3. Контрольная работа № 1

3.1. Содержание контрольной работы Задачи к 1.1 - к 1.10

Для десяти заданных расчетных схем (рис. 0-9, номер рисунка соответ­ствует номеру варианта) построить эпюры внутренних силовых факторов. Для пространственных рам эпюры поперечных сил Q_x , Q_y можно не стро­ить.

При построении эпюр принять: т= qа² , P= qa.

Данные для решения задачи взять из табл. 1.

Таблица 1

№ стро­ки	Коэф­фици­ент к	Внешние моменты				Внешние силы			Интенсивность равно­мерно-распределенной нагрузки
		M1	M2	M3	P1		P2	P3	q1	q2	q3
0	0,5	m	2т	-т	2Р		Р	-3Р	-q	2q	3q
1	2	-2т	т	т	Р		-2Р	Р	2q	-q	3q
2	1	m	3т	2т	2Р		Р	-3Р	q	2q	-q
3	0,5	m	2т	-2m	-3Р		Р	2Р	2q	-q	3q
4	1,5	2т	3m	m	Р		2Р	-2Р	2q	2q	-q
5	0,5	т	-т	2т	2Р		-3Р	Р	-q	3q	q
6	1,5	m	2т	-3m	3P		2Р	Р	q	2q	2q
7	2	2т	-m	3m	2Р		Р	-2Р	2q	-q	q
8	2	-2т	2т	т	Р		Р	3Р	q	3q	2q
9	1,5	т	-2т	2т	2Р		-2Р	Р	3q	q	-2q

Примечание: Если значение нагрузки указано со знаком «минус», то её направление на расчетной схеме следует изменить на противоположное, после этого нагрузка считается положительной.

Рис. 0

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

3.2. Методические указания к построению эпюр внутренних силовых фак­торов

Нагрузки приложенные к телу деформируют его, т.е. меняют его раз­меры и (или) форму. Под действием этих нагрузок внутри тела возникают внутренние силы противодействия деформации, стремящиеся сохранить размеры и форму тела. Величина этих сил и определяет прочность тела.

Внутренние силовые факторы это проекции главного вектора и глав­ного момента внутренних сил на оси естественной системы координат. Есте­ственной называется система координат естественным образом связанная с поперечным сечением бруса. Начало этой системы координат расположено в центре тяжести сечения, ось z направлена перпендикулярно сечению по оси бруса, оси х и у расположены в плоскости сечения и направлены по главным центральным осям инерции сечения (для симметричных сечений по осям симметрии).

Эпюры – это графическое изображение законов изменения внутренних силовых факторов по длине бруса.

Построение эпюр внутренних силовых факторов является первым эта­пом любого расчета на прочность и жесткость. Поэтому освоение алгоритма и приобретение устойчивых навыков построения эпюр являет­ся залогом ус­пешного изучения всего курса "Сопротивление материа­лов".

Алгоритм построения эпюр включает в себя следующие шаги:

1. Изображение расчетной схемы в соответствии с индивидуальным за­данием.

2. Определение опорных реакций.

3. Деление расчетной схемы на силовые участки.

4. Составление аналитических выражений для определения внут­ренних силовых факторов в произвольных сечениях участков. Вычисле­ние значений внутренних силовых факторов на границах участков и в экстремальных точ­ках.

5. Построение эпюр.

6. Проверка правильности построенных эпюр.

Рассмотрим содержание этих шагов более подробно.^*)

^*) Примеры практического использования алгоритма даны в разделе 3.3.

Изображение расчетной схемы

Расчетной схемой называется формализованное изображение расчитываемого объекта, освобожденного от несущественных для данного расчета особенностей. Элементами расчетных схем являются стержни и их размеры, нагрузки и их значения, опоры.

Различают линейные, плоские и пространственные расчетные схемы.

Линейная – расчетная схема, у которой все стержни и все нагрузки расположены на одной линии.

Плоская – расчетная схема, у которой все стержни и все нагрузки расположены в одной плоскости.

Пространственная – расчетная схема, у которой стержни и нагрузки произвольным образом направлены в пространстве.

Расчетная схема изображается в произвольном масштабе с соблю­де­нием соотношений между длинами участков. На расчетной схеме вмес­то ко­эффициента k , внешних нагрузок М₁ , М₂ , М₃ , Р₁ , Р₂ , Р₃ , q₁ , q₂ , q₃ указы­вается их значение, взятое из таблицы в соответствии с индивидуальным за­данием.

Все нагрузки на расчетной схеме должны иметь истинное направление. Указание значений нагрузок со знаком «минус» не допускается.

