2.Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью

0 по шару радиусом R из однородного изотропного диэлектрика с

проницаемостью . Найти модуль вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния до центра шара r , а также объемную и поверхностную плотности связанных зарядов.

3. Напряженность электрического поля внутри воздушного конденсатора E0 = 400 В/м . Затем конденсатор наполовину (рис. 16) заполнили

	диэлектриком с диэлектрической проницаемостью = 8.
	Найти модули		векторов		и		в	диэлектрике		и
				E		D
	воздушном зазоре конденсатора, если							при	введении
	диэлектрика:	1)	напряжение		между			обкладками		не
Рис. 16	менялось;	2)	заряды	на		обкладках			оставались
неизменными.
4. Бесконечно большая плоскопараллельная пластина из однородного
диэлектрика с	диэлектрической проницаемостью				толщиной 2d =10 см
равномерно заряжена с объемной плотностью заряда						=	2	пКл/м 3 . Найти

напряженность и потенциал электрического поля, как функцию расстояния от середины пластины (потенциал в середине пластины положить равным нулю). Вычислить напряженность и потенциал на расстоянии 2 см от середины пластины.

5. Точечный заряд q = 6 нКл находится в центре диэлектрического шара радиусом R1 =4 см проницаемостью 1 = 3. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью 2 = 8. Найти поверхностную плотность связанного заряда на шаре и на безграничном диэлектрике.

5. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Магнитное поле создается движущимися зарядами (токами). Силовой

характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции B .

Точечный заряд q , движущийся с постоянной нерелятивистской скоростью

v (v « c), создает в окружающем пространстве магнитное поле, вектор магнитной индукции которого

0q v, r

,

B

4 r

3

B

где 0 – магнитная постоянная;

–

r

радиус-вектор

точки

наблюдения

A

A

r

относительно заряда (рис. 17).

Для магнитного

поля справедлив

принцип суперпозиции: магнитное поле,

q 0

Рис. 17

создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной

34

сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или токами, взятыми по

отдельности: B Bi .

Элементарный участок тонкого проводника dl с током I создает в окружающем пространстве магнитное поле, вектор индукции которого определяется законом Био–Савара–Лапласа:

0 I dl , r

,

dB

4 r 3

dl

где

– радиус-вектор

точки

наблюдения M

r

I

r

относительно элементарного участка dl

(рис. 18).

Магнитное поле, создаваемое всем тонким

проводником в соответствии с принципом

M

суперпозиции,

B

0 I dl , r ,

B dB

Рис. 18

L

L

4 r3

где

интегрирование

проводится

по всему

проводнику.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Найти индукцию магнитного поля на расстоянии b = 5 см от бесконечного тонкого прямого проводника, по которому течет ток I = 1A.

Решение:

Разбиваем

проводник

на

элементарные

b

dB

направленные

отрезки

dl с

током

I. Один

такой

отрезок создает вектор индукции магнитного поля

I

d

dB , который направлен перпендикулярно плоскости

векторов dl

и

r .

Здесь

r

–

радиус-вектор,

r

указывающий положение точки, где определяется

магнитное поле (рис. 19).

Все

векторы

dB от

произвольных

элементарных

участков dl одинаково

dl

rd

направлены за плоскость рисунка. Поэтому для

получения результирующего поля сложение векторов

Рис. 19

dB можно заменить сложением их модулей.

Так как точка, в которой определяется магнитное поле, находится на

расстоянии b от провода, то из геометрии рисунка следует, что

r

b

, dl

r d

b d

.

sin

sin

sin2

Подставив найденные значения r и dl в закон Био–Савара–Лапласа, получим

	dB	0	I b d	sin3	0		I	sin d .
		4 sin2 b2			4		b

Если проводник бесконечный, то угол , который указывает положение отрезка dl на проводнике, будет изменяться в пределах от 0 до при изменении

35

положения отрезка на пров однике. Чтобы найти модуль магнитной индукции результирующего поля, необходимо воспользоваться принципом суперпозиции, то есть сложить модули магнитной индукции полей от всех отрезков dl:

		0		I		0		I		0		I
	B				sin d				(cos0 cos )				4 мкТл.
		4		b		4		b		2		b
	0

Ответ: B 0 I 4 мкТл.

