Funktsionalny_analiz

1) Определение и примеры метрических пространств.

(О1) Метрическим пространством называется пара (X,ρ), состоящая из множества X элементов и однозначной неотрицательной действительной функции ρ(x,y), определённой для всех х из Х, называемой расстоянием или метрикой и удовлетворяющее условиям (аксиомам): 1) ρ(x,y)=0 т т т, x=y; 2) ρ(x,y)= ρ(y,x); 3) ρ(x,z)≤ ρ(x,y)+ ρ(y,z).

(П1) Множество действительных чисел с расстоянием ρ(x,y)=|x-y| образует метрическое пространство R.

(П2) Множество упорядоченных групп из n действительных чисел x=(x₁ , … , x_n) с расстоянием ρ(x,y)= (1) называется n-мерным Евклидовым пространством Rⁿ. Проверка аксиом: справедливость аксиом 1) и 2) очевидна. Осталось проверить аксиому 3). Пусть x=(x₁ , … , x_n), y=(y₁ , … , y_n), z=(z₁ , … , z_n). Нужно доказать ≤ + (2). Положим x_k-y_k =a_k, y_k-z_k =b_k.Тогда x_k-z_k =a_k+b_k. Значит равенство (2) примет вид: ≤ + (3). Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского (|(x,y)|≤||x||*||y||): ≤ * . Из (3) имеем = + + ≤=. Т.е. аксиома доказана.

(П3)То же множество упорядоченных групп из n действительных чисел x=(x₁ , … , x_n), расстояние ρ(x,y)= (4). Справедливость всех аксиом очевидна. Это метрическое пространство обозначают через .

(П4)То же множество, что и в примерах 2 и 3, расстояние ρ₀(x,y)=. Справедливость всех аксиом очевидна. .

(П5)Множество всех непрерывных функций, оределённых на сегменте [a,b] с расстоянием ρ(x,y)= (5). Аксиомы 1 и 2 очевидны. Аксиома 3: ρ(x,z)==≤≤+= ρ(x,y)+ ρ(y,z).Метрическое пространство обозначается через C_[a,b].

(П6)Множество всех последовательностей x=(x₁ , … , x_n) действительных чисел, удовлетворяющих условию < сходится с расстоянием ρ(x,y)= (6).

Функция ρ(x,y) имеет смысл при всех x и y, удовлетворяющих условию сходится и тоже сходится. Действительно, из неравенства (x_k-y_k)²≤2(x_k+y_k)² следует, что сходится. Значит (6) имеет смысл при таких условиях. Аксиомы 1) и 2) очевидны. Аксиома 3) принимает вид:≤(7). Каждый из этих рядов сходится при любом натуральном n. Справедливо :≤. Переходя здесь к пределу при n→, получим (7). Это метрическое пространство обозначают через .

(П7) Совокупность всех непрерывных функций, определённых на [a,b] с расстоянием ρ(x,y)=. Получим метрическое пространство непрерывных функций с квадратичной метрикой. Обозначается через C_2[a,b].

(П8) Множество всех ограниченных последовательностей x=(x₁ , … , x_n) с расстоянием ρ(x,y)=.Полученное метрическое пространство обозначается через m.

(П9)Множество упорядоченных групп, состоящих из n действительных чисел x=(x₁ , … , x_n) с расстоянием ρ(x,y)=, где p≥1 – любое действительное число. Метрическое пространство обозначается через .

(П10)Множество всех последовательностей, удовлетворяющих условию <, p≥1 – действительное число. ρ(x,y)=. Обозначается через .

Пусть M=(X, ρ)- метрическое пространство, P – любое подмножество множества X. Тогда P с той же метрикой ρ(x,y) тоже является метрическим пространством, которое называется подпространством метрического пространства M.

№2) Сходимость. Непрерывные отображения метрических пространств.

Последовательность x₁ , … , x_n,… в метрическом пространстве X сходится к точке x, если любая окрестность все точки x_n, начиная с некоторой, т.е. >0 N=N() такой, что n>N будет x_n. Точка х называется пределом последовательности {x_n}.

Это можно сформулировать иначе: последовательность {x_n} сходится к x, если =0.