Определение опорных реакций

Опоры расчетной схемы обозначают буквами А, В, С и т.д. В опорах указывают реакции (силы или моменты), направление и вид которых должны соответствовать направлению и виду связей, наложен­ных на расчетную схему в этих опорах. Реакции обозначают: силы направленные вдоль оси бруса бу­квой Z , перпендикулярно оси бруса буквой Y , моменты буквой M с индек­сами, соответствующими обозна­чению опоры, в которой возникают эти реак­ции. Например:

Y_A , Z_A , M_A и т.д.

Для определения реакций составляют уравнения равновесия, кото­рые для плоской системы имеют вид:

; ;.

С целью снижения вероятности появления ошибок рекомендуется ис­пользовать для определения реакций независимые уравнения равнове­сия, т.е. такие уравнения, в которые входит только одна определяемая реакция. На­пример, в двухопорных балках для определе­ния реакции, направленной вдоль оси балки, необходимо использовать уравнение , для определе­ния реакций перпендикуляр­ных оси балки уравненияотносительно опорных точек. В плоских рамах кроме этих уравнений могут быть исполь­зованы урав­ненияотносительно точек, лежащих на пересечении ли­ний действия двух реакций.

В расчетных схемах имеющих внутренние шарниры можно использовать уравнения относительно шарнира всех нагрузок, расположенных по одну сторону от него.

Значение определенных реакций указывается на расчетной схеме. Если значение реакции при её определений получено со знаком минус, то это оз­начает что в действительности эта реакция имеет направле­ние, противопо­ложное указанному на расчетной схеме. Направление этой реакции на рас­четной схеме изменяют на противоположное и указывают её значение без знака минус.

После определения всех реакций в обязательном порядке произво­дится проверка правильности их определения. Для этого составляют такое уравнение равновесия, в которое входили бы все (или все нену­левые) найденные реакции. Для двухопорных балок это, как правило, , а для плоских рам –относительно произ­вольной точки, не лежащей на линиях действия найденных реакций.

Примечание. В расчетных схемах, имеющих только одну опору (жесткую заделку) реакции в ней можно не определять. При записи аналитических выражений для определения внутренних силовых факторов, в этом случае, учитывают все нагрузки расположенные на расчетной схеме с одной стороны от сечения противоположной опоре.

Деление расчетной схемы на силовые участки

Силовым участком называется часть расчетной схемы, на которой за­кон изменения внутренних силовых факторов остается неизменным. Грани­цами силовых участков являются сечения, где приложены сосредо­точенные силы или моменты, начинается или кончается распределенная нагрузка, а также узлы рам. По этим признакам делят расчетную схему на силовые уча­стки (в дальнейшем участки). Участки нумеруют.

Составление аналитических выражений

Эпюры - это графическое изображение законов изменения внутрен­них силовых факторов на силовых участках. Сначала составляются ана­литиче­ские выражения этих законов. Для этого используется метод се­чений. Суть его в следующем:

- на силовом участке проводится произвольное сечение, условно рассе­кающее расчетную схему на две части;

- одна часть условно отбрасывается;

- действие на оставленную часть отброшенной заменяется искомыми внутренними силовыми факторами, приложенными в сечении;

- для оставленной части составляются уравнения равновесия, в которые входят нагрузки, действующие на эту часть и внутренние си­ловые факторы, приложенные в сечении. Это и будут аналитические выражения законов из­менения внутренних силовых факторов на участке. По этим выражениям строят эпюры (графики изменения внутренних сило­вых факторов).

Однако использование метода сечений в такой постановке являет­ся не­оправданно громоздким и трудоёмким. Более целесообразно поступить следующим образом. На силовом участке проводят произвольное сечение, расстояние от него до одной из границ участка обозначают буквой z с индексом равным номеру участка. Для записи аналитических выражений используют следующие правила, вытекающие из метода сечений.

Н о р м а л ь н а я с и л а в сечении равна алгебраической сумме проек­ций на ось z (ось бруса) всех нагрузок, расположенных на расчетной схеме по одну сторону от сечения.

Правило знаков: нагрузка, дающая проекцию, направленную от се­чения (рас­тягивающею рассматриваемый участок), вводится в выражение со знаком плюс, направленную к сечению (сжимающую) - со знаком минус.

Распределенная нагрузка здесь и далее входит в аналитические выражения через свою равнодействующую.

Для удобства определения знака слагаемых при записи аналити­че­ских выражений для нормальных сил, а в дальнейшем и для попереч­ных сил, допускается все нагрузки, расположенные по одну сторону от сечения, условно переносить в начало рассматриваемого участка.

К р у т я щ и й м о м е н т в сечении равен алгебраической сумме момен­тов относительно оси бруса (оси z) всех нагрузок, рас­положенных на расчетной схеме по одну сторону от сечения.

Правило знаков. Момент, направленный против хода часовой стрел­ки, при наблюдении с вершины оси z (в направлении с границы участ­ка на сечение) записывается со знаком плюс, направленный по часовой стрелке – со знаком минус.

