6.3. Законы распределения случайных величин

Для оценки распределения измеряемых величин используются теоретические законы распределения. Каждое практическое распределение соответствует тому или иному теоретическому закону, что определяется с помощью критериев согласия. Если критерий согласия показывает резкое отличие практического распределения от предполагаемого теоретического закона, то причину этому нужно искать в разладке технологического процесса.

В машиностроении применяют следующие законы: нормальный (закон Гаусса), закон равной вероятности, закон треугольника (Симпсона), закон эксцентриситета и др.

6.3.1. Закон нормального распределения (закон Гаусса)

Данному закону подчиняются многие непрерывные случайные величины, в частности характеризующие параметры качества изделий (размеры детали в партии, погрешности измерения, высота шероховатости и др.).

При устойчивой работе настроенного станка и отсутствии доминирующих факторов размеры партии обработанных деталей подчиняются нормальному закону. Уравнение закона нормального распределения:

В интегральной форме закон может быть записан следующим образом:

Кривая распределения симметрична относительно центра группирования (рис. 6).

Рисунок 6

Величина поля рассеяния составляет ω = ±3S

Среднее арифметическое оказывает влияние на положение кривой распределения при разных значениях, не изменяя ее формы и(рис. 7):

Рисунок 7

Среднеквадратичное отклонение при разных значениях изменяет форму кривой, не меняя ее положения (рис. 8).

Рисунок 8

Пользуясь кривой нормального распределения можно определить вероятное количество годных деталей при обработке партии заготовок. Предположим, что допуск Tзадан между размерамиХ₁иХ₂(рис. 9).

Рисунок 9

Тогда вероятное количество годных деталей будет определяться отношением суммы площадей F₁+ F₂ко всей площади под кривой распределения. ПлощадиF₁иF₂равны

Данные интегралы приводятся к нормированному виду функции Лапласа Ф(z), которое определяется через отношениеz=x/s; откудаx=zs,d =sdz. Тогда

Значения функции Ф(z) определяется по таблицам или кривым.

Вероятная доля (%) деталей, вышедших за пределы допуска определяется:

Для практических целей используется величина поля рассеяния = 6S. При этом доля случайных величин, выходящих за пределы поля рассеяния составляет 0,27 %.

Среднее квадратичное Sпринимается за меру точности, где допуск равенT= 6S. Нормальное распределение позволяет объективно оценивать точность обработки. Закон нормального распределения является справедливым для оценки точности по 8–10 квалитетам и грубее.

6.3.2. Закон равной вероятности

Если на получаемый размер оказывает влияние систематически изменяющаяся погрешность (например, размерный износ резца), то распределение действительных размеров в партии деталей подчиняется закону равной вероятности. Так, например, при установившемся размерном износе режущего инструмента уменьшение его размеров во времени происходит по прямолинейному закону, что вызывает при обработке наружных поверхностей увеличение их размеров, а при обработке отверстий – уменьшение размеров, что определяет распределение полученных размеров так же по прямолинейному закону. Распределение размеров в данном случае будет происходить по прямой и изображается в виде прямоугольника в заданном интервале размеров от aдоbс одинаковой плотностью вероятности (рис. 10).

Рисунок 10

Величина поля рассеяния принимается равной ω = 2S.

Данному закону подчиняются распределение размеров по 5-6 квалитетам и выше, при настройке станков по методу пробных ходов. Из-за сложности получения высокой точности в узких границах допуска вероятность получения среднего, наибольшего и наименьшего размеров становится одинаковой.