векторная и аналитическая геометрия ЗАДАЧИ

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Кафедра «Высшая математика»

А. И. Недвецкая

Г. А. Тимофеева Е. Г. Чеснокова

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Екатеринбург

2007

0

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Кафедра «Высшая математика»

А. И. Недвецкая

Г. А. Тимофеева Е. Г. Чеснокова

Сборникконтрольныхзаданий повекторнойалгебре

ианалитическойгеометрии

длястудентоввсехспециальностейдневногоотделения

Екатеринбург

2007

1

УДК 51(07) Н 42

Недвецкая А.И., Тимофеева Г.А., Чеснокова Е.Г, Векторная алгебра и аналитическая геометрия: сборник контрольных заданий. – Екатеринбург:

УрГУПС, 2007. -32 с.

Сборник контрольных заданий по векторной алгебре и аналитической геометрии предназначен для студентов первого курса технических и экономических специальностей. Оно содержит 30 вариантов по 10 заданий в каждом по всем темам разделов векторная алгебра и аналитическая геометрия курса «математика».

Сборник может быть использован в качестве заданий для типового расчета, а также для самостоятельной работы студентов.

Сборник контрольных заданий по векторной алгебре и аналитической геометрии рекомендован к изданию на заседании кафедры «Высшая математика» 12 января 2007г., протокол №1.

Авторы: А.И. Недвецкая, старший преподаватель каф. «Высшая математика», УрГУПС,

Е.Г. Чеснокова, ассистент каф. «Высшая математика», УрГУПС,

Г.А. Тимофеева, зав. каф. «Высшая математика», д-р физ. мат. наук, УрГУПС.

Рецензент: А.Н. Сесекин, зав. каф. «Прикладная математика» УГТУ-УПИ, проф., д-р физ. мат. наук

© Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2007

2

Вариант 1

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

3x +4y +8z =1

x −5y +2z =0 .

2x + y +6z =1

2. Даны матрицы A=

2

−1

, B=

1

−3 4

, C=

7

1 0 .

Найти AB – C.

0 3

2

1 −1

2

−2 3

3.	Даны вершины треугольника А(8, -1, -1), В(-2, -1, 4), С(1, -1, 0). Найти
	его внутренний угол при вершине С.
4.	Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ar =5i − j
	и br =ir+2 rj −2kr. Найти прbr a .
5.	Объем параллелепипеда, построенного на векторах a ={2; y;−4}, br ={0;2;5}и
	cr ={1;1;−2}, равен 5. Найти вторую координату вектора a .
6.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(1,-3, 4) параллель-
	но прямой 3x +2y −z +1=0 .

5x −2y +3z =0

7.Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OZ перпендикулярно к плоскости 2x +3y+4z-2=0.

8. Вычислить расстояние между плоскостями α:2x-3y+6z-10=0 и

β: 4x-6y+12z+15=0.

9.Даны уравнения двух сторон ромба 3x-y+1=0, 4x+y-8=0 и точка М(2,-3) пересечения его диагоналей. Составить уравнения диагоналей ромба.

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

a)9x2-16y2+36x+32y-124=0

b)y = 4 - 2 − x . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 2

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

3x + y −2z =−1

6x +5y −4z =−5.3x −3y +4z =6

3

−1		2
										−1 2
2. Даны матрицы А =			, В
	0	3		= 1	3	−2	, С =		0		.
	4			1	2	0		1		1 −1
		−2

Найти А(В – 2С).

3.Даны вершины треугольника А(1; -1; 3), В(1; 1; 2), С(-3; 0; 3). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины А.

4.Доказать, что четырехугольник АВСD является трапецией, если

AB ={1; -2; 3}, BC = {2; -1; -3}, CD ={1; 1; -6}.

5.	На оси OY найти точку D такую, чтобы векторы								a={4; -1; 3},
	b ={2; 0; -1} и AD , где А(2; -6; 4), лежали в одной плоскости.
6.	Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
		x −1			y		z +2
				=		=		x − y +3z −1=0
								параллельно прямой		.
	2				3		−1
								x + y +z +2 =0

7.Найти проекцию точки Р(0; -5; 10) на плоскость 2x – 3y + 4z +3 = 0.

8.На оси OX найти точку, отстоящую от плоскости 9x – 2y +6z – 3 = 0 на расстоянии d=3.

9.Составить уравнения сторон прямоугольника ABCD с вершинами в точках

А(3; -1), В(2;0), С(-2;-4).

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

a)5x2 + 9y2 – 30x + 72y+144=0,

b)y = -3+ x2 + 4 . Сделать чертеж.

