векторная и аналитическая геометрия ЗАДАЧИ

7.Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А (2; 3; 1) на прямую x2+1 = −y1 = z −3 2 .

8.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; 3; -2) перпендикулярно к плоскостям x +3y −z +7 =0 и 2x − y +4z +3 =0.

9.Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (-2; 3), В (4; -5),

С (-3; 1). Составить уравнения его сторон и вычислить длину высоты, опу-

щенной из вершины С.

10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а)9x2 +49y2 +18x −98y −383 =0,

b) x = 2 − 6 −2y . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 21

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

−x − y +z =−5

x +2y −z =3 .

3x +z =−11

2. Дана матрица А= 2

3 . Найти А2+4А.

3

−2

r

r

r

3.

Вектор

x ,

перпендикулярный

к

и

векторам a =3i +2 &j

+2k

b =18i −22 j −5k , образует с осью OY тупой угол. Найти его координаты,

зная, что

x

=14.

4.

Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-

торах ar

={1; 0 ;

1

} и b ={ 2 ; 0 ; −3

}.

2

2

если ar =i −4 j ,

5.

Какую тройку образуют векторы ar,b,cr,

b =6i +3 j −2k ,

cr =i −2 j +2k ? Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a и c.

6.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р (4; -3; 1) параллельно прямым 6x = 2y = 1z и x5+1 = y 4−3 = z −2 4 .

7.На оси OY найти точку, расстояние от которой до плоскости, проходящей

через точки А(1; 3; 1), В(-2; 5; -1), С(3; 1; 2) равно 4.

20

8.	При каком значении B прямая	x +1		=	y −4	=	z +2			параллельна плоскости
		−2			3
	3x +By −3z +7 =0 ?							1
					Q (-2;			-9)
9.	Найти точку, симметричную	точке								относительно прямой
	2x +5y −38 =0.

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) x2 −4y2 +6x +5 =0,

b)y = 34 16 −x2 . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 22

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера или матричным способом

−x − y +z =−2

2x + y −3y =1 .3x +5z =19

	1	3		−5 3	1	3
2. Даны матрицы А=							. Найти А(ВС).
	2	, В=		, С=	2	5
		5		2 −1

3.Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором АВ=1, ВС=СС1=2. Найти угол между векторами DB1 и BC1. (Указание: выбрать

систему координат так, чтобы одна вершина параллелепипеда совпадала с началом координат, а три лежали на осях координат.)

4.Вектор x , коллинеарный вектору ar =8i − j +4k образует с осью ОХ тупой угол. Зная, что x =12, найти его координаты.

5.Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах a ={2; 1;-3}, r. r={1; -3; 1}, и длину высоты, опущенной из конца вектора

6.Найти проекцию точки А (4; -3; 1) на плоскость x +2y −z −3 =0.

7.При каком значении z прямые АВ и l будут перпендикулярными, если

	А(1; -2; 1), В(0; -4; z), l: 3x + y −5z +1=0 ?
								2x +3y −8z +3 =0
8.		Составить					уравнение плоскости,		проходящей	через прямую
		x −2	=	y −3		=	z +1	перпендикулярно плоскости x +4y −3z +7 =0.
	5
					1	2			x +5y −7 =0,	3x −2y −4 =0,
9.	Стороны				треугольника лежат на прямых

7x + y +19 =0. Составить уравнение одной из средних линий треугольника. 10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

21

а) x2 +2x −32y +33 =0 ,

b) x = −5 + 2	8 +2y − y2 . Изобразить эти линии на чертеже.
3
	Вариант 23

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

4x +3y −5z =−13

−3x − y +4z =7 .

2x + y −z =3

	2		4	−1			2	0	4
2.	Даны матрицы А=	3	1	5	, В=		5	7	−8		. Найти 4А+В2.
			3	−7			6	1	1
	4
3.	Даны три вектора ar =−2i + j +k , b =i +5 j и cr =4i +4 j −2k. Вычислить

npcr(3ar−2b) .

