математика II 2008 6 лет

2. ∫ln2 xdx =

t = ln x;

= ∫t2dt =

t3

+C = ln3 x

+ C .

dx

dt =

3

x

x

3

xdx

2

1

d (x2 + 3)

3. ∫

=

u

= x

+ 3, du = 2xdx

= 2 ∫

x2

+ 3

=

x2

+ 3

= 1 ∫du

=

1 ln

u

+ C =

1 ln

x2 + 3

+ C .

2

u

2

2

4. ∫costgxdx2 x = ∫sincosxdx3 x

=

cos x = u

=

du = −sin xdx

= −∫u−3dt =

1

+C =

1

+ C .

2u

2

2 cos

2

x

5. ∫

dx

=

u = ex ; du = ex dx;

= ∫

du

=

dt

ex +1

x = ln u;

dx =

u(u +1)

u

du

d (u +

1

)

1

1

+ u +

1

= ∫

= ∫

2

= −

ln

2

2

u

2

+ 2

u

1

+

1

−

1

1

2

1

2

1

1

+ u −

1

u +

−

2

4

4

2

2

2

2

4

+C = − ln

u +1

+ C = ln

u

+ C = ln

ex

+ C .

u

u

+

1

ex

+1

4. Метод интегрирования по частям

Пусть u = u( x ) и v = v( x ) – функции, имеющие не-

прерывные производные. Тогда по свойству дифференциалов d( uv ) = udv + vdu . Интегрируя это равенство, получим

формулу интегрирования по частям ∫udv = uv − ∫vdu . При

применении этой формулы подынтегральное выражение представляется в виде произведения двух множителей

11

u и dv так, чтобы отыскание v и ∫vdu составляли в совокупности более простую задачу, чем нахождение интеграла ∫udv . Укажем некоторые типы интегралов, которые нахо-

дят по этой формуле:
1. Интегралы	вида		∫Pn ( x )ekx dx,	∫Pn ( x ) sin kxdx,
∫Pn ( x )cos kxdx , где	Pn ( x )		– многочлен, k	– число. Тогда
полагаем, что u = Pn ( x ) ,		а за dv обозначаем все остальные
сомножители.
2. Интегралы вида		∫Pn ( x ) arcsin xdx,		∫Pn ( x )ln xdx,

∫Pn ( x ) arccos xdx, ∫Pn ( x )arctgxdx, ∫Pn ( x )arcctgxdx . В

этих случаях за u принимаем функцию, являющуюся множителем при Pn (x) , тогда dv = Pn ( x )dx .

Рассмотрим применение этой формулы на примерах.

Примеры

1. ∫x sin xdx =

u = x

du = dx

=

dv = sin xdx v = ∫sin xdx = −cos x

= −x cos x + ∫cos xdx = −x cos x + sin x + C .

u = ln x du = dx

x2

x2dx

2. ∫x ln xdx =

x

=

ln x

− ∫

=

x

2

2x

dv = xdx

v = ∫xdx =

2

2

=

x2

ln x − 1

∫xdx =

x2

ln x −

x2

+C .

2

2

2

4

12

3. ∫arcsin xdx =

u = arcsin x du = dx

=

1 − x2

dv = dx v = x

= x arcsin x − ∫

xdx

2 =

d (1 − x2 ) = −2xdx

= x arcsin x +

1 − x

2

1

+ 1

∫d (1 − x2 ) = x arcsin x + 1 ∫(1 − x2 )−

d (1 − x2 ) =

2

2

1− x

2

1

= x arcsin x +

1 (1 − x2 )

2

+C = x arcsin x +

1 − x

2

+C .

2

1

2

Замечание. Иногда для нахождения интегралов, указанных типов, нужно интегрирование по частям применить последовательно несколько раз, например, для интегралов вида

∫Pn (x)ekx dx, ∫Pn (x) sin kxdx , если степень многочлена выше первой.

5.Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется функция, равная отношению двух мно-

гочленов Pm (x) , где Pm ( x ) – многочлен степени m, Qn ( x ) Qn (x)

– многочлен степени n. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель.

13

Например,

P (x)

=

x4

+1

.

Разделим

числи-

m

Qn (x)

x3

− x2

+ x −1

тель на знаменатель столбиком.

Получим

x4

+1

= x

+1 +

2

.

x3 − x2 + x −1

x3 − x2 + x −1

Простейшими дробями называются правильные дроби

следующих видов:

A

;

A

;

Ax + B

;

Ax + B

,

x − a

(x −a)k

x2 + px + q

(x2

+ px + q)k

где A, B, a, p, q – действительные числа,

k ≥ 2 – целое по-

ложительное число, p2

− 4q < 0 .

Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей. Для этого знаменатель правильной дроби запишем в виде произведения линейных и квадратичных многочленов:

Qn (x) = a0 (x − a)(x −b)(x −c)...(x2 + px + q)(x2 +lx + s) ,

	где	a, b, c	–	действительные корни знаменателя и
	p2	− 4q < 0 ,	l 2	− s < 0 . Некоторые из корней	a, b, c	могут
			4
					k раз,
	совпадать. Если какой-то корень встретился					то он

называется корнем кратности k , если k = 1 , то корень называется простым.

Пусть a – простой корень, b – корень кратности 2, c – корень кратности 3, т.е.

Qn (x) = a0 (x −a)(x −b)2 (x −c)3...(x2 + px + q)(x2 +lx + s).

Тогда

R(x) =

A

+

B1

+

B2

+

C1

+

C2

+

x −a

(x −b)

(x −b)2

(x −c)

(x −c)2

+

C3

+... +

Mx + N

+

Ex + F

.

(x − c)3

x2 + px + q

x2 +lx + s

14

Здесь A, B1 , B2 , C1 , C2 , C3 , M , N , E, F – неопределенные ко-

эффициенты, которые находят методом сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x , а также методом частных значений аргумента. Тогда исходный интеграл сводится к сумме табличных интегралов.

Примеры

1. ∫	x2 −2x +2	=∫	x2 −2x +2
				dx .
	x(x2 + 2x −8)		x(x −2)(x +4)

Решение

Для нахождения этого интеграла разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

	x2 −2x +2	=	A	+	B	+	C		.
	x(x −2)(x +4)		x		x −2		x +	4

Найдем А, В, С методом частных значений аргумента. Для этого приведем простейшие дроби с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и приравняем числитель получившейся дроби и числитель исходной правильной дроби.

x2 − 2x + 2 = A(x − 2)(x + 4) + Bx(x + 4) +Cx(x − 2);

x = 0 : 2 = −8A A = − 1

;

4

x = −4 : 26 = 24C C =

13

;

1 .

12 .

x = 2 : 2 =12B B =

6

Тогда

∫

x2 − 2x + 2

dx = −

1 ∫dx

+

1

∫

dx

+

x(x − 2)(x + 4)

6

x −

2

4

x

+

13

∫

dx

= −

1 ln

x

+ 1 ln

x −2

+

13 ln

x + 4

+С.

x +

12

4

4

6

12

15

2. ∫ xx32+−23xx2 ++2x dx .

Решение

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби, учитывая, что x = 0 является простым корнем знаменателя дроби, а x = −1 – корнем кратности 2:

	x2 −3x + 2	=	x2 −3x + 2	=	A	+	B		+	C	.
	x3 + 2x2 + x		x(x +1)2		x		x +1			(x +1)2
Отсюда x2 − 3x + 2 = A( x +1)2				+ Bx( x +1) + Cx . Используем

метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x . Для этого распишем правую часть подробнее, собрав коэффициенты при одинаковых степенях:

x2 −3x + 2 = x2 ( A + B ) + x( 2A + B +C ) + A .

2

:

1 = A + B

x

x : −3 = 2A + B +C

0

: 2 = A.

x

Из этой системы получаем, что А=2. Тогда из первого

уравнения

B = −1 .

Из второго уравнения находим C = −6 .

Следовательно,

x2

− 3x + 2

=

2

+

−1

+

−6

.

x( x +1)2

x

x +1

( x +1)2

Замечание. Рекомендуется комбинировать два способа определения коэффициентов (как приведено ниже):

x = 0 : A = 2;

x = −1: 6 = −C;

x2 : 1 = A + B. В = −1.

Продолжим нахождение исходного интеграла:

16

x2 −3x + 2

dx =

2

+

∫ x( x +1)2

∫

x

= 2∫dx

− ∫d (x +1)

−6∫

x

x +1

−6(−1)

1

+C = 2 ln

x

x +1

3. ∫

13dx

(x −1)(x2 + 2x +10)

Решение

−1

−6

+

dx =

x +1

( x +1)2

d (x +1)

= 2 ln

x

−ln

x +1

−

(x +1)2

6

−ln

x +1

+

+C .

x

+1

.

Так как многочлен x2 + 2x +10 не имеет действительных корней, то разложение подынтегральной функции на простейшие дроби будет иметь вид

13

=

A

+

Bx +C

(x −1)(x2 + 2x +10)

x

−1

x2 + 2x +10

Найдем коэффициенты A, B, C :

13 = A(x2 +2x +10) +(Bx +C)(x −1)

x =1 : 13 =13A

0 = A + B

x2 :

0 = 2A + C

− B.

x :

Откуда, A =1, B = −1, C = −3 .