П о п е р е ч н а я с и л а в сечении равна алгебраической сумме проек­ций на ось, перпендикулярную оси бруса (для плоских рас­четных схем на ось у, для пространственных на оси х и у) всех нагру­зок, расположенных на расчетной схеме по одну сторону от сече­ния.

Правило знаков. Нагрузка, дающая проекцию, которая стремится повернуть отсеченную часть бруса относительно сечения по часовой стрелке записывается со знаком плюс, против часовой стрелки – со знаком минус. Наблюдение ведут в направлении перпендикулярном плос­кости, в которой действует искомая поперечная сила, для Q_y с вершины оси x, для Q_x с вершины оси y.

И з г и б а ю щ и й м о м е н т в сечении равен алгебраи­ческой сумме мо­ментов относительно оси х (для М_х) или оси y, (для М_y ), помещенных в сечении, всех нагрузок, расположенных на расчетной схеме по одну сто­рону от сечения.

Для плоских расчетных схем определяется только М_х , а ось х все­гда перпендикулярна плоскости, в которой расположена расчетная схема и направлена на наблюдателя. На чертеже она превращается в точку на оси бруса, через которую проведено сечение.

Правило знаков

Изгибающий момент вызывает в поперечном сечении бруса по разные стороны от оси, относительно которой он дейст­вует, напряжения и деформации противоположных знаков. С выпуклой сто­роны бруса напряжения и деформации растягивающие, с вогнутой – сжимающие. В подавляющем большинстве отраслей машиностроения принято изображать эпюры изгибаю­щих мо­ментов с сжатой стороны бруса (со стороны "сжатого волокна"). Таким образом, по виду эпюры автоматически определяется характер деформа­ции бруса. В различных учебниках это достигается разными приёмами.

Обобщая эти приемы, предлагаем следующее универсальное правило. При записи аналитичес­ких выражений для М_х моменты нагрузок, изгибающие отсечённую часть участка в сторону положительного направления оси у, считаются положительными, в противоположную сторону – отрицательными. Для балок направление оси у можно указывать только один раз. Для плоских рам направление оси у указывается для каждого участка. Для М_y моменты нагрузок, изгибающие отсечённую часть участка в сторону положительного направления оси х, считаются положительными, в противоположную сторону – отрицательными. В дальнейшем, при построении эпюр положительные ординаты откладываются в сторону положительного направления указанных осей, отрицательные в противоположную сторону (см. примеры построения эпюр). Этим достигается автоматическое построе­ние эпюр изгибающих моментов со стороны "сжа­того волокна".

Примечание. Если в расчетной схеме есть опора, реакции в которой не определялись, то при составлении аналитических выражений учитываются нагрузки, расположенные на расчетной схеме с одной стороны от сечения противоположной этой опоре.

Вычисление значений внутренних силовых факторов

Параллельно с записью аналитических выражений вычисляют значе­ние внутренних силовых факторов на границах участков и, если необ­ходимо, в экстремальных точках. Если в аналитическое выражение не входит z - рас­стояние от границы участка до сечения, то это озна­чает, что во всех сечениях участка, в том числе и на границах, внутренний силовой фактор имеет посто­янное значение. Если в анали­тическое выражение входит z в первой степени, то это означает, что внутренний силовой фактор на участке изменяется по линейному зако­ну, и его эпюра изображается прямой наклонной линией. Для её пост­роения вычисляют значения внутреннего силового фактора на грани­цах участка при z = 0 и z = длине участка. Если в аналитическое выражение входит z во второй степени, то это означает, что эпюра будет изображаться квадратичной параболой. Такие аналитические вы­ражения получаются для изгибающих моментов на участках, где есть равномерно распределенная на­грузка, перпендикулярная оси бруса. Для построения параболы в большин­стве случаев достаточно значений момента на границах участка, т.к. из­вестно, что выпуклость параболы направлена навстречу распределен­ной нагрузке. В тех случаях, когда внутри участка есть экстремальное значе­ние момента, вычисляют это значение. Признаком наличия экстремума мо­мента на участке явля­ется то, что поперечная сила на границах участка имеет разные зна­ки. Известно, что поперечная сила есть первая производная от изгибающего момента, т.е. ;, поэтому экстремум на эпюре момента будет в том сечении, где поперечная сила равна нулю. Для нахож­дения экстремума ранее записанное выражение для поперечной си­лы при­равнивают нулю. Из этого условия определяютz , при котором поперечная сила равна нулю, а момент имеет экстремум. Подставляя найденное значение z в аналитическое выражение для момента, нахо­дят его экстремальное значе­ние.

