математика II 2008 6 лет

Кроме этого, встречаются иррациональности, от которых можно избавиться при помощи тригонометрических замен.

Интегралы	вида	∫R(x, a2 − x2 )dx ,
∫R(x, a2 + x2 )dx ,	∫R(x, x2 − a2	)dx приводятся к инте-

гралам от рациональных относительно sin t иcost функций с помощью надлежащей тригонометрической подстановки:

для первого интеграла

x = a sin t ,

для второго x = a tgt и

для третьего x =

a

(при этом могут использоваться сход-

cos t

ственные функции cos t, sin t, ctgt ). Рассмотрим

приме-

ры.

Примеры

9 − x2

x = 3sin t

3

1 −sin2 t 3 cos tdt

1. ∫

dx = dx = 3cos tdt =

∫

=

x2

9 sin2 t

t = arcsin x

3

cos2 tdt

1 −sin2 t

dt

= ∫ sin2 t

= ∫

sin2 t

dt = ∫

− ∫dt =

sin2 t

= −ctgt −t +C = −ctg(arcsin

x

) −arcsin

x

+C .

3

3

21

x =

2

dx

cos t

2.

∫ x

= dx =

2 sin tdt

= ∫cos2 t

2 sin tdt

=

x2 − 4

cos2 t

2

4

− 4

2

cos t

cos2

t

t = arccos

x

2

sin t cos t

dt = 1

t

+ C =

acr cos

= ∫

∫dt =

x

+C .

2 cos t sin t

2

2

2

x = tgt

3.

∫ x

dx

dt

dt

1 + x2

= dx = cos2 t

=∫cos2 t tgt

1 + tg 2t

=

t = arctgx

= ∫

dt

= ln

tg

t

+ C = ln

tg

arctgx

+ C .

sin t

2

2

II. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.Понятие определенного интеграла

иего свойства

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a, b]. Разобьем этот отрезок на n частичных отрезков такими точками: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b . Длина частичного i – отрезка будет xi = xi − xi−1 , i =1,2,..., n . Выберем на каждом отрезке произвольным образом точку ci [xi , xi−1 ] и вычислим значение функции в ней, т.е. величину f (сi ) . Со-

n

ставим сумму Sn = f (c1 ) x1 +... + f (cn ) xn = ∑ f (ci ) xi .

i=1

22

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a, b]. Число Sn представляет собой алгебраиче-

скую сумму площадей прямоугольников с основаниями xi

и высотами		f (сi ) (рис. 1).
y
					y=f(x)
f(ci)

0

a c1 x1 c2 x2

xi-1 ci xi

cn b

x

Рис. 1

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке

[a, b] называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю максимальной длины частичных отрезков:

b

∫ f (x)dx =

a

	lim		S		= lim	n	f (c	)	x		.
				n		∑				i
	max x	→0			n→∞		i
	i					i=1

Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a, b], то этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от способа выбора точек ci в каждом

из них.

Если f (x) ≥ 0 на [a, b], то определенный интеграл ра-

вен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, графиком функции y=f(x) и прямыми x=a, x=b(рис. 1) .

23

Свойства определенного интеграла

	b	b	b
1.	∫( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx .
	a	a	a
	b	b
2.	∫kf (x)dx = k ∫ f (x)dx .
	a	a

ba

3.∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx .

ab

b	c	b
4. ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .
a	a	c
5. Формула Ньютона-Лейбница:
b		b
∫ f ( x )dx = F( x )		= F( b ) − F( a ) ,
a		a

где F(x) – первообразная для функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b].

Рассмотрим применение этой формулы на примере.

Пример

2	1		(2x −1)	4	2	1				80	=10 .
∫(2x −1)3 dx =					=		((2 2	−1)4	−(2 1−1)4 ) =
1	2		4		1	8				8

2.Замена переменной в определенном интеграле

Пусть выполнены следующие условия: 1) функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b]; 2) отрезок [a, b] является множеством значений некоторой функции x =ϕ(t) , определенной на отрезке [α, β] и имеющей на этом отрезке непрерывную производную; 3) ϕ( α) = a, ϕ( β) = b . При этих условиях справедлива формула

24

b β

	′
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt . Указанная формула называется
a	α

формулой замены переменной под знаком определенного интеграла. Нужно отметить, что при применении этой формулы нужно обязательно менять пределы интегрирования.

