- •Механика
- •Оглавление
- •Глава 1. Кинематика материальной точки
- •Глава 2. Динамика
- •Глава 3. Работа и энергия
- •Глава 4. Законы сохранения в механике
- •Глава 5. Механические волны
- •Глава 6. Молекулярное движение
- •Глава 7. Основы термодинамики
- •Глава 1. Кинематика материальной точки
- •Кинематика поступательного движения
- •Понятия и определения
- •Модуль вектора ускорения
- •1.2. Уравнения движения
- •1.2.1 Равномерно, прямолинейно движение.
- •1.2.2 Ускоренное, прямолинейное движение
- •1.2.3 Кинематика вращательного и колебательного движения Вращательное движение
- •При постоянной угловой скорости , угловой путь и угол поворота определяется из равенств:
- •Колебательное движение
- •Для самостоятельного изучения
- •1.3.1 Модуль касательного и нормального ускорения.
- •1.3.2 Равномерное криволинейное движение.
- •Сложение гармонических колебаний
- •1.4 Задания для самоконтроля знаний.
- •Глава 2. Динамика
- •2.1 Законы Ньютона.
- •2.2. Динамика поступательного движения тела
- •2.3. Динамика вращательного движения
- •2.4. Динамика колебательного движения
- •2.5. Принцип относительности Галилея. Неинерциальные системы отсчета
- •2.6 Для самостоятельного изучения
- •2.6.1. Понятие силы. Равнодействующая сила
- •2.6.2. Силы гравитационного взаимодействия
- •2.6.3.Силы трения
- •2.6.4.Сила вязкого трения и сопротивления среды.
- •2.6.5.Сила упругости. Закон Гука.
- •6. Колебания математического и физического маятников
- •2.7. Задания для самоконтроля знаний
- •Глава 3. Работа и энергия
- •3.1. Работа. Мощность
- •3.2. Энергия поступательного движения (кинетическая энергия)
- •И всегда положительна в любой системе отсчета.
- •3 Dr.3. Энергия взаимодействия (потенциальная энергия)
- •3.4. Работа и энергия вращательного движения
- •3.5. Энергия колебательного движения
- •3.6. Для самостоятельного изучения
- •3.6.1. Потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли
- •3.6.2. Работа силы тяжести
- •3.6.3. Потенциальная энергия пружины
- •3.6.4. Потенциальный барьер и яма
- •3.7. Задание для самоконтроля знаний.
- •Лекция 6
- •Глава 5. Законы сохранения в механике
- •5.1 Закон сохранения импульса
- •5.2 Закон сохранения момента импульса
- •При составлении равенства (5.5) учтено, что и.
- •5.3 Закон сохранения энергии
- •5.4 Для самостоятельного изучения
- •5.4.2 Абсолютно неупругий удар
- •5.5. Задание для самоконтроля знаний
- •Глава 6. Механические волны
- •6.1 Продольные и поперечные волны
- •6.3.Задания для самоконтроля знаний.
- •Глава 7.Молекулярное движение
- •7.1 Размеры и масса молекул
- •7.2. Движение и столкновение молекул газа
- •7.3 Давление и температура.
- •7.4 Скорость и энергия молекул [распределение Максвелла]
- •7.5 Диффузия, внутреннее трение, теплопроводность.
- •7.6 Давление идеального газа на стенку
- •7.7 Уравнение состояния идеального газа
- •Глава 8. Основы термодинамики
- •8.1. Термодинамическая система. Внутренняя энергия идеального газа
- •8.2. Работа и теплопередача
- •8.3. Первое начало термодинамики, термодинамические изопроцессы.
- •8.4 Теплоемкость
- •8.5 Обратимые и необратимые процессы. Термодинамическая вероятность. Энтропия.
- •8.6 Изменение энтропии в изопроцессах
- •8.7 Тепловая машина. Цикл Карно.