Тогда

13

=

1

−

x +3

.

(x −1)(x2 + 2x +10)

x −

1

x2 + 2x +10

17

Получим

13dx

dx

x + 3

∫

= ∫

− ∫

dx

=

(x −1)(x2 + 2x +10)

x −1

x2 + 2x +10

= ∫

d (x −1)

− ∫

x +1 + 2

x +1 = t

x −1

dx =

d (x +1) = dt

=

(x +1)2 + 9

tdt

dt

1

d (t2 + 9)

= ln

x −1

− ∫

− 2∫

= ln

x −1

− 2 ∫

t2 + 9

−

t2 + 9

t2 + 9

−

2 arctg

t

+ C = ln

x −1

− 1 ln

(x +1)2

+ 9

−

2 arctg

x +1

+C.

3

3

2

3

3

6.Методы интегрирования некоторых классов тригонометрических функций

При нахождении интегралов типа ∫sinm x cosn xdx используются следующие приемы:

1)замена sin x = t , если n – целое положительное нечетное число;

2)замена cos x = t , если m – целое положительное нечетное число;

3) формулы понижения степени 2 cos2 x =1 + cos 2x ,

2sin2 x =1 −cos 2x , если n, m – целые неотрицательные четные числа. Рассмотрим примеры нахождения интегралов от тригонометрических функций.

Примеры

	1.		∫sin4 x cos xdx =		sin x = t		= ∫t4dt =	t5	+C =
					dt = cos xdx
							5
=	sin5	x	+C .
	5
			18

2. ∫sin	4	xdx = ∫(sin	2	x)	2	1	−cos 2x		2
						dx = ∫	2		dx =

=		1	−2 cos 2x + cos	2	2x		1	∫	dx − 1	∫	cos 2xdx +
						dx =
	∫		4				4		2

+

1

∫cos2 2xdx =

x

−

sin 2x

+ 1

∫

1 + cos 4x

dx =

4

4

4

4

2

=

x

− sin 2x

+

x

+ sin 4x +C =

3x

− sin 2x

+ sin 4x

+C .

4

4

8

8 4

8

4

32

Часто бывает полезно применять тригонометрические

формулы, в частности, полезно помнить, что тригонометрическая единица равна 1 = sin2 x + cos2 x . Откуда вытекает и

формула связи функцийcos x и tgx

: tg 2 x +1 =

1

.

cos2 x

1

3. ∫tg4 xdx = ∫tg2 x tg2 xdx =

tg2 x =

−1

=

2

x

cos

2

1

2

dx

2

= ∫tg

x

−1 dx = ∫tg

x

− ∫tg

xdx

=

cos2 x

cos2 x

tgx = t

∫t

2

dt − ∫

1

t

3

− ∫

dx

=

dx

=

−1 dx =

+

2

x

2

x

dt =

cos

3

cos

cos2 x

+ ∫dx = tg3 x −tgx + x +C .

3

dx

(sin2

x +cos2 x)dx

sin2 x

4. ∫

= ∫

cos4 x

= ∫cos4 x dx

+

cos4 x

+ ∫

dx

= ∫tg

2

x

dx

tgx = t

+tgx

+C =

dx

cos2 x

cos2 x

dt =

cos2 x

= ∫t2dt +tgx +C =

t3

+tgx +C = tg3 x

+ tgx +C .

3

3

19

7.Методы интегрирования некоторых иррациональных функций

Если интеграл содержит иррациональности вида

k1 k2

x n1 ,x n2 ,..., то он сводится к интегралам от рациональных функций заменой x = tm , где m –наименьшее общее кратное знаменателей степеней n1 ,n2 ,.... Аналогично, если интеграл

k1

k2

содержит иррациональности вида ( ax + b )n1 ,( ax + b )n2 ,...,

то делается подстановка ax + b = tm . Покажем этот метод на примерах.

Примеры

1. ∫ x dx+

4 x = t

= ∫t42t3+dtt = 4∫1t2+dtt =

4 x

= x = t4

dx = 4t3dt

= 4∫

t2 −1 +1

dt = 4∫( t −1)dt + 4∫

dt

= 4

t2

− 4t +

t

+1

t +1

2

+ 4 ln t +1 +C = 2 x −44 x + 4 ln 4 x +1 +C .

2. ∫2 + 3dxx +

3 x +1 = t

+2dtt = 3∫(t −2)dt +

1 = x = t3 −1 = ∫32t

dx = 3t2dt

4

t2

+

3∫

dt = 3

−6t +12 ln

t + 2

+C =

t + 2

2

2

3(x +1)

=

3

−63

x +1 +12 ln 3 x +1 + 2 + C .

2

20