Угловая скорость. Угловое ускорение

При вращательном движении твердого тела его точки, находящиеся на разных расстояниях r от оси вращения, за равные промежутки времени проходят разные пути; следовательно, они имеют разные скорости и ускорения. Пусть радиус окружности, описываемой некоторой точкой, равен r, а ее линейное перемещение — ds. Тогда угловое перемещение dj (угол поворота радиуса-вектора):

Кинематическими характеристиками вращательного движения так же являются угловая скорость w и угловое ускорение ε.

Если за промежуток времени Dt тело поворачивается на угол jD, то быстрота его вращения характеризуется угловой скоростью

Угловая скорость равна первой производной от угла поворота радиуса-вектора по времени.

Направление вектора w вдоль оси вращения, можно определить, пользуясь правилом правого винта: если направление вращения винта совпадает с вращением тела, то конец винта укажет направление вектора w.

Если w=const, то вращательное движение называют равномерным.

Время одного полного поворота тела вокруг оси вращения называют периодом обращения Т, а величину n, обратную периоду - частотой:

Связь между линейными и угловыми характеристиками движущейся точки

За один период угол поворота радиуса-вектора точки равен 2p рад, поэтому 2p =wТ, или

Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением.

Угловое ускорение равно первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота радиуса-вектора по времени.

Единица углового ускорения —радиан на секунду в квадрате (рад/с²).

Формулы поступательного и вращательного движения

Равномерное движение

1. Поступательное:

2. Вращательное:

Равнопеременное движение

1. Поступательное:

2. Вращательное:

Лекция №2 динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Динамика – раздел механики, который рассматривает законы движения тел и те причины, которые его вызывают или изменяют.

В основе так называемой классической или ньютоновской механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 году.

Законы Ньютона возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их подтверждается согласием с опытом тех следствий, которые из них вытекают.

Первый закон Ньютона (закон инерции)

Существуют такие системы отсчета где, всякое тело сохраняет состояние относительного покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние воздействия не изменят этого состояния.

При отсутствии внешних воздействий тело, находившееся в движении, продолжает равномерно двигаться по прямой без изменения скорости.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инерцией.

Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называют инерциальными.

Например:

• Гелиоцентрическая система отсчета, в которой за начало координат принимают Солнце, а оси проводят в направлении звезд, которые считаются неподвижными.

• Система, которая движется относительно выбранной инерциальной системы равномерно и прямолинейно-поступательно.

Если система отсчета движется по отношению к инерциальной системе с ускорением, то она относится к неинерциальным системам отсчета.

В неинерциальных системах отсчёта первый закон Ньютона не выполняется.

Масса тела. Центр масс

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называют инертностью.

Физическая величина, являющаяся мерой инертности тела при поступательном движении, называется массой.

В классической механике масса тела считается постоянной и равной массе покоя:

т = т₀

Масса тела равна сумме масс всех частиц (или материальных точек), из которых оно состоит.

Сила

Векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел, называется силой.

Это воздействие проявляется в изменении скорости движущегося тела или изменении формы и размеров тела.

Сила, как и любая векторная величина, считается заданной, если известны её числовое значение, направление и точка приложения.

Центром масс системы материальных точек называют точку, координаты которой определяются следующими соотношениями:

где n — число материальных точек; m_i — масса i-й материальной точки системы; х_i,y_i,z_i — координаты i-й материальной точки.

Второй закон Ньютона

Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом) в инерциальной системе отсчета, пропорционально действующей на точку силе, обратно пропорционально массе материальной точки и по направлению совпадает с силой:

Если на материальную точку (тело) одновременно действует несколько сил, то каждая из этих сил действует независимо от других сил и сообщает точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона.

Ускорение центра масс системы определяется результирующей силой:

где т — суммарная масса всех точек системы.

Импульсом тела называют векторную величину, равную произведению массы тела на скорость его движения.

Запишем первый закон Ньютона используя импульс

Единица силы в СИ — ньютон (Н).

1 Н — сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы.

Так как и . Представив ускорение как первую производную от скорости по времени имеем:

С учетом , окончательно второй закон Ньютона запишем в виде:

Третий закон Ньютона

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти тела

сила F₁ — это сила, с которой второе тело действует на первое, и приложена она к первому телу, F₂ — сила, с которой первое тело действует на второе, и приложена она ко второму телу, поэтому эти силы не уравновешивают друг друга.