4.Зная две стороны AB ={-2; 2; 9}, BC={-2; 4; 4} треугольника АВС, вычислить длину высоты АD.

5.Векторы pr =i −2 j +k , qr =3i + j +zk и rr =7i +14 j −13k лежат в одной плоскости. Найти третью координату вектора q.

6. Найти точку пересечения прямой	x	=	y −1	=	z +1	с плоскостью
	2
x +2y +3z −29 =0 .		1		2

7. Даны вершины треугольника А (4; 1; 2), В (2; 0; 0), С (5; 1; 4). Составить уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ, перпендикулярно к плоскости треугольника.

x =2t		=0	перпендикулярными
8. Проверить, являются ли прямые y =3t	и y +z −8
z =t	x −z +4 =0

или параллельными.

9. Даны вершины треугольника А (1; 2), В (4; 8), С (8; 2). Найти расстояние

от точки пересечения высот треугольника до стороны АС. 10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а)3x2 − y2 +6x +6y −9 =0 ,

b) y =1+ 2 −x . Изобразить эти линии на чертеже.

22

Вариант 24

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

5x − y +z =−7

x + y +z =3 .

x − y +z =−3

	2	1					3	5	7
2. Даны матрицы А=		5				, С= −2				. Найти
	3		, В=	−1	−2 3			4	3
	7		5		7 8		−2 8		−7
		4

3АВ-С.

3.Вычислив внутренние углы треугольника АВС, где А (1; 1; -1), В (2; 3; 1), С(3; 2; 1), проверитьr , будет ли этот треугольник равнобедренным.

4.Найти вектор x, зная, что он перпендикулярен векторам a ={2; -3; 1} и

b ={1; -2; 3} и удовлетворяет условию x i +2 j −7k		=10.

5.Объём тетраэдра равен 3, три его вершины находятся в точках А (3; -1; 5),

В(4; 2; -3), С (2; 6; 7). Найти координаты четвёртой вершины D, если из-

	вестно, что она лежит на оси OX.
6.	Составить уравнение плоскости, зная, что точка Р (4; -3; 12) служит основа-
	нием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
7.	Две грани куба лежат на плоскостях	11x −2y −10z +15 =0 и
	11x −2y −10z −45 =0. Найти объём этого куба.
8.	Составить параметрические уравнения прямой
		2x −2y −z −4 =0. Соста-
		3x +3y +2z =0

вить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую, параллельно

x

прямой y

z

=t −1

=t +2 .

=−t +1

9.Доказать, что точки А (-3; 8), В (1; 5), С (4; 1) могут служить тремя вершинами ромба. Составить уравнения диагоналей этого ромба.

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а)3x2 − y2 +6x +6y −9 =0 ,

b) y =1+ 2 −x . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 25

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

23

x + y −z =4

2x − y +3z =7 .4x +7y −11z =15

	3			−5	4			1	8		. Найти В(АС).
2. Даны матрицы А=		4	, В=				, С=
−7 1			3 −2				2		9

3. Найтиrуголr между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах ar =2i + j , b =−j +2k .

4.

Проверить, лежат ли точки А (-1; 3; 5), В (2; 4; -7), С (3; -1; 4) и

D (4; 7; -2) в одной плоскости?

5.

Даны точки А (3; 2; 4),

В (-1;

-3; 0)

и С (-2;

4; 8). Найти

AC ×(2AB −3CB).

6.

При каком значении А плоскость Ax −2y +4z +5 =0 параллельна прямой

x + y =0

?

y −z =0

7.

Составить уравнения прямой, проходящей через точку М (3; -4; 0) и точку

пересечения прямой

x

=

y −1

=

z =1

с плоскостью x + y −z +2 =0.

−3

2

1

8.

Найти проекцию точки А (2; -1; 3) на плоскость 5x −2y +z +15 =0.

9.

