В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и по теме 10
Что называется числовой осью? Как изображаются на числовой оси области изменения переменной величины?
Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?
Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.
Какая функция называется периодической? Приведите примеры.
Какая функция называется сложной? Приведите примеры.
Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.
Как, зная график функции y=f(x), можно построить графики функций y=f(mx), y=f(mx+b), y=kf(mx+b)+a?
Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа?
Сформулируйте определение ограниченной функции. Докажите теорему об ограниченности функции, имеющий предел.
Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?
Какая функция называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой?
Докажите основные теоремы о пределах функций.
Докажите, что
(«первый
замечательный предел»).Сформулируйте определение числа е («второй замечательный предел»).
Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции?
Тема 11. Производная и дифференциал
Производная функции (определение, свойства, правила дифференцирования). Л и т е р а т у р а. [1], §20, п. 20.1-20.6.
2. Производные высших порядков. Л и т е р а т у р а. [1], §23, п.23.1, 23.2.
3. Дифференциал функции. Л и т е р а т у р а. [1], §24, п. 24.1-24.6.
Вопросы для самопроверки по теме 11
Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл?
Какой класс функций шире: непрерывных в точке или дифференцируемых в той же точке? Приведите примеры.
Выведите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций. Приведите примеры.
Выведите формулу дифференцирования сложной функции. Приведите примеры.
Выведите формулы производных постоянной и произведения постоянной на функцию.
Выведите формулы дифференцирования тригонометрической и логарифмической функций.
Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования. Приведите примеры.
Выведите формулы дифференцирования степенной функции с любым действительным показателем, показательной функции, сложной показательной функции.
Докажите теорему о производной обратной функции. Выведите формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций.
Сформулируйте определение дифференциала функции.
Для каких точек графика функции ее дифференциал больше приращения? Для каких точек он меньше приращения?
Для каких функций дифференциал торжественно равен приращению?
В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала функции?
Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.
Какой механических смысл второй производной?