ЦОС лекции

Модуль комплексной частотной характеристики определяется как

|(

)| |

|

|

|

|

|

√(

)

(

)

√

√

Фазовая характеристика системы записывается как

(

)

.

Напомним, аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого , где любое целое число.

Так как , аргумент действительного положительного числа имеет главное значение ноль:

(

)

.

Следовательно, .

.

На рисунке 4.9 изображены модуль |(	)| и фаза	(	) как функции
нормированной частоты в диапазоне	при		и	.

Рисунок 4.9 – Комплексная частотная характеристика рекурсивной линейной системы первого порядка

На полуинтервале	функции |(	)| и	(	)
изображены на рисунке 4.10.

Рисунок 4.10 – Комплексная частотная характеристика

	фильтра нижних частот
Как видно, функция |(	)| является характеристикой фильтра нижних
частот (ФНЧ).

Можно показать, что рекурсивная линейная система второго порядка

вида
( )	( )	(	)	(	)

будет иметь частотную характеристику цифрового резонатора.

4.5. Дискретизированное по времени преобразование Фурье

Произвольную входную дискретную последовательность вещественных или

комплексных чисел	( ) можно представить в виде интеграла Фурье
	( )			∫	( )	,	(4.14)
где	(	) ∑			(	)	(4.15)

дискретизированное по времени прямое преобразование Фурье

последовательности		( )	или	Фурье-образ последовательности ( ).
Преобразование	(	) называют также спектральной функцией.
Формула (4.14) определяет понятие обратное преобразование Фурье
спектральной	функции		(	). Поскольку	( ) непрерывная

периодическая функция частоты, она может быть выражена рядом Фурье. Тогда формула (4.15) представляет собой разложение периодической функции ( ) в виде ряда Фурье, в котором коэффициентами Фурье являются значения отсчетов последовательности ( ).

Обратное преобразование Фурье (4.14) можно трактовать как представление последовательности ( ) через непрерывную периодическую функцию частоты ( ). А именно, последовательность ( ) можно рассматривать в виде суперпозиции (интеграла) экспоненциальных сигналов с комплексными амплитудами ( )

Замечание. Пара преобразований Фурье существует только тогда, когда ряд (4.15) сходится.

Фурье-образ последовательности ( ) в алгебраической и показательной форме записывается как

(	)		(	)	(	)	(4.16)
(	)	|	(	)|	(	).	(4.17)
Совокупность значений		|	(	)| и		( )	характеризуют
амплитудный спектр и фазовый спектр последовательности							( )

Сравнивая формулы (4.11) и (4.15), видим, что комплексная частотная характеристика линейной дискретной системы есть Фурье-образ ее импульсной характеристики. С помощью обратного преобразования Фурье комплексной частотной характеристики записывается импульсная характеристика системы

( ) ∫ ( ) . (4.18)

4.6.Свойства дискретизированного по времени преобразования Фурье

4.6.1.Теорема о свертке

Ранее было показано, что отклик линейной стационарной системы на

последовательность	( )		определяется как
		( )	( ),
где множитель (	)	– комплексная частотная характеристика системы

представляет комплексный коэффициент передачи для каждого значения частоты

Вычислим отклик линейной системы с импульсной характеристикой

( ) на произвольную входную последовательность												( ). В этом случае
входная и выходная последовательность связаны соотношением свертки
	( )	∑		(			)	(	)	(	) (		),	(4.19)
где		(		)			∫	(		)				(4.20)
Подставляя в (4.19) выражение для							(	), получаем
Напомним, ( )	( )	[			∫		(	)		]	(	)
	в виде (4.20) есть суперпозиция комплексных экспонент.
Тогда отклик	линейной			стационарной						системы		на	( )	является

суперпозицией откликов на каждую комплексную экспоненту, входящую в представление сигнала ( ) Так как отклик на каждую комплексную экспоненту получается умножением на комплексный коэффициент

пропорциональности	(	),	зависящий				от	значения	частоты	, а
промежуток интегрирования совпадает с периодом функции									( ), можно
записать
		(	)			∫	(	) ( )
				(4.21)
Обозначив
	(	)	(	)			(	),		(4.22)

получаем комплексную частотную характеристику свертки. Формула (4.22) отражает связь между входом и выходом в частотной

области. Выражение (4.22) – одно из важнейших свойств преобразования Фурье. Соотношение (4.21) записанное в виде

( ) ∫ ( ) (4.23)

представляет собой обратное преобразования Фурье от Фурье-образа свертки.