Итак, понятие предела последовательности в метрическом пространстве (X, ρ) свелось к понятию предела последовательности действительных чисел. Но тогда непосредственно из определения вытекает в частности, что в метрическом пространстве: 1)Последовательность {x_n} не может иметь более одного предела; 2)Если {x_n} сходится к x, то любая её подпоследовательность сходится к х.

Пусть задано отображение f метрического пространства (X, ρ) в метрическое пространство (Y, ρ₁). Отображение y=f(x) называется непрерывным в точке x₀,если x_n x_n сходится к x₀, последовательность {y_n}, где y_n=f(x_n), сходится к точке y₀=f(x₀), x₀Х, y₀Y.

Это определение эквивалентно следующему: отображение y=f(x) называется непрерывным в точке x₀X, если >0 >0 такое, что x , удовлетворяющего условиям ρ(x,x₀)<, выполняется неравенство ρ₁(f(x),f(x₀))<.

Если отображение f непрерывно во всех точках пространства Х, то говорят, что f непрерывна на X.

Если f отображает X на Y взаимно однозначно, то существует обратное отображение x=f^—1(y) пространства Y на X.

Если f взаимно однозначна и взаимно непрерывна, то оно называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом.

Метрические пространства X и Y, между которыми можно установить гомеоморфное отображение, называются гомеоморфными. Например, вся числовая прямая R и интервал () гомеоморфны. Гомеоморфизм устанавливается формулой y=arctg x.

Частный случай гомеоморфизма – изометрическое отображение метрических пространств. Взаимно однозначное отображение f метрического пространства (X, ρ) на метрическое пространство (Y, ρ₁) называется изометрическим, если ρ(x₁,x₂)= ρ₁(f(x₁),f(x₂)) x₁,x₂.

Пространства, между которыми можно установить изометрическое соответствие, называются изометричными. В дальнейшем такие пространства будем считать как тождественные.

(Т1) Отображение f метрического пространства X в метрическое пространство Y непрерывно на X т т т, когда множество f^—1(v) открыто в Х для любого открытого множества VY. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Пусть f непрерывно на Х, V – открытое множество в Y. Нужно доказать, что каждая точка множества f^—1(v) является его внутренней точкой, т.е. принадлежит ему вместе со своей окрестностью. Пусть pX, а f(p)V. Т.к. V открыто, то >0 такое, что если ρ₁(f(p),y)<, то yV. Т.к. f непрерывно в точке p, то для этого найдётся δ>0 такое, что если ρ(p,X)<δ, то ρ₁(f(p),f(x))<ε. Это означает, что если ρ(p,X)<δ, то x лежит в f^—1(v). Значит множество f^—1(v) ­­– открыто. (Обратно) Пусть f^—1(v) открыто для любого открытого множества V из Y. Зафиксируем точку p из метрического пространства X и возьмём произвольное ε>0. Множество всех точек y из Y, удовлетворяющее условию ρ₁(y,f(p))<ε, обозначим через V. Это множество открыто, так как f^—1(v) открыто. Поэтому существует δ>0 такое, что если ρ(p,x)<δ, то xf^—1(v). Но тогда f(x)V, т.е. ρ₁(f(p),f(x))<ε. Значит f непрерывна в точке p, а значит и на всём X. (ДОК)

Отображение f метрического пространства X в метрическое пространство Y называется равномерно непрерывным, если >0 δ>0 такое, что если ρ(x₁,x₂)<δ, то ρ₁(f(x₁),f(x₂))<ε. Если f равномерно непрерывно, то оно непрерывно. Обратное не верно.

№3)Связность. Плотные подмножества.

Метрическое пространство X называется несвязным, если его возможно представить в виде суммы 2-x непересекающихся непустых замкнутых множеств: X=Ф₁Ф₂. Т.к. Ф₁ и Ф₂ взаимодополнительны до Х, то каждое из них как дополнение к замкнутому множеству является открытым множеством. Так что в определении несвязности множества Ф₁ и Ф₂ можем считать открытыми. Такие множества называются открыто замкнутыми. Если при всяком представлении метрического пространства Х в виде 2-х непересекающихся замкнутых множеств по крайней мере одно из них пусто, то Х называется связным. Можно доказать, что множество МR связно т т т, когда M – одно из множеств: сегмент, интервал, полуинтервал (конечные или бесконечные). Примерами несвязных множеств могут служить сумма сегментов или интервалов без общих точек. Открытое связное множество называется областью.

