ЦОС лекции
.pdfПри использовании линейной частоты |
|
|
преобразования Фурье имеют |
|
|
|
|||
следующий вид: |
|
|
|
|
( ) |
∫ |
( ) |
|
(2.7) |
( ) |
∫ |
( ) |
(2.8) |
Из формул (2.6), (2.8) следует, что любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте.
Пример 2.2. Временное представление гармонического колебания имеет следующий вид:
|
|
( ) |
( |
|
), |
|
|
или |
( ) |
( |
|
) |
( |
|
) |
|
|
Для представления такого колебания в частотной области достаточно задать две функции частоты, показывающие, что на частоте амплитуда сигнала равна , а начальная фаза равна :
( ) {
(2.9)
( ) {
Значение ( ) называется амплитудным спектром гармонического колебания, а ( ) называются фазовым спектром гармонического колебания. Их совокупность (2.9) – просто спектр.
2.3. Представление дискретных последовательностей
Теория цифровой обработки сигналов связана с описанием и обработкой временных и частотных последовательностей. Пусть задана произвольная временная дискретная последовательность ( ) { ( ) ( ) ( )}. Такая числовая последовательность может быть представлена как сумма взвешенных и задержанных цифровых единичных импульсов. Цифровой единичный импульс (отсчёт), рисунок 2.4а, определяется следующим образом:
( ) |
{ |
(2.10) |
где = 0,
|
|
|
a |
|
( ) |
1 |
|
|
|
|
|
-2 -1 |
|
0 1 2 3 |
|
|
|
|
б) |
( |
) |
|
1 к
-2 -1 0 1 2 3 4 5
Рисунок 2.4 В цифровых системах этот импульс играет такую же роль, как и дельта-
функция Дирака ( ) (рисунок 2.5) в аналоговых системах. По определению δ-функция удовлетворяет следующим условиям:
( ) {
∫ ( )
( )
Рисунок 2.5 – Символическое изображение дельта-функции
Таким образом, δ-функция равна нулю при всех отличных от нуля значениях аргумента и принимает в точке t = 0 бесконечно большое значение. Площадь под кривой, ограниченной δ-функцией, равна единице. Различие между цифровым единичным импульсом и δ-функцией состоит в том, что цифровой единичный импульс является физически реализуемым сигналом, тогда как аналоговый единичный импульс ( ) рассматривается только как обобщённая функция. На рисунке 2.4б изображён единичный отсчёт, задержанный на к отсчётов, который определяется как
( ) { (2.11)
где = 0, В общем случае любой отсчёт произвольной дискретной последовательности
записывается в виде
( ) ∑ ( ) ( ) (2.12)
где |
= 0, |
|
|
|
|
|
Пример |
2.3. |
Задана |
дискретная |
последовательность |
( |
) { |
|
|
}, |
рисунок 2.6. Записать |
выражение для определения отсчёта с номером
x(n)
n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.6 |
|
|
|
Значение отсчёта данной последовательности определяется как |
|
|||||||||||
( ) ∑ |
( ) ( |
|
) |
( ) ( |
) |
( ) ( |
) |
( ) ( |
||||
) |
|
( ) ( |
|
) |
|
( ) ( |
) |
( ) ( |
) |
( ) ( |
) |
|
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
Упражнение 2.1. Дана дискретная последовательность |
|
|||||||||
( |
) |
{ ( ) |
( |
) |
( |
) |
( ) |
( )} |
{ |
|
}. Записать |
выражение, определяющее значение отсчёта последовательности с номером n =3.
2.4. Теорема дискретизации
Дискретизация представляет собой процедуру взятия мгновенных значений непрерывного сигнала ( )
Положение 1. Задан сигнал, энергия которого полностью содержится внутри полосы частот от 0 до W Гц; сигнал дискретизируется с интервалами Т секунд.
Теорема 2.1. Исходный сигнал может быть полностью восстановлен при частоте дискретизации не менее 2W.
В западной научной литературе принято считать, что принцип дискретизации был высказан Найквистом (H. Nyqust) в 1928 году. По советским источникам теорему дискретизации сформулировал и доказал академик В. А. Котельников в 1931 году. Строгое определение и использование в качестве теоремы дано Шенноном (C. E .Shannon) в 1948 году.
