

2 0

6 0

24

При интегрировании мы учли, что аналитический вид функции E(r) внутри и вне шара различен. Поэтому область интегрирования разбита на две области:

r1 r R и R r . Было учтено, что

(r , dl ) r

dl

cos r (dl )r r dr .

Проекция перемещения

на направление,

задаваемое радиусом-вектором

,

dl

r

(dl )r равна приращению расстояния до центра шара dr .

Потенциал вне шара равен

R

3

R

3

r dr

R

3

R

3

(r2 )

(E, dl )

(r , dl )

.

r2

r2

3 0r 3

r2

3 0r 3

3 0r

r2

3 0r2

По найденным аналитическим выражениям для E(r)

и (r)

построим их

графики (рис. 10).
E

O

R

r

O

R

r

Рис. 10

3

R

2

2

R

3

Ответ:

E

r1

,

E

2

R

r2

, (r )

r1 , (r

)

,

E

=

1

3 0

3

r3

1

2 0

2

3 0r2

пов

0

6 0

2

= 45,2 В/м.

Задача 5. В некоторой области пространства потенциал определяется

выражением

ax3

b ,

где

a

и

b –

некоторые постоянные.

Найти

зависимость плотности объемного заряда от x .

Решение:

По известному потенциалу поля находим его напряженность:

E

i

j

k

3ax2i .

x

y

z

Воспользовавшись теоремой Гаусса в дифференциальной форме, получаем выражение для плотности объемного заряда:

25