(Т1)Если метрическое пространство Х связно, то непрерывное отображение f метрического пространства Х в метрическое пространство Y связно: f(X) связно.(ДОКАЗАТЕЛЬСТВО)(от противного) Допустим, что f(x) несвязно. Тогда f(X)=Ф₁ или Ф₂ , где Ф₁ и Ф₂ непустые открытые непересекающиеся множества. По (Т1) предыдущего параграфа их прообразы F₁ и F₂ – непустые открытые множества без общих точек, дающие в сумме Х. Следовательно Х несвязно. противоречие. (ДОК)

Пусть А и В - два множества в метрическом пространстве Х. Множество А называется плотным в В, если B[A]. В частности множество А называется всюду плотным, если [A]=X. Например, множество рациональных чисел всюду плотно на числовой прямой R. Множество А называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре. Если метрическое пространство Х имеет счётное, всюду плотное, множество, то оно называется сепарабельным.

Все пространства, указанные в примерах 1-7 из параграфа 1, сепарабельные: 1)В R – рациональные точки счётное всюду плотное множество; 2)3)4) – векторы с рациональными координатами; 5)В C_[a,b] – многочлены с рациональными координатами;6)В ₂ – последовательности с рациональными членами; 7)В C_2[a,b]- многочлены с рациональными коэффициентами; 8)Метрическое пространство М не сепарабельно.

№4)Плотные метрические пространства.

Последовательность {x_n} метрического пространства Х называется фундаментальной, ели она удовлетворяет условию Коши, т.е. >0 N=N() такой, что ρ(x_n,x_m)<ε, если n>N, n>M. Фундаментальная последовательность называется сходящейся в себе последовательностью. Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Действительно, пусть x_n→x. Тогда >0 найдётся номер N=N(ε) такой, что ρ(x_n,x)< , если n>N. Тогда ρ(x_n,x_m)≤ ρ(x_n,x) + ρ(x,x_m)<+=ε, если n>N,m>N. Обратное имеет место не всегда, т.е. не всякая функциональная последовательность сходится.

Если в метрическом пространстве Х любая функциональная последовательность сходится, то это пространство Х называется полным метрическим пространством. Можно доказать, что все метрические пространства из параграфа 1 являются полными, кроме пространства C_2[a,b]. Докажем полноту пространств R, Rⁿ, C_[a,b].

(П1)Путь Х=R. Для множества действительных чисел справедлив критерий Коши: если последовательность {x_n} действительных чисел удовлетворяет условию|x_n-x_m|<ε при n>N,m>m, то последовательность {x_n} сходится (имеет предел). Следовательно любая функциональная последовательность действительных чисел сходится, т.е. R – полное метрическое пространство.

(П2)Пусть Х=Rⁿ. Воспользуемся полнотой пространства R. Пусть Последовательность {x^(p)} – функциональная последовательность из Rⁿ, т.е. >0 N=N() такой, что ρ(x^(p),x^(q)) = <ε при p>N, q>N. Отсюда следует, что последовательность {} является функциональной последовательностью действительных чисел. Из предыдущего примера имеем =x_k. Обозначим точки с коэффициентами (x₁,x₂,…,x_n)=x. Тогда =xRⁿ. Таким образом Rⁿ – полное метрическое пространство.

(П3)Пусть Х=C_[a,b]. Пусть {x_n(t)} – функциональная последовательность в C_[a,b], т.е. >0 N=N() такой, что <ε, если n>N, m>N. Отсюда следует, что |x_n(t)-x_m(t)|<ε при n>N, m>N, t[a,b]. Но тогда предел x(t) является непрерывной на [a,b] функцией. Устремим m→. Получим <ε при n>N. Значит <ε при n>N. Следовательно ρ(x_n,x)→0 при n→, т.е. C_[a,b] – полное пространство.

№5)Принцип вложенных шаров.

В математическом анализе широко используется принцип сжимающихся отрезков. В метрических пространствах аналогичную роль играет принцип вложенных шаров.