Положение 2. Задан сигнал (приближенно) с частотным спектром, ограниченным частотой W Гц, существующий t секунд.
Теорема 2.2. Сигнал может быть полностью восстановлен (описан) отсчётами.
Замечание ‒ Определение сигнала как приближённое введено для
математической корректности. По самой природе преобразования Фурье никакая функция не может быть ограничена по частоте. Существует концептуальная трудность строгого частотного ограничения реального
сигнала частотой |
. |
В силу |
конечной длительности сигнала, рисунок 2.7, он |
|
имеет бесконечно широкий |
спектр. В моменты возникновения-окончания |
|||
сигнала временные |
интервалы |
его формирования очень малы и, |
||
следовательно, |
очень велико. |
|
||
x(t) |
|
|
|
|
t Н ч ло |
t |
|
О онч н |
t
Рисунок 2.7 Фактически бесконечность спектра является препятствием для
преобразования сигнала ( ) в цифровую форму. Если , дискретизация невозможна. Тем не менее, в спектре любого конечного сигнала есть такие высшие составляющие, значения которых имеют незначительные амплитуды, и потому ими можно пренебречь без заметного
искажения самого сигнала. Ограничение спектра до частоты осуществляется антиэлайсинговым фильтром. Например, для телефонного
сигнала |
полосой |
|
|
|
минимальная |
стандартная частота |
его |
||||||
дискретизации |
= 8 |
. |
Временной |
интервал дискретизации |
равен |
||||||||
|
|
|
мкс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нестационарных процессов интервал дискретизации |
|
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||
определяется временем корреляции |
сигналов, а именно |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
Нормированная |
взаимная |
корреляция |
( ) двух сигналов конечного |
||||||||||
периода |
в непрерывной временной области определяется формулой |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
( ) |
|
|
∫ |
( ) ( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где – |
сдвиг по времени сигнала ( ) Если рассогласования нет, |
Если |
|||||||||||
взаимокорреляция процессов выражено слабо, то |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
| |
( |
)| |
|
, при любых . |
|
|
|||
На |
практике широко |
используется |
и |
функция автокорреляции |
( ) ∫ ( ) ( )
Функция автокорреляции описывает важное свойство процесса (сигнала), а именно, изменение отклика на сигнал при изменении временного положения сигнала.
Корреляционная функция ‒ это показатель сходства или общих свойств двух сигналов. Значение 0 указывает на нулевую корреляцию. Это означает, что сигналы независимы, например, если один из сигналов случаен. Малые значения ( ) указывают на незначительную корреляцию.
Нормированная взаимная корреляция ( ) двух последовательностей данных ( )и ( ) записывается как
( ) |
|
∑ |
( ) ( |
), = 0, 1,…, –1. |
(2.13) |
|
Этот математический аппарат находит очень широкое применение в обработке изображений, в сфере компьютерного зрения, дистанционного зондирования со спутников, в которых сравниваются данные с различных изображений, в реализации технического контроля качества выпускаемых изделий, в климатологии и в др. приложениях.
Стационарный случайный процесс – статистические свойства его не изменяются при переносе начала отсчёта времени (или другого аргумента, от которого зависит рассматриваемый процесс).
Нестационарный процесс – анализ осуществляется лишь по одной реализации процесса. Различают нестационарные процессы с переменным во времени значением, рисунок 2.8а, и с переменным во времени средним квадратом, рисунок 2.8б.
( )
а
( ) |
t |
б
t
Рисунок 2.8
Теоретически точное восстановление сигнала после дискретизации может быть выполнено с помощью идеального ФНЧ с прямоугольной
характеристикой и частотой среза |
|
, однако, практически это |
|
||
исключено, так как для создания |
|
фильтра потребуется затратить |
бесконечное время. |
|
|
По теореме дискретизации максимальная частота аналогового сигнала не должна превышать половина частоты дискретизации , следовательно, в частотной области все дискретные сигналы целесообразно рассматривать в
диапазоне [ ] или [ ].