Вариант 3

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

3x +4y −z =−6

2x − y +5z =7 .

x +2y +z =−4

					3	−4
		−1	3
					, B= 2	−3 . Найти АВ и ВА.
	2. Даны матрицы A=			2
		4	0	1
					4	5

3.Найти единичный вектор, составляющий с осью OY острый угол, перпендикулярный векторам ar={2; -2; 1}и b ={0; 2; 1}.

4.Вычислить площадь четырехугольника АВСD, если А(2; 0; 1),

В(3; -15; 9), С(3; 0; 1), D(2; 15; -7).

4

5.	Вычислитьnpcrb и объем	параллелепипеда, построенного на		векторах
	a ,b , cr , если a ={2; -3; 3}, b ={4; 1; 5}, c ={0; 3; -4}.
6.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(-1; 2; 0) пер-
	пендикулярно к двум плоскостям: 5x + y −4z +1 =0, 2x + y −6z −3 =0.
7. Составить канонические уравнения прямой 2x −4y +3z +3 =0
			x +3y −z +4 =0.
			x =1+3t
8.	При каком значении b	прямая	y =2 −4t параллельна	плоскости
			z =3+t

5x +by −3z +1 =0?

9.Найти проекцию точки А(0; 9) на прямую, проходящую через точки В(-1; 2)

иС(3; 0).

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) 8x2 − y2 +64x +6y +127 =0 , b) y =−3− 4 −x . Сделать чертеж.

Вариант 4

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

2x +3y −z =2

4x −5y +2z =7 .

2x + y +z =0

	3	4			2	−3
									3	2
2. Даны матрицы А=	−2	5		, В=	−4	1
							, С=				.
									1	−3
	1	0				1
				2

Найти (2А – В)С.

3.Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах ar =4 j −3k и b =−2 j −k .

4.Вектор xr, коллинеарный вектору a ={1; -4; 8}, образует с осью OZ тупой угол. Зная, что x =6, найти его координаты.

5.Даны вершины треугольной пирамиды А(-2; 0; 1), В(4; -1; 3), С(-2; 1; 4),

D(1; 1; 1). Вычислить ее объем и площадь грани АВD.

6.		Составить					уравнение плоскости, проходящей через прямую
	x +1		=	y −2	=	z			перпендикулярно к плоскости x − y +2z −4 =0 .
						−3
2		1
									5

	x −2		y +1 z −5			x	−4y +5z −1		=0
		=		=
7. Будут ли прямые						и				перпендикуляр-
	5		1		−2			=0
						2x − y +z

ными?

x =t +1

8. Найти проекцию точки Р(1; 2; 1) на прямую y =−t .

z =2t −3

9.Составить уравнения высоты АН и медианы АМ треугольника с вершинами

вточках А(1; -4), В(-1; 3), С(5;7). Сделать чертеж.

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) y2 −4y +2x +6 =0,

b) y =5 +2 6x −x2 . Сделать чертеж.

Вариант 5

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

x −3y −3z =0

3x +3y −4z =−1.

2x +6y +z =−3

			1 −3 2			2	−3
2.	Даны матрицы А=		2	1	0 , В= 4		2 . Найти АВ.
			−4 3 5			7	−1
3.	Вычислить площадь треугольника АВС, если AB = {5; 1; 1},
	AC ={2; 2; 0}. Найти координаты вектора BC .
4.	Доказать, что четырехугольник с вершинами А(1; 0; 1), В(4; -6; 7),
	С(8; 1; 3), D(5; 7; -3) является ромбом. Будет ли он квадратом?
5.	Объем параллелепипеда, построенного на векторах a = { -3; 3; z}
	b ={2; 1; 0}и cr ={4; 5; 2}, равен 6. Найти третью координату вектора a .
6.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2; -1; 3) пер-
					+2y	−3z −1	=0 .
	пендикулярно к прямой x
				2x + y +z =0
7.	Составить	уравнение			плоскости,		проходящей	через	прямые

x =−2t +3 x2−1 = 3y = z−+12, y =−3t +1 .

z =t −1

6

8. На оси OY найти точку, отстоящую от плоскости 2x −10y −11z +5 =0 на расстоянии d = 1.

9.Точки А(-1; 3) и В(3;-5) являются противоположными вершинами квадрата. Составить уравнения его диагоналей.

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) x2 −3y2 −6x −6y −6 =0,

b) y =1− 3−x. Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 6

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

3x + y −z =0x − y +3z =2 .