Вывод. Связь между входом и выходом линейной системы, представленная как операция свертки во временной области, в частотной области представляется операцией произведения.

Замечание. Если дискретная система нелинейна и нестационарна, получить общее соотношение между Фурье-образами ее входной и выходной последовательностью довольно сложно.

4.6.2. Теорема о периодической свертке, или модуляция

Вычислим Фурье-образ от произведения двух последовательностей. Пусть последовательности ( ) и ( ) имеют соответственно Фурье-образы

(	)	∑	(	)	,
(	)	∑	(	)	.
Сформируем последовательность			(	)	( ) ( ). Здесь ( ) есть

результат перемножения двух последовательностей – процесс модуляции.

Фурье-образ последовательности		(	) определяется из выражения
( ) ∑	( )	∑	( ) ( )	.	(4.24)

Выразим Фурье-образ от произведения двух последовательностей через обратное преобразование Фурье последовательности

( )		∫	(	)	(4.25)

Подставляя в (4.24) значение (4.25), получаем

( ) ∑ ∫ ( ( ) ) ( )

С учетом линейности и стационарности дискретной системы, свойства однородности, можно записать последнее выражение в виде

( )			∫		(	) ∑	( )	(	)
				∫	(	) (	( ) )		(4.26)

Правая часть уравнения является периодической сверткой двух периодических функций в частотной области. Промежуток интегрирования свертке совпадает с периодом подынтегральных функций. Как следует из (4.26), произведению дискретных последовательностей соответствует периодическая свертка их Фурье-образов. Для сравнения напомним, что

произведению периодических Фурье-образов сворачиваемых последовательностей соответствует свертка последовательностей во временной области.

Таким образом, имеем, так называемые соотношения двойственности:

(	) (	)	(	)	( ) ∑				( ) (	)
( ) ( )		( )	(	)			∫	(	) ( (	) )	.

Замечание. Соотношение (4.26) используется при проектировании цифровых фильтров методом весовых функций (окон).

4.7. Идеальные частотно-избирательные системы

4.7.1. Импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот

Важный класс линейных стационарных систем включает в себя системы, для которых частотная характеристика равна единице над определенным промежутком частот и нулю в остальной области. Такую характеристику имеют идеальные частотно-избирательные фильтры. Например, фильтр нижних частот фильтр, фильтр высоких частот (ФВЧ), полосовой фильтр (ПФ) (резонаторный фильтр), полосно-задерживающий фильтр (режекторный). На рисунке 4.11.а показана комплексная частотная характеристика идеального ФНЧ. а

Рисунок 4.11 – Комплексная частотная характеристика ФНЧ с частотой среза

Поскольку КЧХ полностью определяется своими значениями на полуинтервале , частотную характеристику идеального ФНЧ можно рассматривать только на этом полуинтервале, рисунок 4.11.б.

Вне этого интервала КЧХ повторяется периодично с периодом 2 .

Пример 4.3. Вычислить импульсную характеристику идеального ФНЧ,

если его частотная характеристика равная на промежутке [–				]
( ) {	|	|	,

вне этого интервала вычисляется по периодичности.

Решение. Импульсная характеристика вычисляется с помощью обратного преобразования Фурье

( )

∫

(

)

∫

|

(

)

(

)

(4.27)

Пусть значение нормированной частоты среза равно

Этой частоте

соответствует значение линейной частоты

Например, если частота дискретизации

Гц, то

Гц.

Область определения аналогового сигнала по частоте составляет

(

) Гц.

Вычислим несколько значений коэффициентов (

) Для

получаем

( )

–

неопределенность

вида

Применяя

правило

Лопиталя, дифференцируем числитель и знаменатель по

.

(

)

|

Для других значений

имеем:

( )

; ( )

;

( )

; ( )

; ( )

и

т.д.

На рисунке 4.12 показана импульсная характеристика идеального ФНЧ.