Стороны

параллелограмма

лежат

на

прямых

x − y −4 =0 и

3x + y −4 =0.Зная координаты одной из вершин А (1; 4), составить урав-

нения двух других сторон и найти координаты вершины, противолежащей вершине А.

10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а)3x2 − y2 +6x +6y −9 =0 ,

b) y =1+ 2 −x . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 26

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

x +2y −z =3

−x +4z =7 .

3x + y +4z =22

24

			0	1	2	0
								3
			−1	2	0
2. Даны матрицы А =	1 −1 3 , С =					0 , В =			1 1 0 .
	2 0 2							4	−1 −1 0
				2	1
Найти АС+3В.		1				0
3. Найти вектор x, зная, что x a, a ={1;0;1}, xr b, b ={0;2;−1},									проекция век-
тора x на вектор c ={1;2;2}равна 1.

4.	Доказать, что четырёхугольник с вершинами А (1; 2; 0), В (5; 2; 6),
	С (3; 0; 3), D (-1; 0; -3) является параллелограммом. Найти его площадь.
5.	Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах							r	r
								a	=i −3j +k,
	r	r	r	r r	r	r	r
	b	=2i	+ j	−3k, c	=i	+2 j	+k.

6.Лежат ли точки А (0; 0; 2), В (4; 2; 5), С (12; 6;11) на одной прямой?

7.Проверить, могут ли точки А (0; 0; 2), В (3; 0; 5), С (1; 1; 0) и D (4; 1; 2)

служить вершинами тетраэдра. В случае положительного ответа составить уравнение грани АВС.

8.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (-2; 3; 7) парал-

2x + y −z =0

лельно прямой 4x − y +3z −7 =0.

9. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2x − y +5 =0 и x −2y +4 =0. М (1; 4) – точка пересечения его диагоналей. Составить

уравнения двух других сторон параллелограмма и найти длины его высот. 10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) 25x2 −4y2 +50x +64y −331=0;

b) x =−2	9 + y2 . Изобразить эти линии на чертеже.
3
	Вариант 27

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

2x + y −z =−6

3x +4y +5z =8.

x − y −z =−3

						2	−3
		−3	1	4
						, В = 4	−8 . Найти АВ и ВА.
	2. Даны матрицы А =
		2	7	−1
						7	5

25

3. В треугольнике АВС вершины имеют координаты: А (1; 3; 4), В ( 32 ; 3; 12 ),

С (8; 3; 5). Найти острый угол между медианой ВD и стороной АС.

4. Найти вектор x, зная, что x a, a ={−1;1;0}, xr b, b ={−4;−3;4}, xr образует

сосью OY тупой угол и x =27.

5.Найти объем пирамиды А1А2А3А4, если А1 (1; 2; 0), А2(3; 0; -3),

А3(5; 2; 6), А4(8; 4; -9).

x +1 y

z −2 2x − y +z −11=0

=

=

6. Будут ли прямые

и

параллельными?

3

−1

4

+

y

−

z

−

1

=

0

3x

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; -1; 5) перпендикулярно к плоскостям 3x −2y +z +7 =0 и 5x −4y +3z +1=0.

8.Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А (1; 0; -1) на прямую x −110 = y2−1 = 3z .

9.Составить уравнения сторон треугольника АВС, если известны координаты вершины А (0; 2) и уравнения высот ВН: x + y =4 и СН: y =2x.

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) y2 −4y +2x +6 =0 ,

b)y =−7 + 52 16 +6x −x 2 . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 28

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

x + y +z =25

2x +2y −3z =−15.2x − y +4z =52

				−1	2
				3	−4 , С =
2. Даны матрицы А =	2 1	−3	, В =				3	4		. Найти
−2 4		0					1	−2
				1	−2

АВС.

3. Даны точки А (-2; 3; -4), В (3; 2; 5), С (1; -1; 2), D (3; 2; -4). Вычислить npCD (AB +DB).