2 b

Задача 2. Найти закон изменения модуля индукции магнитного поля по высоте h над центром тонкого проволочного кольца, по которому течет ток I.

Решение:

Разобьем кольцо на элементарные отрезки dl , из которых выберем два симметрично расположенных элемента тока I∙ dl и I∙ dl (рис. 20). На оси OZ на высоте h данные элементы создают векторы индукции магнитного поля dB и dB , которые перпендикулярны векторам r и r . Вектор результирующего поля

направлен			по оси			OZ	так,	что		его модуль равен dBz 2 dB sin , где
sin	R			R		, а	dB	0	I dl		. Для любой пары элементов тока I∙ dl и
	r							4	r2
				R2 z2

I∙ dl можно получить такой же результат.

Находим,

Z dBz

воспользовавшись

принципом

суперпозиции,

dB

dB

результирующее магнитное поле, которое создает все

кольцо:

dB

Bz (h) 2 sin dB

0

Idl R

0

I R2

.

(2 R) 4 r2

r

3

2

(R2 h2 )2

Рассмотрим частные случаи.

1.Поле в центре витка.

Вэтом случае h 0 , и мы получаем, что

Bz (0) 0 I . 2 R

2. Поле в дальней зоне.

В этом случае R h , и мы получаем, что

Bz lim				0	I R2								0	I R2	.
									3					2h3
	R	0
			3		R		2		2
	h
			2h					1
					h

r h

R dl

dl

I

Рис. 20

36

На рис. 21 представлен график функции распределения модуля индукции магнитного поля B(h) по высоте h над кольцевым проводником с током.

Ответ:	Bz (h)	IR2
		0	3 .
		2(R2 h2 )2

Рис. 21

Задача 3. Найти закон изменения модуля индукции магнитного поля по высоте h над центром тонкого круга, равномерно заряженным электричеством с поверхностной плотностью заряда . Круг вращается с постоянной угловой скоростью .

Решение:

Разобьем круг на тонкие кольцевые слои радиусом r и шириной dr (рис. 22).

На площади

dS 2 rdr

находится

электрический

заряд

dq dS 2 rdr .

Равномерное

вращение

такого

кольца

создает

постоянный

круговой ток

dI dS T 2 rdr ,

где T 2 .

Из решения предыдущей задачи следует,

что круговой ток dI

радиусом r создает на высоте h магнитное поле, модуль

индукции которого равен

dB

0

dI r2

. Для тока любого радиуса вектор

3

2 (r2

h2 )2

магнитной индукции будет

направлен

вертикально

вверх,

поэтому

dB

результирующее магнитное

поле

диска

можно найти по принципу суперпозиции

h

R

0

r3

dr

B(h) dB

.

Для

3

0

2 (r2 h2 )2

вычисления

интеграла сделаем

замену

dr

r

r

переменной интегрирования u2 r2 h2 ,

откуда udu rdr . После замены пределов

Рис. 22

интегрирования получаем

0

R2 h2

1 h2 u 2 du

0

R

2

2h

2

B(h)

2 h .

2

2

2

2

R

h

h

37

		0		R2 2h2
Ответ: B(h)										2 h .
	2				R	2	h	2

Задача 4. Бесконечный полый цилиндр радиусом R = 10 см заряжен электричеством с

поверхностной плотностью заряда 5 Кл . Найти м2

модуль индукции магнитного поля на оси цилиндра, если он приведен во вращение с угловой скоростью ω = 10 рад/с.

			Решение:
	Рассмотрим тонкий цилиндр высотой dz на
	расстоянии Z	от	точки	О (рис. 23).			Боковая	z dz
	поверхность	dS	этого		цилиндра		имеет
	электрический		заряд		dq dS 2 Rdz .			z
	Равномерное	вращение			создает	постоянный
	круговой ток	dI dS T		Rdz ,		где T 2 .

Воспользуемся тем, что круговой				ток dI радиусом R создает
модуль индукции магнитного поля
dB		0	dI R2
							.
				3
	2 R2 z2
					2

Z

dB

O

r R

Рис. 23

на высоте z

Ток любого цилиндрического слоя будет создавать вектор магнитной индукции, направленный вертикально вверх. Результирующее магнитное поле бесконечного полого цилиндра можно найти по принципу суперпозиции

R3 dz

R3

z

B dB

0

0

3

2

2

2

2 (R

2

z

2

2

R

R

z

)2

0 R 6,28мкТл

Ответ:

B 0 R 6,28 мкТл .

