Pract_tv

Ответ:

a =1,

M 0 (X )= 0,

M e (X )= ln 2,

ν1 = M (X )=1, D(X )= μ2 =1,

ν2 = 2, ν3 = 6, μ3 = 2.

8.19. Случайная величина Х задана плотностью распределения

0 при x ≤1,

p(x)=

6

при x >1.

7

x

Найти начальные моменты случайной величины Х.

Ответ:

ν =

6

при k ≤5;

не существуют при k ≥ 6.

k

6 − k

8.20. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид

1 cos x при − π ≤ x ≤ π ,

p(x)= 2

π

2

2

и при

π

0 при x < −

2

x > 2 .

Найти

математическое

ожидание

и

дисперсию случайной величины

Y =sin 2X.

8

Ответ:

M (Y )= 0;

D(Y )=

.

15

8.21. Случайная величина Х имеет функцию распределения

0 при x ≤ 0,

F(x)= х4

при 0 < x ≤1,

x >1.

1 при

Найти математическое ожидание случайной величины Y = X1+1.

Ответ: M (Y )=103 − 4ln 2.

8.22. По данным задачи 8.9 (при a = 12 , b = π1 ) найти моду и медиану рас-

пределения; вероятность того, что случайная величина Х окажется в промежут-

	−	1	,	1
ке		2		2	; математическое ожидание и дисперсию Х.
					101

Ответ:		−	1	< X <	1		=	1	; M e (X )= 0;	X моду не имеет; M (X )= 0; D(X )=	1	.
	P		2		2			3			2

8.23. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид

p(x)= 12 e− x (распределение Лапласа).

Ответ: M (X )= 0; D(X )= 2.

8.24. Случайная величина Х подчинена закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») на участке от –а до +а (рис. 8.10). Написать выражение плотности распределения; построить график функции распределения; найти числовые характеристики случайной величины Х: M (X ), D(X ), σ(X ), μ3(X ). Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал

− a ; a .2

	р(х)
–а	0	а	х
	Рис. 8.10

1

x

x (−a; a),

при

a

2

a

1−

; σ(X )=

Ответ: P(x)= a

a

; M (X )= 0;

D(X )=

6

;

6

0 при x (−a; a).

μ3 (X )= 0;

a

7

.

P −

2

< X < a =

8

8.25. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью, которая задана формулой

0 при x ≤ 0, p(x)= 2x при 0 < x ≤1,

0 при x >1.

102

Найти коэффициент асимметрии распределения.

Ответ: A = − 252 .

8.26.Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины,

распределнной по закону Лапласа с плотностью p(x) =	1 e−		x		.
	2

Ответ: A = 0; E =3.

8.27. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (1; 4), задана функцией распределения F(x)= −19 x2 + 89 x − 79 . Найти моду и медиану случай-

ной величины Х.

Ответ: M 0 (x) =1; M e (x) ≈ 0,8.

8.28. Найти значения M (X ), D(X ) и σ(X ) для случайной величины Х, функция распределения которой

0 при x ≤ 0,
	3 x2		1 x3
F(x)=		-		при 0 < x ≤ 2,
	4		4

1 при x > 2.

Ответ: M (X ) =1; D(X ) = 0,2;σ(X ) = 0,447.

8.29. Кривая распределения случайной величины Х представляет собой

	полуэллипс с полуосями а и			b. Полуось а известна. Определить b. Найти
	M (X ), D(X ) и функцию распределения						F(x).
	Ответ: b =	2	;M (X ) = 0;	D(X ) =	a	2	;
		πa			4

103

0

при x ≤ −a,

1

x

+ a

2

F(x)=

x

a2

− x2

+ a2 arcsin

π

при − a < x ≤ a,

2

πa

a

2

1 при x > a.

8.30. Случайная величина Х задана плотностью распределения

0 при x ≤ −2,

1

p(x)= − 4 x3 при - 2 < x ≤ 0,

0 при x > 0.

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс.

Ответ: A ≈ −1,05 ; E ≈ 0,7.

Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a,b], если ее плотность вероятности р(х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

		1		при a ≤ x ≤b,
p(x)=
	b − a
		при		x < a, x >b.
0

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть

0 при x ≤ a,

x − a

F(x)= b − a при a < x ≤b,

1 при x >b.

Математическое ожидание M (X )= a + b ,	дисперсия	D(X )=	(b − a)2	,
2			12

а среднее квадратическое отклонение σ(X )= b2−3a .

104

Пример 8.14. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 3 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше минуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х — времени ожидания поезда.

