Тема 5. Введение в математический анализ

Числовые функции. График функции. Основные характеристики функции. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики. [3, §14]. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при . [3, §16]. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. [3, §17]. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. [3, §19].

Пример 9. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2); 3);

4) ; 5).

Решение:

1) .

2) .

Раскроем неопределенность . Так каки, то

.

3) .

Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на старшую степень:

, так как ,,при.

4) .

Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:

.

5) .

Сделаем замену , тогда,. Так как, то.

Тогда

, так как – второй замечательный предел.

Пример 10. Дана функция Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.

Решение: Функции ,,непрерывны на всей числовой прямой, поэтому заданная функцияможет иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, то есть в точкахи.

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках. Для этого найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.

Рассмотрим поведение функции при :

;

; .

Так как , то заданная функция непрерывна в точке.

Рассмотрим поведение функции при :

;.

Так как пределы иконечны и не равны, то точка– точка разрываI рода (функция в этой точке претерпевает «скачок» на единицы).

Сделаем чертеж:

Задачи для контрольных работ вариант 1 Контрольная работа №1

1. Дана матрица . Найти.

2. Решить систему линейных уравнений

1) по правилу Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

3. Дано: ,,, векторыисоставляют стороны параллелограмма. Найти:

1) длины диагоналей параллелограмма ;

2) острый угол между диагоналями параллелограмма ;

3) площадь параллелограмма .

4. Даны точки ;;;. Требуется:

1) записать векторы ,,в ортонормированном базисе;

2) найти длины векторов ,,;

3) показать, что векторы ,,образуют базис трехмерного пространства;

4) найти острый угол между векторами и;

5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор;

6) найти площадь треугольника ;

7) найти объем пирамиды .

5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Контрольная работа №2

1. Даны координаты вершин треугольника :,,. Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон ии их угловые коэффициенты; 3)внутренний уголв радианах с точностью до;

4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки;

5) уравнение медианы ;

6) точку пересечения высот треугольника .

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус эллипса параллельно прямой.

3. Даны точки ;;;. Найти:

1) длину отрезка ;

2) уравнения прямых и;

3) угол между прямыми и;

4) уравнение плоскости ;

5) угол между прямой и плоскостью;

6) уравнения высоты, опущенной из точки на плоскость.

4. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

1) ; 2); 3);

4) ; 5).

5. Дана функция

Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.