Архив2 / курсач docx20 / kursach_mekhanika

Задание 1

Постоянный вращающий момент М_в = , приложенный к ступенчатому блоку 2 силой тяжести поднимает груз 1 силой тяжести и приводит в движение ступенчатый каток 3 силой тяжести посредством невесомых нерастяжимых нитей. Радиусы блока 2 и катка 3 соответственно равны . Радиусы инерции блока 2 и катка 3 относительно осей О и O₁ соответственно равныСкольжение катка 3 по наклонной плоскости и нитей о блок 2 отсутствует. Участок нити КС параллелен плоскости, наклоненной к горизонту под углом ОС. При расчетах принять g = 10 м/с², α = 30°. Определить ускорение груза 1, используя теорему об изменении кинетической энергии.

Рис.1

Решение. Применим теорему об изменении кинетической энер­гии системы:

где Т₀ и Т — кинетическая энергия системы в начальном и конеч­ном положениях; — сумма работ внешних сил, приложенных к системе; — сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то = 0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3:

Покажем на рис.2 приложенные силы и направление перемещения каждого из элементов:

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

где — масса груза 1

Кинетическая энергия блока 2, вращающегося вокруг неподвижной оси О,

где — момент инерции блока 2 относительно оси О:

— угловая скорость блока 2:

Скорость точки А блока 2 равна скорости груза 1, тогда

Подставляя (8)—(10) в формулу (7), получим

Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение,

где — момент инерции блока 3 относительно оси О₁:

— скорость центра тяжести O₁ блока 3.

Cкорость точки К блока 2 равна скорости точки С блока 3:

Так как каток катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей катка находится в точке P. Поэтому

откуда после подстановки выражения (15) получаем

— угловая скорость блока 3

подставим в это выражение значение (16)

Подставляя (13), (14), (16), (17) в формулу (12), получаем

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (6), (11), (18):

Подставляя сюда заданные значения, получаем

или

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе.

Работа силы тяжести P₁

где перемещение груза 1.

Работа вращающего момента M_B

где угол поворота блока 2

Работа силы тяжести P₃

где перемещение блока 3.

Перемещения относятся между собой также, как скорости, потому

Тогда

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычис­ляемых по формулам (20)—(22):

Подставляя заданные значения, получаем

или

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определя­емые по формулам (19) и (23):

откуда

Задание 2

Решить задание 1 с помощью принципа Даламбера.

Рис.3

Решение. «Разделим» систему на три составляющие (рис.3) и обозначим приложенные силы, после чего для каждой из составляющих (груза 1, блоков 2 и 3) составим уравнение

где натяжение нити между блоком 2 и грузом 1;

натяжение нити между блоком 2 и блоком 3;

момент инерции блока 2 относительно оси О;

силы инерции, приложенные к грузу 1 и блоку 3 соответственно.

Так как преобразуем систему (24) к следующему виду:

После чего, подставив значения в уравнение (2) данной системы, выразим значение скорости груза 1. Для этого найдем значения неизвестных сил.

Груз 1. подставим сюда выражение (5), тогда

Блок 2. угловое ускорение блока 2, так как ускорение груза 1 равно ускорению точки А блока 2 (рис.2), ; момент инерции блока 2 относительно оси О: Тогда

Блок 3., где ускорение блока 3. Так как (рис.2), то

Тогда, подставив (28) и (14)

где ускорение блока 3, — момент инерции блока 3 относительно оси О₁: . Подставим эти выражения и (28), тогда

Подставим в систему (24) значения выражений (25) – (27), (29) – (30)

Подставим уравнения (1) и (3) в уравнение (2) этой системы

Выразим отсюда

Подставим в это выражение числовые значения, и найдем скорость груза 1

или

Задание 3

Решить задание 1 с помощью уравнения Лагранжа 2-ого рода.