Рассмотрим пример.

Пример

1 + x = t, t ≥ 0; 1 + x = t2

3	xdx			= x = 0 t =1;							2	2	−1)2tdt	=
∫											= ∫(t
0	1 + x			x = 3 t = 2;							1		t
				dx = 2tdt
=	2t3		2	− 2t		2	2	(8 – 1) – 2(2 – 1) =		8	.
	3					=
			1				3			3
						1
	При		нахождении интегралов от иррациональных функций
часто необходимо сделать тригонометрическую замену.
		Пример
		2		2				x = 2 sin t	dx = 2 cos tdt
			∫1	4x −dxx2			= x =1 t =		π ; x =		2 t	=	π =
									6				4

ππ

= 4∫4 sin2 tdt = 2∫4		(1 −cos 2t)dt = (2t −sin 2t)	π	=	π	−1 +	3 .
			π4
π	π		6		6		2
6	6

25

3.Метод интегрирования по частям

вопределенном интеграле

Если функции u = u( x ) и v = v( x ) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то имеет место формула

b	b	b
∫udv = uv		− ∫vdu .
a	a	a

Данная формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример

∫xe−x dx = u = x −x				du =−xdx =
1			dv = e	dx v = −e
0
		1				1
	1
= −xe−x		+ ∫e−x dx = −e−1 + 0 −e−x				= −e−1 − e−1 +1 =
	0	0				0

= −2e−1 +1 .

4. Приближенное вычисление интегралов

Иногда нельзя вычислить интеграл по формуле Ньютона – Лейбница, так как подынтегральная функция может быть слишком сложна или интеграл от нее будет «неберущимся». Тогда интеграл вычисляется приближенными методами. Рассмотрим самый простой из них: метод прямоугольников.

Для вычисления интеграла ∫b f (x)dx отрезок [a, b] ра-

		a
	зобьем	на n равных частей длиной	h =	b − a	точками:
				n
	x0 = a;	x1 = a + h; x2 = a + 2h;...; xi = a + ih;...; xn = b . Вы-
		26

числим значения функции y=f(x) в точках деления и в точ-

ках x0 и xn : y0 = f (x0 ); y1 = f (x1 );...; yn = f (xn ) . Тогда имеют место такие приближенные равенства:

∫b f (x)dx ≈ h(y0 + y1 + y2 +... + yn−1 ),

a

или ∫b f (x)dx ≈ h(y1 + y2 +... + yn ).

a

Обычно вычисляют значения интеграла по обеим формулам и берут среднее арифметическое полученных значений.

Рассмотрим пример.

Пример

Вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и

4 dx

приближенно по формуле прямоугольников интеграл ∫1 x3 .

Найти абсолютную и относительную погрешности вычисления. Отрезок разбить на 10 равных частей (n=10). Промежуточные вычисления вести с тремя знаками после запятой.

Решение

Сначала вычислим точное значение интеграла по фор-

4	dxx3	= − 12 x−2	4
муле Ньютона-Лейбница : ∫1			1

= − 321 + 12 = 1532 .

Это значение приближенно равно 0, 469.

Найдем приближенное значение интеграла. Для этого составим таблицу значений подынтегральной функции. При

этом h=				4 −1		=0,3.
				10
	x	1	1,3		1,6		1,9	2,2	2,5	2,8	3,1	3,4	3,7	4,0
	y	1	0,455		0,244		0,146	0,094	0,064	0,046	0,034	0,025	0,020	0,016
									27

По первой формуле прямоугольников имеем

I1		9		= 0,3 2,127 ≈ 0,638 .
	= 0,3	∑yi
	i=0

По второй формуле прямоугольников получим

I2	10			= 0,3 1,143 ≈ 0,343.
	= 0,3 ∑yi
	i=1
Тогда I =		I1 + I2			=	0,638 + 0,343	≈ 0,490 .
						2
			2

Найдем абсолютную погрешность вычисления

= 0,469 −0,490 = 0,021.