Решение. Случайная величина Х — время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке [0, 3] имеет равномерный закон распределения p(x)= 13 .

Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более минуты,

равна 1 от равной единице площади прямоугольника (рис. 8.11), т.е. 3

	P(X ≤1)= ∫3 1 dx =			1 x		3	=	1.
		2	3	3		2		3
M (X )=	0 + 3	=1,5 мин, D(X )			=		(3 − 0)2		= 3	,
	2							12	4

σ(X )= D(X )= 23 ≈ 0,86 мин.

р(х)

1р(х) =1/3

1/3

1			3	х
	2

Рис. 8.11

Пример 8.15. Найти математическое ожидание и дисперсию произведения двух независимых случайных величин ξ и η с равномерными законами распределения: ξ в интервале [0;1], η — в интервале [1; 3].

Решение. Так как математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то

M (ξη)= M (ξ)M (η)= 0 2+1 1 +2 3 =1. Для нахождения дисперсии воспользуемся

формулой

D(ξη)= M [(ξη)2]−[M (ξη)]2 = M (ξ2η2)−[M (ξη)]2 = M (ξ2) M (η2)−[M (ξ) M (η)]2.

105

M (ξ2)найдем по формуле
M (ξ2)= 1∫ξ2 p(ξ)dξ =1∫			ξ2dξ =1	ξ3		1	=			1 .
0		0	3			0				3
Аналогично рассчитаем
M (η2)= ∫3 η2 p(η)dη =1		∫3 η2dη = 1		1		η3			3	=13 .
1	2	1	2	3					1	3

Следовательно,

D(ξη)= 13 133 −1 = 94 .

Пример 8.16. Вычислить математическое ожидание и дисперсию определителя

2 =		ξ11	ξ12		,
		ξ21	ξ22
элементы которого ξij — независимые			случайные величины с M (ξij )= 0 и
D(ξij )= σ2.

Решение. Вычислим математическое ожидание

M ( 2)= M (ξ11ξ22 − ξ12ξ21)= M (ξ11ξ22)− M (ξ12ξ21)= M (ξ11)M (ξ22)− M (ξ12)M (ξ21)= 0.

Для нахождения дисперсии D( 2) докажем, что если ξ и η — независимые случайные величины, то D(ξη)= D(ξ)D(η)+ [M (ξ)]2D(η)+ [M (η)]2D(ξ).

Действительно,

D(ξη)= M (ξη)2 −[M (ξη)]2 = M (ξ2)M (η2)−[M (ξ)]2[M (η)]2 =

=(D(ξ)+ [M (ξ)]2)(D(η)+ [M (η)]2)−[M (ξ)]2[M (η)]2 =

=D(ξ)D(η)+ [M (ξ)]2D(η)+ [M (η)]2D(ξ).

Следовательно,

106

D( 2)= D(ξ11ξ22 − ξ12ξ21)= D(ξ11ξ22)+ D(ξ12ξ21)=

=D(ξ11)D(ξ22)+ [M (ξ11)]2D(ξ22)+ [M (ξ22)]2D(ξ11)+

+D(ξ12)D(ξ21)+ [M (ξ12)]2D(ξ21)+ [M (ξ21)]2D(ξ12)=

=σ2σ2 + 0 σ2 + 0 σ2 + σ2σ2 + 0 σ2 + 0 σ2 = 2σ4.

Замечание. Для определителя n-го порядка M ( n)= 0 ; D( n)= n!σ2n.

Пример 8.17. Автоматический светофор работает в двух режимах: 1 мин. горит зеленый свет и 0,5 мин — красный и т.д. Водитель подъезжает к перекрестку в случайный момент времени. 1. Найти вероятность того, что он проедет перекресток без остановки. 2. Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики времени ожидания у перекрестка.

Решение. 1. Момент проезда автомобиля t через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периоду смены цветов светофора. Этот период равен 1 + 0,5 = 1,5 мин. Для того чтобы машина проехала через перекресток не останавливаясь, достаточно того, чтобы момент проезда пришелся на интервал времени (0;1). Тогда

	P(t (0;1))= 1∫ p(τ)dτ =1∫		2 dτ =2 .
	0	0	3	3
2.	Время ожидания t0 является смешанной случайной величиной: с вероят-
ностью	2 она равна нулю, а с вероятностью 1 принимает с равномерной плотно-
	3	3
стью вероятностей любые значения между 0 и 0,5 мин; тогда график фун					кции
распределения случайной величины t0		имеет вид, изображенный на рис. 8.12:

F(t)
1
2/3
0,5	1,5	t
	Рис. 8.12

107

	То есть F(t)= 0	при t ≤ 0; F(t)=	2	+		t	при t (0; 0,5); F(t)=1 при
			3		1,5

t [0,5;1,5).