- •8.8. Для самостоятельного изучения
- •1. Второе начало термодинамики
- •Вес тела – сила, приложенная к опоре или подвесу, которые удерживают тело от свободного падения. При неподвижной опоре (подвесе) или при их равномерном движении вес тела равен силе тяжести.
- •Второй закон Ньютона - ускорение , материальной точкой в инерциальной системе отсчета прямопропорционально действующей силе, обратно пропорционально массе и совпадает по направлению с силой.
- •Вес тела – сила, приложенная к опоре или подвесу, которые удерживают тело от свободного падения. При неподвижной опоре (подвесе) или при их равномерном движении вес тела равен силе тяжести.
Сложение гармонических колебаний
Материальная точка может участвовать одновременно в нескольких колебательных движениях. Сложить два или несколько колебаний – значит найти закон, которому подчиняется результирующее движение, найти траекторию этого движения материальной точки.
Сложение колебаний м.т. проводится геометрически, введением понятия амплитуды.
Вектор амплитуды - это вектор, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания.
Если вектор амплитуды привести во вращение вокруг точки О, с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора на ось х будет совершать гармонические колебания с циклической частотой:
,
где – угол, образованный вектором амплитуды и осью х в начальный момент времени. Сложим два гармонических колебания вдоль осиX(рис 1.13.
;
;
где
Так как колебания происходят вдоль одной прямой, то результирующая координата:
.
Вектор результирующей амплитуды равен геометрической сумме векторови. Проекция конца вектораопределяет результирующая координатеx. Так как оба вектора,и, вращаются в процессе колебаний с угловой скоростью, с такой же скоростью будет вращаться и вектор результирующей амплитуды.
Для времени t=0
для произвольного момента времени t
,
где и- амплитуда и начальная фаза результирующего колебания.
Из по теореме косинусов находим амплитуду и начальную базу колебания:
,
,
, (1.48)
где .
Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз слагаемых колебаний. Если, где, тои. Колебания усиливают друг друга.
Если , тоиЕсли разность фаз равна нечётному числу, колебания гасят друг друга. В зависимости от разности фаз амплитуда колебаний может принимать любые значения, лежащие в интервале
.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний слегка отличающимися частотами, происходящих вдоль одной прямой для нескольких условий:
1. Пусть , причём(или),и
Уравнение колебаний:
Координата результирующего колебания
(1.49)
Так как , то векторы амплитуды вращаются с разными угловыми скоростями.
Сумма косинусов и координата определяются из соотношений:
Выделенный множитель изменяется с течением времени гораздо медленнее, чем второй множитель. За время, в течение которого второй множитель совершает полное колебание, первый почти не изменяется (так как по условию <<). Это позволяет рассматривать колебание как гармоническое с частотой, у которого амплитуда .
Рис
1.14
Гармонические колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями.
Частота и период биений
,
где - частоты слагаемых колебаний. Следовательно, чем меньше отличаются частоты, тем меньше частота биений.
Точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль координатных осейxиy, причём
Уравнения для координат точки.
Разделив второе уравнение на первое, получим
Полученное соотношение представляет прямую, проходящую
через начало координат и наклонённую к оси х под углом
.
Точка будет совершать гармоническое колебание вдоль этой прямой:
Рис.
1.16
где - амплитуда колебания.
При сложении колебаний, когда
Уравнение для координат точки.
Разделив одно уравнение на другое, получим уравнение прямой с отрицательным тангенсом угла наклона.
Для
Перепишем эти уравнения в виде
Рис.
1.18
Возведём в квадрат и почленно сложим:
Полученное уравнение есть уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний и. Приэллипс превращается в окружность.
Если равность фаз слагаемых колебаний равна то движение по эллипсу (или по окружности) будет происходить по часовой стрелке.
Если , движение происходит против часовой стрелки.
При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с неодинаковыми циклическими частотами результирующее движение будет происходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот складываемых колебаний и разности их начальных фаз.