2x +2y −z =7

2.Даны матрицы А= 2

4

	2		1
						3
		3
−1 3 , В=			−1 , С=				−2 . Найти АВС.
2 0						1	2
			2
	4

3.Даны два вектора AB ={-4; 8; -1} и BC = {-2; 16; 1}, совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти угол между стороной АВ и медианой, проведенной из вершины В.

4.Даны три последовательные вершины параллелограмма A (2; -1;3),

B (1; -3; 3), C (4; 1; 6). Вычислить его площадь и найти координаты четвертой вершины D.

5. Векторы a ={-3; 5; 1}, b ={4; -7; 2} и c ={5; -9; z} лежат в одной плос-

кости. Найти третью координату вектора c.

x −3y −2z −5 =0

6. Лежит ли прямая 2x −4y −z −4 =0 в плоскости x − y +z +1=0?

7. Составить				уравнение			плоскости,	проходящей	через	прямую
	x +2	=	y −4	=	z +5	параллельно к оси OZ.
3					−3
		1

8.Две грани куба лежат на плоскостях 4x + y −8z −13 =0, 4x + y −8z +5 =0. Вычислить объем куба.

9.Даны уравнения высот треугольника АВС: x +2y +4 =0, 3x − y −9 =0 и

координаты его вершины А (1; 3). Составить уравнения сторон АВи АС.

10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) x2 +4x + y +7 =0 ,

7

b) y =1+ 4x −x2 . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 7

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

x +4y +z =6x +3y +2z =1 .

3x +4y −z =2

	2	1
2. Даны матрицы А=	−3	2	,
	4	1

	2			2	0
В=		−1 , С=				. Найти АВС.
5		3	−1 3

3. Доказать, что диагонали четырехугольника АВСD перпендикулярны, если

AB =2i − j +3k , BC =3i +4 j +k , CD =−i −6 j .

4.Вектор xr, коллинеарный вектору a ={10; -2; -11}, образует с осью OХ тупой угол. Зная, что x =3, найти его координаты.

5.Даны вершины треугольной пирамиды А (1; 4; -1), В (4; 4; -3), С (1; 8; 2),

D (1; 5; 4). Найти длину ее высоты, опущенной из вершины D.

6. Даны вершины треугольника А (1; -2; -3), В (4; 0; -1), С (3; 4; 1). Составить уравнения его медианы, проведенной из вершины В.

7. Будет ли прямая				=0	перпендикулярна к плоскости
	4x +2y −3z +1
	x	− y −z +2	=0

5x − y +6z −4 =0 ?

8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OY параллельно

x =2t −1

прямой y =t +3 .

z =−t +1

9.Вычислить расстояние между прямыми 2x + y +3 =0, 2x + y −7 =0.

10.Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) x2 −8y2 −6x −16y +9 =0 ,

b) y =3+ x +2. Изобразить эти линии на чертеже.

8

Вариант 8

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

3x −2y +z =6

x +4y −z =−7 .

5x −8y +z =9

2. Даны матрицы А=

					1	4	−5
	2	1
					−2	0	1	. Найти АВ.
			−3 , В=
1		3	0
					3	4	1

3.Даны вершины треугольника А (2; -5; 1), В (2; -4; -1), С (2; -7; 0). Опре-

делить его внешний угол при вершине В.

4.Три последовательные вершины трапеции находятся в точках А (1; -3; 1),

В(-1; 1; 5), С (0; 1; 1). Найти координаты четвертой вершины D, если

длина основания АВ в два раза больше длины основания DC. Вычислить

npAB AD .

5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

ar={2; 2; -3} и b ={4; 2; 0}. Лежат ли векторы a , b и cr ={0; -1; 3} в

одной плоскости?

6.Найти проекцию точки Р (1; -2; 1) на плоскость x −3y +2z +5 =0.

7.На оси OZ найти точку, отстоящую от плоскости 8x −9y +12z −2 =0 на

расстоянии d =2.

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

x −3y +z +1=0

и точку М (4; 0; -1).3x −2y −z −5 =0

9. Даны две вершины треугольника АВС В (-1; 2) и С (2; 1); его высоты пе-

ресекаются в точке N (0; 3). Составить уравнение высоты АН.

10. Установить, какие линии определяются уравнениями:

а) x2 + y2 +4x −6y +4 =0 ,

b) y =1+ x2 +2x . Изобразить эти линии на чертеже.

Вариант 9

1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом

3x

2x

2x

+5y −2z =1

−y −3z =4 .

+ y −z =0

9