Задача

5.

Тонкий

бесконечный провод

Z

изогнут в пространстве,

как показано на рис.

24 .

Найти модуль индукции магнитного поля в точке О,

R

если сила постоянного тока в проводнике – I = 4,276 А,

радиус дуги равен 10 см.

Y

R

O

Решение:

R

Разобьем проводник

на

три

участка:

два

I

полубесконечных и один – половина окружности

X

радиусом R (рис. 25).	Рис. 24
38

Рис. 26

Из решения задачи 1 следует, что

Z

B3

вектор

индукции

магнитного

поля

B2

полубесконечного

проводника,

который

лежит в плоскости ХОY, в точке О направлен

R

в отрицательном направлении оси OZ, а его

Y

модуль

равен

B

1

0

I

.

Второй

R

O

1

2 2

R

полубесконечный проводник, который лежит

I

B1

R

в плоскости YОZ, в точке О создает вектор

индукции магнитного поля, направленный в

X

Рис. 25

отрицательном направлении оси OХ и равный

по модулю B

1

0

I

. Из решения задачи

2

2 2 R

2 следует, что модуль вектора индукции магнитного поля от проводника в

форме половины длины окружности в точке О равен B

1

0

I

. Вектор

3

2 2

R

индукции магнитного поля B3

в

точке

О направлен

в

отрицательном

направлении оси OХ. В соответствии с принципом суперпозиции вектор

результирующего

поля

равен

B B B

B

0

I

1

2

3

R

4

0

I

0

I

j

k

. Соответственно, модуль этого вектора

4

4

R

R

I

I 2

I 2

I

2 2 2

B

0

0

0

0

18, 28 мкТл .

4

R

4 R

4

R

4

R

0

I

Ответ:

B

2

2 2 18,28 мкТл .

4

R

	Задача 5. Постоянный ток равномерно				Z
	распределен по плоскости XОY так, что модуль его
	линейной плотности во всех точках плоскости
	одинаков и равен j 3,14	А	(рис. 26). Определить
		м		j	O
	модуль индукции магнитного поля на высоте 10 см

над этой плоскостью.

X

Решение:

Пусть ток течет в положительном направлении

оси ОХ. Раccмотрим на оси ОY на расстоянии от начала координат Y шириной dy , тогда каждый такой участок пересекает ток величиной

Y

участок dI jdy .

39

				dB2					Ток, проходящий через координату
					Z
									Y на рис. 27, создает на высоте h
	dB				h				вектор магнитной индукции dB1 .
									Симметрично	расположенный
				dB1					относительно оси ОZ ток		создает
									на высоте h вектор магнитной
									индукции dB2 . По принципу
					O				суперпозиции	определяем
	y dy		y			y y dy			результирующее	поле как	вектор
					Рис. 27				dB dB1 dB2 ,	направленный по
	построению перпендикулярно к оси ОZ, так как токи текут вдоль оси ОХ.
	Модуль		индукции магнитного			поля от			первого проводника находим по

аналогии с задачей для линейного тока:	dB	1	0			dI				. Модуль
	1	2			y	2	h	2

индукции результирующего поля, создаваемого двумя токами, вычисляем как

длину диагонали ромба: dB 2 dB1 cos ,

где cos

h

.

Чтобы найти

h2 y2

модуль индукции результирующего

поля,

создаваемого

всей

плоскостью,

B 2cos dB1

0

h

jdy

j

du

вычисляем интеграл:

0

.

2

0

y2 h2

y2 h2

0 u

1

В интеграле сделана замена переменной

y h u , в итоге получаем следующее

0

j

du

0

j

arctg arctg0

0

выражение:

B

0

j

18, 28 мкТл .

u2 1

2

Отметим, что результат не зависит от высоты h.

Ответ: B 0

2

j 18,28

мкТл

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Бесконечный провод с током I имеет форму, указанную на рис. 28

	Y		I	Y		I
	R			R
					R	O	R
R	O	R	X	O	X
	Рис. 28
			R			Рис. 30
				Рис. 29

40