Решение. Воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода. Приняв за обобщенную координату системы, имеющей одну степень свободы, перемещение груза 1 – , имеем:

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3:

Покажем на рис.4 приложенные силы и направление перемещения каждого из элементов:

Рис.4

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

где — масса груза 1

Кинетическая энергия блока 2, вращающегося вокруг неподвижной оси О,

где — момент инерции блока 2 относительно оси О:

— угловая скорость блока 2:

Скорость точки А блока 2 равна скорости груза 1, тогда

Подставляя (38)—(40) в формулу (7), получим

Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение,

где — момент инерции блока 3 относительно оси О₁:

— скорость центра тяжести O₁ блока 3.

Cкорость точки К блока 2 равна скорости точки С блока 3:

Так как каток катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей катка находится в точке P. Поэтому

откуда после подстановки выражения (45) получаем

— угловая скорость блока 3

подставим в это выражение значение (46)

Подставляя (43), (44), (46), (47) в формулу (42), получаем

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (33) с учетом (36), (41), (48):

или, так как

Найдем обобщенную силу Сообщим перемещению приращение и составим сумму элементар­ных работ задаваемых сил на этом возможном перемещении. В эту сумму войдет работа вращающего момента М_В и работа сил тяжести, которая отрицательна.

Тогда

Обобщенная сила

Найдем значения членов левой части уравнения (32):

Уравнение (32) примет вид

Тогда

Подставляя в эту формулы заданные числовые значения всех величин, находим:

или

Задание 4

Определить частоту и период малых свободных колебаний меха­нической системы с одной степенью свободы, пренебрегая силами сопротивления и массами нитей.

Найти уравнение движения груза 1, приняв за начало отсчета положение покоя груза 1 (при статической деформации пру­жин). Найти также амплитуду колебаний груза 1.

В задании приняты следующие обозначения: 1 — груз массой т₁, 2 — блок массой т₂ и радиусом r₂ (сплошной однородный диск); 4 — сплошной однород­ный диск массой т₄ и радиусом r₄; 6 —тонкий однородный стержень массой т₆ и длиной l; 7 —стержень, масса которого не учитывается; с —коэффициент жест­кости пружины; у₀ — начальное отклонение груза 1 по вертикали от положения покоя, соответствующего статической деформации пру­жины; — проекция начальной скорости груза 1 на вертикаль­ную ось (рис.5).

Дано: /с= 0,005 м/с. (рис.5)

Рис.5

Решение. Воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода для консервативной системы. Приняв за обобщенную координату вертикальное отклонение y груза 1 от положения покоя, соответствующего статической деформации пружины, имеем

где Т — кинетическая энергия системы; П — потенциальная энергия системы.

Кинетическую энергию Т вычислим с точностью до величин вто­рого порядка малости относительно обобщенной скорости у, а потен­циальную энергию П — с точностью до величии второго порядка малости относительно обобщенной координаты у.

Найдем кинетическою энергию системы, равную сумме кинети­ческих энергий тел 1,2, 4, и 6:

выразив линейные и угловые скорости, которыми определяется кинетическая энергия тел этой системы, через обобщенную скорость .

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно со скоростью

Кинетическая энергия блока 2 (сплошного однородного диска):

Кинетическая энергия тонкого однородного стержня 6:

Кинетическая энергия сплошного однородного диска 4

Таким образом, кинетическую энергию рассматриваемой механи­ческой системы получим, подставив в формулу (7) значения выражений (51)-(54)

Найдем потенциальную энергию системы

Работа сил тяжести при перемещении груза 1 из координаты в нулевое положение

где – вертикальное перемещение центра тяжести колеса 4

Потенциальная энергия деформированной пружины при указанном перемещении системы

– перемещение точки D

Найдем полную потенциальную энергию системы, подставив в формулу (56) значения выражений (57)-(60)

В состоянии покоя, y=0

следовательно, потенциальная энергия рассматриваемой механическо й системы

Найдем значения членов уравнение (49):

Подставив эти данные в уравнение (49), получим

Обозначив через коэффициент при , имеем

Циклическая частота свободных колебаний

Период свободных колебаний

Интегрируя уравнение (61), получим уравнение движения груза 1

Для определения постоянных найдем уравнение скорости груза

и воспользуемся начальными условиями задачи

Подставляем значения постоянных в уравнение

Уравнение можно получить в другом виде, если перейти к другим постоянным интегрирования a и β, приняв

Тогда ,

где

Окончательно,

19