(T1)Для того, чтобы метрическое пространство Х было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых →0, имело непустое пересечение.(ДОКАЗАТЕЛЬСТВО)(необходимость) Пусть Х является полным. В₁, В₂, … поcледовательность вложенным друг в друга замкнутых шаров. Шар B_n имеет центр в x_n и радиус r_n →0. Нужно доказать, что не пусто. Последовательность {x_n} фундаментальна, так как при m>n ρ(x_n,x_m)<r_n→0. Т.к. Х является полным, то =хХ. Покажем, что х. Действительно, шар B_n содержит все точки последовательности {x_n}, кроме быть может x₁,…,x_n-1. Значит х является предельной точкой для шара B_n. Т.к. B_n замкнут, то xB_n. Тогда х,т.е. не пусто. (необходимость) Пусть последовательность {x_n} является фундаментальной. Покажем, что она имеет предел хХ. В силу фундаментальности из последовательности {x_n} можно выбрать точку так, что ρ(x_n,)< n>n₁. Возьмём точку Возьмём точку за центр замкнутого шара радиуса 1, который обозначим через R₁. Затем выберем точку из {x_n} так, чтобы n₂>n₁ и ρ(x_n,) < n>n₂. Примем за центр замкнутого шара радиуса , который обозначим через R₂. И так далее. Продолжая процесс неограниченно, получим последовательность замкнутых шаров R₁,R₂,…,R_k вложенных друг в друга. Эта последовательность шаров имеет общую точку x, которая является пределом подпоследовательности {} последовательности {x_n}. Но если функциональная последовательность {x_n} содержит сходящуюся подпоследовательность {}, то она сама сходится к тому же пределу. Значит =хХ. (ДОК)

№6)Теорема Бэра.

В теории полным метрических пространств большую роль играет теорема Бэра.

(Т1)(Теорема Бэра)Полное метрическое пространство Х не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств. (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) (от противного) Допустим, что Х=, где каждое из множеств M_n нигде не плотно. Пусть S₀ – замкнутый шар радиуса 1. Т.к. М₁ нигде не плотно, то оно не плотно в S₀. Поэтому существует замкнутый шар S₁ радиуса < такой, что S₁S₀, S₁M₁=. Т.к. M₂ нигде не плотно, то M₂ не плотно в S₁. Значит в S найдётся замкнутый шар радиуса < , для которого S₂M₂= и т.д. Продолжая процесс неограниченно, получим последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров {S_n}, радиусы которых →0, причём S_nM_n= n. По принципу вложенных друг в друга замкнутых шаров не пусто, т.е. содержит некоторую точку хХ. Однако эта точка х по построению не принадлежит ни одному из множеств M_n, т.е. х. Х, что противоречит нашему предположению. (ДОК)

Если метрическое пространство Х не является полным, то его всегда можно включить некоторым способом в полное метрическое пространство.

(О1)Пусть Х – метрическое пространство. Полное метрическое X* называется пополнением метрического пространства Х, если: 1)Х является подпространством пространства Х*; 2)Х всюду плотно в Х*, т.е. [X]=Х*. Например множество всех действительных чисел является пополнением пространства рациональных чисел.

№7)Принцип сжимающих отображений.

Пусть Х – метрическое пространство.

(O1)Отображение А метрического пространства Х в себя называется сжимающим отображением, если , 0<α<1 такое, что x,yХ выполняется неравенство ρ(∆x,∆y)≤αρ(x,y) (1).

Всякое сжимающее отображение является непрерывным. Действительно, пусть x_n →x, ρ(x_n,x)→0. Из (1) видим, что ρ(Ax_n,Ax)→0.

Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если Ах=х. Иначе говоря, неподвижная точка – решение уравнения Ах=х.