При анализе дискретных сигналов удобно пользоваться нормированной
частотой ̂ |
|
|
или ̂ |
|
|
|
|
, и рассматривать дискретный |
|
|
|
||||||
сигнал в области ̂ |
[ |
] или ̂ [ ]. Применение нормированных |
частот позволяет исследовать частотные характеристики дискретных систем и спектры дискретных сигналов в единой полосе частот. Для ЦОС важны не абсолютные значения частоты сигнала и частоты дискретизации, а их отношение, т.е. значение нормированной частоты. Покажем это на примере.
Пример 2.4. На рисунке 2.9 изображена дискретная синусоида ( )
x(n)
n
Рисунок 2.9
Она связана с аналоговым гармоническим сигналом выражением
( ) ( ) ( )
где – период дискретизации.
Сравним две дискретные синусоиды, каждая из которых имеет следующие значения параметров:
( ) |
( |
) |
( |
|
) |
|
где
где |
( ) |
( |
|
) |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив соответствующие величины в |
( ) и |
|
( ), получим: |
|
|
|||||||||||||
( ) |
( |
|
|
|
) |
( |
|
|
|
) |
( |
|
) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( ) |
( |
|
) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
( |
|
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, форма этих дискретные сигналы одинакова, так как равны их нормированные частоты, т.е.
̂ ̂ .
Пример 2.5. Определить ширину полосы частот цифрового сигнала покомпонентного телевидения (ТВ).
Замечание. В покомпонентном телевидении разделённые сигналы
яркости и цветоразностные сигналы |
и |
квантуются на 256 |
уровней. Частота дискретизации яркостного канала выбрана равной |
||
, частота дискретизации цветоразностных сигналов |
||
. |
|
|
Решение. Ширина полосы частот |
равна |
|
|
|
. |
где – значность двоичного кода АЦП. |
|
|
Пример 2.6. Определить количество отсчётов |
яркостного сигнала в |
строчном интервале ТВ стандарта c параметрами: 625 строк в кадре, 25 полукадров в секунду. Частота дискретизации сигнала яркостного канала
. |
|
|
||
|
Решение. За одну секунду формируется 625 |
строк. |
||
Длительность одной строки равна |
|
|
||
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
Упражнения |
|
|
|
|
2.2. Определить количество отсчётов |
сигнала цветности в строчном |
||
интервале ТВ стандарта c параметрами: |
625 строк |
в кадре, 25 кадров в |
секунду. Частота дискретизации сигнала цветности .
2.3. Определить скорость цифрового потока полного сигнала цветности ТВ изображения при 8-битовом квантовании и стандарте цифрового кодирования 4:2:2. Условие 4:2:2 отражает соотношение частот дискретизации сигнала яркости и двух цветоразностных сигналов, а также одновременность их передачи.
2.4. Количество отсчётов HD телевизионного изображения равно
. Число градаций яркости равно 256. Какой объем памяти требуется для хранения этого изображения.
3. Линейные системы
3.1. Преобразование сигналов линейными системами с постоянными параметрами
Анализ физической системы, использующей технику обработки сигналов, часто приводит к схеме, которая представлена на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1
Из рисунка 3.1 следует, что входному сигналу ( ) cоответствует выходной
( ) Линейность системы означает, что входному сигналу вида
( ) ( )
будет соответствовать сигнал на выходе системы
( ) ( ).
Одна из проблем анализа линейной системы заключается в том, как выяснить особенности системы, если возможно измерить сигналы на входе и сигналы на выходе. Чтобы решить эту задачу, необходимо знать, как связаны входной и выходной сигналы с параметрами системы.