Закон сохранения импульса

Силы взаимодействия между частицами (частями) некоторой рассматриваемой системы тел называют внутренними.

Силы, действующие на тела данной системы со стороны тел, не включенных в эту систему, называют внешними.

Если система состоит из n материальных точек, то

где — импульс всей системы.

Перепишем это равенство в виде

В замкнутой системе внешние силы отсутствуют, т.е.

следовательно, или

Это равенство выражает закон сохранения импульса: вектор полного импульса замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

В неинерциальных системах отсчета закон сохранения импульса не выполняется, так как силы инерции являются внешними некомпенсированными силами по отношению к неинерциальной системе. Однако второй закон Ньютона остается справедливым в данной системе, если в сумму внешних сил включить и силы инерции:

где F — сумма внешних сил, F_ин — сила инерции.

Силы в механике

Силы тяготения (гравитационные силы) — это силы притяжения, которые подчиняются закону всемирного тяготения.

Сила тяжести — сила, с которой тело притягивается Землей.

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают в данном месте земного шара с одинаковым ускорением g=9,8 м/с², называемым ускорением свободного падения.

Тогда на основании второго закона Ньютона можно утверждать, что это ускорение вызывается силой тяжести:

Вес — сила, с которой тело, притягиваясь к Земле, действует на опору или натягивает нить подвеса.

Сила тяжести равна весу только в том случае, когда ускорение тела вместе с опорой (подвесом) относительно Земли равно нулю, т. е. когда тело относительно Земли неподвижно или движется с постоянной скоростью. В противном случае

где а — ускорение тела с опорой относительно Земли.

При свободном падении тела вес этого тела равен нулю, т.е. оно находится в состоянии невесомости.

Силы упругости возникают в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией.

Упругая (квазиупругая) сила пропорциональна смещению частицы из положения равновесия и направлена к положению равновесия:

где r — радиус-вектор, характеризующий смещение частицы из положения равновесия, k — коэффициент упругости.

Сила трения скольжения возникает при скольжении данного тела по поверхности другого:

где k — коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей; N — сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.

Сила трения направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению данного тела относительно другого.

Лекция 3.

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Момент силы. Момент инерции

Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси 00'. Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы (рис. 3).

Рисунок 3. Твердое тело, вращающееся под действием силы F

Произведение силы на плечо определяет модуль момента силы относительно точки О: M=Fp=Fr sin (rF).

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

M=[rF].

Направление М можно найти с помощью правила правого винта

Мерой инертности при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси:

Моментом инерции тела относительно оси вращения называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Если тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами dm, то момент инерции равен:

где r — расстояние от оси вращения до элемента массой dm.

Если тело однородно и его плотность r=m/V, то момент инерции тела

Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и величины md²:

J=J₀+md²

где m — масса тела, d— расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Основной закон динамики

Рассмотрим материальную точку А массой т, движущуюся по окружности радиусом r.

Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Эта сила вызывает тангенциальное ускорение F=a_τ m.

Если . Умножим обе части на r.

Тогда М=εJ или ε=M/J – основное уравнение динамики вращательного движение м.т..

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

Для твердого тела:

или

ε=M/J

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

где Jω — момент импульса (или момент количества движения), МΔτ — импульс момента сил (или импульс вращающего момента).

Эти величины векторные и совпадают по направлению с векторами ω и М.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Разобьем тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной cкоростью V_i=ωr_i, тогда кинетическая энергия точки

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела относительно данной неподвижной оси вращения:

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

Работа внешних сил при вращении твердого тела

При вращении твердого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

Учитывая, что Jε=M, ωdt=dφ, имеем dA=Mdφ. Окончательно работа выражется через уравнение:

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси.

Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов импульсов отдельных его частиц:

Момент импульса — это вектор, совпадающий по направлению с вектором угловой скорости. Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т. е. М=0, то dL=0 и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени:

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы остается неизменной

Закон сохранения момента импульса связан с однородностью и изотропностью пространства.

Под однородностью пространства понимают равноправность всех точек пространства.

Под изотропностью пространства понимают равноправность всех направлений в пространстве.