(Т1) (Теорема Банаха) (Принцип сжимающих отображений) Всякое сжимающее отображение, определённое в полном метрическом пространстве Х, имеет одну и только одну неподвижную точку.(Т.е. уравнение f(x)=x имеет единственное решение) (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) Пусть х₀ произвольная точка метрического пространства Х, f(x₀)=x₁, f(x₁)=f(f(x₀))=f²(x₀)=x₂, f(x₂)=f(f(f(x₀)))=f³(x₀) и так далее. Получим последовательность x₀,x₁,…,x_n,… , где x_n=fⁿ(x₀). Покажем, что эта последовательность фундаментальна. Для определённости положим, что m>n. ρ(x_n,x_m)=ρ(fⁿ(x₀),f^m(x₀))≤αⁿρ(x₀,f^m-n(x₀))=αⁿρ(x₀,x_m-n)≤ αⁿ(ρ(x₀,x₁)+ ρ(x₁,x_m-n))≤ αⁿ(ρ(x₀,x₁)+ ρ(x₁,x₂)+ ρ(x₂,x_m-n)) ≤ αⁿ(ρ(x₀,x₁)+ ρ(x₁,x₂)+ ρ(x₂,x₃)+ ρ(x₃,x_m-n))≤ αⁿ(ρ(x₀,x₁)+ ρ(x₁,x₂)+ ρ(x₂,x₃)+ …+ ρ(x_m-n-1,x_m-n))= αⁿ(ρ(x₀,x₁)+ ρ(f(x₀),f(x₁))+ ρ(f²(x₀),f²(x₁))+…+ ρ(f^m-n-1(x₀),f^m-n-1(x₁)))≤ αⁿ(ρ(x₀,x₁)+ αρ(x₀,x₁)+ α²ρ(x₀,x₁)+…+α^m-n-1ρ(x_m-n-1,x_m-n))=αⁿρ(x₀,x₁)(1+α+α²+…+α^m-n-1)≤ αⁿρ(x₀,x₁)(1+α+α²+…+α^m-n-1+…)= αⁿρ(x₀,x₁) . Т.к. 0<α<1, то αⁿ→0 при n→. Значит при достаточно большом n полученное выражение как годно мало, т.е. последовательность {x_n} фундаментальна. Т.к. метрическое пространство Х является полным, то последовательность {x_n} сходится в Х, т.е. =хХ. Т.к. отображение f непрерывно, то f(x)=f()===х. Т.о. неподвижная точка существует. Осталось доказать её единственность. Допустим, что f(x)=x и f(y)=y. Тогда ρ(f(x),f(y))≤αρ(x,y), т.е. ρ(x,y)≤α(x,y), ρ(x,y)(1-α)≤0. Т.к. 0<α<1, то ρ(x,y)≤0 => ρ(x,y)=0. (ДОК)

Принцип сжимающих отображений исключительно широко применяется в доказательствах существования и единственности, решений уравнений различных типов. Кроме того, он даёт метод приближённого нахождения этих решений – метод последовательных приближений или метод итераций. Рассмотрим некоторые примеры.

I Алгебраические уравнения.

Пусть f(x) – функция, определенная на сегменте [a,b] и удовлетворяющая условию Липшица lf(x₁)-f(x₂)l≤K*lx₁-x₂l с постоянной K<1 и отображающая [a,b] в себя. Тогда f – сжимающее отображение. По теореме 1 последовательность x₀, f(x₀), f(f(x₀)), …, сходится к единственному корню уравнения f(x)=x. В частности условие сжимаемости будет выполняться, если f(x) на [a,b] имеет производную f’(x), причём lf(x)l≤K<1.

Пусть нужно решить уравнение F(x)=0, x [a,b]. Пусть F(a)<0, F(b)>0. Пусть 0<K₁≤F’(x)≤K₂. Введём функцию f(x)=x-λF(x) и будем решать уравнение f(x)=x, которое равносильно уравнению f(x)=0 при λ0.f’(x)=1-λF(x), отсюда 1-λK₂≤f’(x)≤1-λK₁. Отсюда подбираем число λ так, чтобы можно было использовать метод последовательных приближений.

II Решение линейных систем.

Рассмотрим отображение A n-мерного пространства в себя, задаваемая системой линейных уравнений y_i=(i=) y₁=(y₁₁,y₁₂,…,y_1n)

Если А – сжимающее отображение, то можно применить метод последовательных приближений (итерации) к уравнению Ax=x. При каких условиях отображение А будет сжимающим? Ответ на этот вопрос зависит от метрики в пространстве. Рассмотрим 3 варианта.

1). ρ(x,y)=. ρ(y₁,y₂)= ≤ ≤ ≤ ≤ = . Отображение будет сжимающим, если ≤α<1 (2). Т.о. нужно взять суммы модулей всех коэффициентов, в каждой троке которых наибольшая из этих сумм должна быть < 1 (критерий по строкам) .