3.1.1. Дискретные системы
Дискретная система определяется как однозначное преобразование или оператор, переводящий входную последовательность ( ) (вход) в выходную ( ) (выход, отклик, или реакция системы). Математически это записывается в виде
( |
) |
|
[ ( )], |
|
|
(3.1) |
|
и графически изображается на рисунке 3.2. |
|
|
|
||||
( ) |
|
|
|
( ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейная |
|
|
|
|
|
|
|
система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( |
|
) |
( ) |
( ) |
Рисунок 3.2 ‒ Дискретная система
Соотношение (3.1) ‒ это правило, или формула, по которому вычисляется реакция системы через отсчеты сигнала, поданного на ее вход. Вид оператора
[ ] |
зависит |
от свойств конкретной |
системы. Оператор [ ] определяет |
||
характер математических операций при отображении множества { |
( )} в |
||||
множество { |
( )}. |
|
|
|
|
|
Пример 3.1. Дискретная система, описываемая формулой |
|
|||
|
|
( ) |
( |
) |
(3.2) |
где |
‒ натуральное число, называемое задержкой системы. Эта система |
||||
осуществляет сдвиг входной последовательности отсчетов вправо на |
|||||
интервалов |
дискретизации. Для вычисления отсчета отклика используется |
единственный отсчет входной последовательности. Говорят, что система (3.2) имеет память и относится к системам с запоминанием.
|
Пример 3.2. Система без запоминания. Систему, |
-й отсчет реакции |
|||||
( |
) |
ото ой п и |
ж о |
з ви ит толь о от о но о от чет ( те |
же |
||
ин е |
о |
) вхо |
( ) н зыв ют и те ой без з по |
ин ния Н п и |
е |
||
( |
) |
( ( |
)) |
|
|
|
|
3.2. Линейные дискретные системы с постоянными параметрами Во многих приложениях применяется класс линейных систем с постоянными
параметрами. Они сравнительно просты в математическом отношении, дают удобный вид обработки сигналов.
Класс линейных систем определяется линейными операциями или
принципом |
суперпозиции. |
Если |
( ) |
и |
|
( ) ‒ |
входные |
|||
последовательности, а |
( ) и |
( ) ‒ выходные последовательности, то при |
||||||||
подаче |
на |
вход |
последовательности |
( |
) + |
( ) |
систему |
называют |
||
линейной тогда и только тогда, когда выполняется |
|
|
|
|||||||
[ |
( |
) |
( )] |
[ |
( )] |
[ |
( )] |
( |
) |
( ) (3.3) |
где и |
произвольные постоянные параметры (константы). |
|
Выражение (3.3) характеризует свойство аддитивности линейной системы, в соответствии с которым реакция системы на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие. Выражение (3.3) характеризует также свойство однородности линейной системы, в соответствии с которым умножение входной последовательности на постоянный параметр соответствует выходной последовательности, умноженной на тот же параметр, т.е.
[ |
( )] |
[ |
( |
)] |
( ) |
(3.4) |
Если выражение ( |
) |
[ ( )] |
с |
линейным оператором |
описывает |
систему, то это означает, что в данном преобразовании (отображении) возможны только линейные операции сложения, вычитания и умножения на постоянный параметр и соотношение вход – выход линейной системы описывается линейным уравнением.
Пример 3.3. Система, определяемая уравнением |
|
|
( ) ∑ |
( ), |
(3.5) |
называется сумматором, поскольку значение ее реакции в момент времени равно сумме значений предыдущих отсчетов входной последовательности.
Например, реакция системы для значений |
|
равна |
|
|
||||||
|
( ) |
( ) ( ) |
( ) |
( ) ( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
|||
Покажем, что система линейна. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. |
Подадим |
на вход |
сумматора |
две |
последовательности |
||||
( |
) ( ) и вычислим соответствующие отклики: |
|
|
|
||||||
|
|
|
( |
) |
∑ |
( |
), |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
∑ |
( |
). |
|
|
|
Сформируем последовательность |
( ) |
( |
) |
( |
) |
|
||||
Для произвольных параметров |
и |
имеем |
|
|
|
|
|
|||
|
( ) ∑ |
( ) ∑ |
( |
( ) |
( )) |
|
|
|||
∑ |
( |
) |
∑ |
|
( ) |
( |
) |
( |
) |
|
Таким образом, сумматор удовлетворяет принципу суперпозиции, т.е. является линейной системой.
Пример 3.4. Нелинейная система. Пусть отклик системы
( ) | ( )|.
Докажем, что для такой системы нарушается принцип линейности. Выберем
в качестве сигналов |
( ) |
и ( ) |
Соответствующие отклики |
|
( ) |
| | |
и |
( ) |
| | |
Требование однородности диктует соотношение