Среднее время ожидания у перекрестка

M (t )= 1		0,5			2 0 = 1		2 1 t2					0,5 = 1
		0∫	tp(t)dt +											0,25 ≈ 0,083мин.
0	3				3	3		2				0	3
Дисперсия времени ожидания
D(t )= M (t2)−[M (t2)]= 1 0,5t2								1		dt − (0,083)2 ≈ 0,0208 мин2;
0			0	0		3 0∫		0,5

σ(t0)≈ 0,144мин.

Задачи для самостоятельного решения

8.31. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти: 1) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины; 2) вероятность того, что ошибка округления: а) меньше 0,01; б) больше 0,03.

Ответ: 1) M (X )= 0,05; D(X )= 0,00083; σ(X )= 0,02887. 2а) P(0 < X < 0,01)+ P(0,09 < X < 0,1)= 0,2.

2б) P(0,03 < X < 0,07)= 0,4.

8.32. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 4 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 2 мин.

Ответ: P(2 < X < 4)= 0,5.

8.33. Минутная стрелка часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 10 с.

	0 < X <	1			5		=	1	.
Ответ: P		6		+ P	6	< X <1		3
						108

8.34.Случайные величины Х и Y независимы и распределены равномерно:

Х— в интервале (a b;), Y — (c;d ). Найти математическое ожидание и диспер-

сию произведения XY.

	Ответ: M	(XY )= a + b c + d ;		D(XY )=	(a2 + ab + b2 )(c2 + cd + d 2 )	−
		2	2		9
−	(a + b)2(c + d)2 .
	16

8.35. Диаметр круга х измерен приближенно, причем 5 ≤ x ≤ 6 . Рассматривая диаметр как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (5; 6), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

Ответ: M (πR 2 )=	91π	;	D(πR 2 )=	227π	2	.
	12			360

8.36. Ребро куба х измерено приближенно, причем 2 ≤ x ≤3. Рассматривая длину ребра куба как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (2; 3), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Ответ: M (X 3 )=16,25; D(X 3 )≈ 30,08 .

8.37. Пусть случайные величины X1и X 2 независимы и равномерно рас-

пределены на отрезке [−1;1]. Найти вероятность того, что min			x	i		>	1 .
	i =1,2						2
Ответ:	1 .
	4

8.38. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [− 4;1].

1) Записать плотность распределения р(х) этой случайной величины. 2) Найти функцию распределения F(x). 3) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

0 при x < −4, Ответ: 1) p(x)= 0,2 при − 4 ≤ x ≤1,

0 при x >1;

109

		0 при x < −4,
2)	F(x)=	0,2(x + 4) при − 4 ≤ x ≤1,
			x >1;
		1 при
	M(X)= −3 ;			25			5			.
3)			D(X)=		;	σ(X)=		3
				12			6
		2

8.39. В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 5 мин. Найти: а) функцию распределения F(x) для этого равномерного распределения; б) вероятность

ожидания лифта более чем 3,5 мин; в) вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 45 секунд; г) вероятность того, что ожидание лифта будет заключено в диапазоне от 1 до 3 мин. (между 1 и 3 минутами).

0 при x ≤ 0,

Ответ: а) = x при 0 < ≤ 5, б) 0,3; в) 0,15; г) 0,4.

F(x) 5 x

1 при x > 5;

8.40.Мастер, осуществляющий ремонт на дому, может появиться в любое время с 10 до 18 часов. Клиент, прождав до 14 часов, отлучился на 1 час. Какова вероятность, что мастер (приход его обязателен) не застанет его дома?

Ответ: 0,125.

8.41.Владелец антикварного аукциона полагает, что предложение цены за определенную картину будет равномерно распределенной случайной величиной в интервале от 500 тыс. до 2 млн. рублей. Найти: а) плотность вероятности; б) вероятность того, что картина будет продана за цену, меньшую чем 675 тыс.; в) вероятность того, что цена картины будет выше 2 млн. рублей.

0 при x ≤ 0,5,

Ответ: ( ) = 2 при 0,5 < ≤ 2, б) 0,1167; в) 0. p x 3 x

0 при x > 2;

8.42. Очень наблюдательный, занимающийся кражей предметов искусства вор, который, вероятно, знает хорошо статистику, заметил, что частота, с которой охранники обходят музей, равномерно распрелена между 15 и 60 минутами. Пусть случайная величчина Х – время (в минутах) до появления охраны.

110