1

0,5

h(n)

0

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-0,5

n

Рисунок 4.12 – Импульсная характеристика идеального ФНЧ,

(частота среза			)
Как видно, члены последовательности	( ) стремятся к нулю при

неограниченном возрастании , но не быстрее, чем .

5. Проектирование линейных дискретных систем

5.1. Частотно-избирательные цифровые фильтры

В широком понимании фильтром можно назвать систему, меняющую форму исходного сигнала, т.е. меняющую амплитудно-частотную и / или фазо-частотную характеристику сигнала. Результат фильтрации – это измененный спектральный состав сигнала. Например, достигается снижение помех, улучшение или реставрация изображений, извлечение из сигналов информации, разделение сигналов, сжатие сигнала с целью эффективного использования канала связи, биомедицинская обработка сигнала, цифровое аудио и пр.

Цифровой фильтр (ЦФ) – это математический алгоритм, реализованный на аппаратном и / или программном уровне. Обобщенная структурная схема цифрового частотно-избирательного фильтра с аналоговым входом и выходом показана на рисунке 5.1.

5.1 – Структурная схема цифрового фильтра

Если дискретная система линейна и стационарна, то

( ) ( ) ( ),

где ( ) – комплексная частотная характеристика системы, или что то же

самое Фурье-образ ее импульсной характеристики	(	), а ( ) и ( )
Фурье-образы входного и выходного сигналов;	( )	– отклик дискретной

системы на входную последовательность ( ).

Проектирование фильтров включает в себя следующие этапы:

–спецификации необходимых свойств требований фильтра, которые зависят от приложений;

–аппроксимаций спецификаций с помощью подходящей структуры дискретная система;

–вычисления импульсной характеристики фильтра;

–анализ влияния разрядности на производительность фильтра;

–реализации цифрового фильтра, которая зависит от используемой технологии на аппаратном и / или программном уровне.

5.1.1. Спецификация требований фильтра

Спецификация требований включает такие основные свойства:

–характеристики сигнала (тип источника и получателя сигнала, интерфейс ввода-вывода, скорость передачи данных, ширина полосы частот сигнала);

–характеристики фильтра (амплитудная и / или фазовая, точность, режимы фильтрации: реальное время или моделирование);

–принцип реализации ( на основе компьютерной программы на языке высокого уровня или как системы ЦОС на базе процессора);

–других требований (стоимость, габариты, потребление и пр.).

Для тех приложений, где реализуется дискретная обработка непрерывных сигналов спецификации дискретного фильтра, как и спецификации непрерывного фильтра, указываются в частотной области. Если достаточно высокая частота дискретизации обеспечивает отсутствие эффекта наложения ложных частот, то система, показанная на рисунке 5.1,

ведет себя как непрерывная линейная система с комплексной частотной характеристикой ( ) В этом случае спецификацию дискретного фильтра выводят из спецификаций непрерывного фильтра, основываясь на понятии нормированной частоты. Комплексной частотной характеристике

непрерывного

фильтра

(

)

ставится

в соответствие

КЧХ

( )

дискретного фильтра, т.е.

(

)

(

)

Пример 5.1. Определение спецификации дискретного фильтра из

спецификации ФНЧ непрерывного сигнала.

1. Частота дискретизации

Гц (

)

2. Модуль КЧХ фильтра |

(

)|

(коэффициент

усиления)

в

полосе

частот

(

) должен отличаться от единицы не более чем на

Следовательно, в диапазоне частот

Гц неравномерность

КЧХ не превышает величины 0,01.

3. Модуль КЧХ фильтра |

(

)|

в

полосе

частот

(

)

не

должен отличаться от единицы не более чем на

Требования, предъявляемые к КЧХ фильтра |

(

)|, можно изобразить

графически, рисунок 5.2.

Рисунок 5.2 – Спецификации непрерывного ФНЧ
Обозначения и	соответствуют значениям граничных частот полос
пропускания и непропускания (подавления). Значения и		определяют

допуски на отклонение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) от номинального уровня в полосе пропускания и непропускания фильтра. Требования к характеристике | ( )| из спецификации непрерывного фильтра с КЧХ | ( )| определяются следующим образом:

1. Частота среза (нормированное значение)

̂

2. Верхнее значение частоты переходной полосы

̂

3. АЧХ в полосе пропускания должна быть равна единице с допуском

,

| (

)|

;

.