Построение эпюр

Эпюры внутренних силовых факторов строят на базовых линиях, повторяющих конфигурацию расчетной схемы. На базовых линиях размечают границы участков. Для пространственных расчетных схем эпюры N и М_к можно строить в произволь­ных плоскостях, эпюры Q_х , Q_у , М_х , М_у строят только в тех плоскостях, в которых они действует. На границах участков и в экстремальных точках откладывают с уче­том знаков вычисленные значения внутренних силовых факторов перпендикулярно базовой линии с соблюдением масштаба. Полученные точки соединяют линиями, соответствующие степени z в аналитическом выражении.

Эпюры штрихуют линиями перпендикулярными базовой линии. На поле эпюр N, Q_х , Q_у , М_к проставляют знаки. На эпюрах М_х , М_у, знаки не ставят. На границах участков и в экстремальных точках указывают значения внутренних силовых фак­торов алгебраическими выражениями или числами без знака. Рядом с эпюрой в кружочке указывается условное обозначе­ние внутреннего силового фактора.

Для пространственных расчетных схем допускается эпюры Q_х , Q_у строить на одной базовой линии, также как и эпюры М_х , М_у, М_к . В этом случае эпюру М_к штрихуют винтовой линией.

Расчётные схемы и относящиеся к ним чертежи (эпюры и т.д.) необходимо размещать по возможности на одной странице.

Проверка построенных эпюр

Построенные эпюры в обязательном порядке проверяются. Для это­го исполь­зуются характерные признаки, соответствующие конкретному нагружению расчет­ной схемы. При проверке эпюр поперечных сил и изгибающих моментов ряд при­знаков вытекает из дифференциальных зависимостей при изгибе.

Правила для проверки эпюр N

1. В том сечении, где приложена сосредоточенная сила, парал­лельная оси z (оси бруса), на эпюре N будет скачок на величину этой силы с учетом знака.

2. На участках, где нет распределенной нагрузки, параллельной оси z, эпюра N будет ограничена линией, параллельной базовой (N = const). Если на участке есть равномерно распределенная наг­рузка, параллельная оси бруса, то эпюра N на этом участке будет ограничена прямой наклонной линией.

Правила для проверки эпюр М_к

1. В том сечении, где приложен сосредоточенный момент относи­тельно оси z (оси бруса), на эпюре М_к будет скачок на величину этого момента с учётом знака.

2. Если на участке нет распределенного момента относительно оси z , то эпюра М_к , будет ограничена прямой линией, параллельной базовой (М_к = const). Если на участке есть равномерно распреде­ленный момент относительно оси z , то эпюра М_к на этом участке будет ограничена прямой наклонной линией.

Правила для проверки эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов проверяются попарно Q_х и М_у , Q_у и М_х . Это обусловлено тем, что они связаны меж­ду собой дифферационными зависимостями, из которых и вытекают ос­новные правила для проверки этих эпюр.

1. На границах расчетной схемы Q и М равны приложенным здесь внешним сосредоточенной силе и сосредоточенному моменту соответст­венно .

2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, перпендику­лярная оси бруса, на эпюре Q будет скачок на величину этой силы с учетом её знака, на эпюре Q будет излом остриём навстречу силе.

3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, вызывающий изгиб бруса, на эпюре Q никаких изменений не будет, на эпюре М будет скачок на ве­личину этого момента с учетом его знака. До скач­ка и после него ветви эпюры М будут параллельны, если в этом же сечении нет сосредоточенной силы, которая вызовет изменение наклона эпюры М.

4. Если на участке нет распределенной нагрузки перпендикуляр­ной оси бруса, то эпюра Q ограничена прямой линией, параллельной базовой, эпюра М - прямой наклонной линией.

Если на участке Q = 0, то М = const и его эпюра ограничена прямой линией, параллельной базовой.

5. Если на участке есть равномерно распределенная нагрузка, перпендику­лярная оси бруса, то эпюра Q ограничена прямой наклонной линией, эпюра М - квадратичной параболой. Выпуклость параболы направлена навстречу распреде­ленной нагрузке. Если на границах участка Q. имеет разные знаки, то на эпюре М внутри участка будет экстремум.

6. Если внутри участка есть шарнир, то это никакого влияния на ход эпюр Q и М не оказывает, но на шарнире М = 0.

Дополнительное правило для проверки эпюр в рамах

Каждый узел рамы должен быть в силовом и моментном равновесии.

Для этого составляют уравнения равновесия для узла:

;;(для плоских рам).

Для пространственных рам:

; ;;;;.

При этом учитываются силы и моменты, подходящие к узлу по сходящимся в нём стержням, величина и направление этих сил определяется по построенным эпюрам, а также внешние силы и моменты, приложенные в узле.

Удобно использовать графическое изображение уравнений равнове­сия, так, как это показано ниже на примере построения эпюр для плос­кой рамы (разд. 3.3, рис. 15е, ж).