Относительная погрешность будет равна

δ =	I	100 % =	0,021 100 % = 4,48 % .
			0,469

Задания для контрольной работы №4

171 – 180. Найдите неопределенные интегралы. В двух первых примерах результаты проверьте дифференцированием.

171. 1) ∫

ln4 xdx

;

2) ∫xe2 x dx ; 3) ∫

dx

;

x

x(x + 4)2

4) ∫sin2 3xdx ; 5)

∫

2

−

3dx

.

x +

2

172. 1) ∫

tgx +1dx

;

2) ∫ln( x + 2 )dx ; 3) ∫

dx

;

cos2 x

( x − 4 )( x + 2 )2

4) ∫cos3 xdx ; 5) ∫

4

x +1

dx .

x +1 +1

28

173.

1) ∫

x2dx

;

2)

∫arcsin 2xdx ;

3) ∫

x + 3

dx ;

2x3 + 4

x2

+ 4x +13

4) ∫tg 2 2xdx ;

5) ∫

3

+

dx

.

x +5

174.

1) ∫

2 + 4 ln x dx ;

2) ∫arctg2xdx ; 3) ∫cos2 4xdx ;

x

4) ∫

3

dx ;

∫

4 − x2

5)

x2

dx .

(x −1)(x +1)

175.

1) ∫x

1 − x

2

dx

;

2)

∫x sin 3xdx ;

3) ∫

x + 4

dx ;

x(x + 2)2

4) ∫sin3 x cos2 xdx ;

5) ∫

x dx .

xdx

x +1

dx

176.

1)

;

2) ∫arccos 2xdx ;

3) ∫

;

1 −9x2

x( x

−1)2

4) ∫sin

2

x cos

3

xdx ;

5) ∫

dx

.

(

x +

4

x )

x

177.

1) ∫3

xdx

2

;

2) ∫

x ln xdx ;

3) ∫cos4 2xdx ;

1 − 4x

4) ∫

1 + 4x2

dx ; 5) ∫

dx

.

x2 ( x +1)

(

1 + x2

)3

178.

1) ∫

xdx

;

2) ∫x ln(x +1)dx ;

3) ∫tg

3

xdx ;

(1 + x2 )3

4) ∫

x2dx

; 5) ∫

1 + x2

x4

dx .

( x −1)( x − 2 )( x −3)

29

∫

3

arctgx

3) ∫

x −1

179.

1)

1 + x2

dx ; 2)

x cos 2xdx ;

dx ;

x2 ( x − 2 )

4)

∫

cos3 xdx

;

5) ∫

16 − x2

dx .

sin2 x

x2

180.

1)

∫

3dx

; 2) ∫x 5x dx ; 3) ∫

4x2

−5x + 4

dx ;

x

x(x

−1)(x − 2)

dx

ln x

dx

∫

5) ∫ x

4)

;

2x +1 .

sin4 x

181 – 190. В заданиях вычислить интеграл ∫b f (x)dx точно

a

по формуле Ньютона-Лейбница и приближенно по формуле прямоугольников. Отрезок [a, b] разбить на 10 частей.

Найти абсолютную и относительную погрешности вычисления. Промежуточные вычисления вести с четырьмя знаками после запятой. Приближенное значение интеграла привести с округлением до третьего десятичного знака.

		2				1						16
	181.	∫(x2 +						)dx .		182.		∫4		xdx .
						4
		1				x						1
		8				1				2	(1 + x)
	184.	∫	x	+ 3				dx .		185. ∫						dx .
												x	3
		1					x			1
	187.	4	1 + 2				x	dx .		188.	28		x −1				dx .
		∫		x	2						∫			3
		1									4
		2		2		4
	190.	∫1	x		+				dx .
							x3

	2	x4	+1
183. ∫					dx .
		x	2
	1
	10
186.	∫	x −1dx .
	1
	21	x
189.	∫		− 2dx .
	6	3

30