4.Зная две стороны AB ={−3;−2;6}, BC ={−2;4;4} треугольника АВС, вычислить длину высоты АD.

26

5. Найти объём пирамиды, построенной на векторах a ={2;3;5}, b ={1;1;1} и c ={−1;3;−1}. Является ли треугольник, построенный на векторах a и c равнобедренным?

6.Даны две вершины параллелограмма АВСD: С (-2; 3; -5) и D (0; 4; -7) и точка пересечения диагоналей М (1; 2; −27 ). Составить уравнения стороны

АВ.

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (0; 1; 3) и М2(2; 4; 5) параллельно оси OX. Построить её.

8.На оси OY найти точку, отстоящую от плоскости 3x −2y +6z −11=0 на

расстоянии d =3.

9. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: x +2y =4 и x +2y =10и уравнение одной из его диагоналей:

y = x +2.

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) x2 −12x −4y +32 =0 ,

b) y = −53 9 −x2 . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 29

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

3x + y −z =7
2x +2y −3z =−15.
−x − y +4z =40
					1	−5	4
				, В = −3			1 . Найти АВ.
2. Даны матрицы А =	2	3	−1			0
0		1	4		4	3
							1

3. Проверить, могут ли векторы ar =7i +6 j −6k и b =6i +2 j +9k быть рёбрами куба. В случае положительного ответа, найти третье ребро куба.

4.В треугольнике с вершинами А (4; -14; 8), В (2; -18; 12), С (12; -8; 12)

найти длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.

5. Какую тройку образуют векторы ar =2i −3 j +k , b =i + j −k , cr =4i −8 j −k ? Найти npcv(ar×3b) .

x − y +3z −7 =0

6. Составить параметрические уравнения прямой 2x + y −z +2 =0.

27

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Р (2; 0; -1) и Q (1; -1; 3) перпендикулярно к плоскости 3x +2y −z +5 =0.

8. Вычислить расстояние между плоскостями 11x −10y −2z −4 =0, 22x −20y −4z +7 =0 .

9. Даны две вершины треугольника АВС: А (-4; 3) и В (4; -1) и точка пересе-

чения его высот М (3; 3). Найти координаты вершины С. 10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) x2 −4y2 +2x +72y −327 =0,

b) x = −2 y +1 +6 . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 30

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

2x − y +4z =17

x + y −z =1 .x +2y −2z =2

	3	1		−3		8
2. Даны матрицы А=	−3	6		, В=	4	−2
							, С=		3 5 . Найти (2А-В)С.
									−2 1
	1					1
		0		7

3. Векторы	r	r		1	;3	служат сторонами треугольника
	AB = 3 j	−k	и AC = 8;
	2			2

АВС. Найти острый угол между медианой АМ и стороной АС.

4.Найти площадь четырехугольника ОАВС, если: О (0; 0; 0), А (6; -4; 0),

В(3; 0; 1), С (6; 2; 3).

5.Найти длину высоты пирамиды ОАВС, опущенную из вершины С, если:

О(0; 0; 0), А (2; 4; 0), В (2; 2; 1), С (4; 14; 9).

6.Составить уравнения прямой, проходящей через точку N (5; -1; -3) парал-

2x +3y +z −6 =0

лельно прямой 4x −5y −z +2 =0 .

7. Дана одна из вершин прямоугольного параллелепипеда А (1; 1; -1), три грани которого лежат на плоскостях 7x +6y −6z +3 =0, 6x +2y +9z +8 =0,

6x −9y −2z −10 =0. Вычислить объём этого параллелепипеда.

28

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; 3; -1) и пря-

x =t −3

мую y =2t +5 .

z =−3t +1

9.Точки А (1; 2) и С (3; 6) являются противоположными вершинами квадрата. Вычислить координаты двух других вершин квадрата.

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а)36x2 −16y2 −72x −160y −940 =0 ,

b) x = 1	49 − y2 . Изобразить эти линии на чертеже.
7

29