Математика ч

Теперь найдем частное решение нашего уравнения, подставив начальные условия: 1 = (0 +C)e0 C =1. Окончательный ответ имеет вид: y = (x2 +1) e−x 2 .

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида

y′′+ py′+ qy = 0 ,

(5.1)

где p, q – действительные числа, называется однородным дифференциальным

уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим для уравнения (5.1) характеристическое уравнение

k 2 + pk + q = 0 .

(5.2)

При решении уравнения (5.2) возможны три случая, в зависимости от которых однородное уравнение (5.1) имеет различный вид решения.

1.Пусть характеристическое уравнение (5.2) имеет два различных действительных корня k1, k2 , тогда уравнение (5.1) имеет общее решение вида

y=C1ek1x +C2ek2 x .

2.Если характеристическое уравнение имеет один корень кратности 2, т. е. k1 = k2 = k , то общее решение уравнения (5.1) имеет вид

y=ekx (C1 +C2 x) .

3.Если характеристическое уравнение имеет два сопряженных комплексных корня, т. е. k1,2 =α ± iβ , то общее решение уравнения (5.1) имеет вид

y = eα x (C1 cos β x +C2 sin β x) .

Везде C1, C2 – произвольные постоянные.

11

Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида z = x +iy , где x, y – действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая равенству

i2 = −1. Такая форма записи комплексных чисел называется алгебраической формой. Число x называется действительной частью числа z и обозначается Re(z) , а число y – мнимой частью числа z и обозначается Im(z) . Действи-

тельное число является частным случаем комплексного числа при y = 0 . Числа z = x +iy и z = x −iy называются сопряженными. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части.

Арифметические операции над комплексными числами

Пусть даны два комплексных числа z1 = x1 +iy1, z2 = x2 +iy2 .

1.Суммой (разностью) двух комплексных чисел называется комплексное число

z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) +i( y1 ± y2 ) .

2. Произведением комплексных чисел называется комплексное число z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) +i(x1 y2 + x2 y1 ) .

3. Частным двух комплексных чисел называется комплексное число

z1

=

(x1 x2 + y1 y2 ) +i(x2 y1 − x1 y2 )

.

z2

x2

2 + y2

2

Пример 1. Даны два комплексных числа z1 = 2 +5i и z2 = 3 − 4i .

Найти z ± z

, z z

,

z1

.

1

2

1

2

z2

Решение

z1 + z2 = 2 +3 +i(5 − 4) = 5 +i .

z1 − z2 = (2 −3) +i(5 + 4) = −1 +9i .

z z

2

= (2 +5i)(3 − 4i) = 6 +15i −8i − 20i2

= 26 + 7i .

1

z1

=

2 +5i

=

(2 +5i)(3 + 4i)

=

z2

3 −4i

(3 −4i)(3 + 4i)

=

6 +15i +8i + 20i2

=

−14 +

23i

= −0,56

+0,92i .

9 −16i

2

25

12

Приведём несколько примеров решений однородных дифференциальных уравнений второго порядка на рассмотренные выше случаи.

Пример 2. Найти общее решение уравнения y′′− 2 y′−3y = 0 . Решение. Составляем характеристическое уравнение

k 2 − 2k −3 = 0 .

Находим его корни: k1 = −1, k2 =3. Так как они действительные и различные,

то общее решение запишем:

y = C1e−x +C2e3x .

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения

y	′′	−	2y			′	+ y = 0,	y(0) =1,			′
											y (0) =1.
Решение. Составим			соответствующее характеристическое уравнение
k 2 − 2k +1 =0. Его корни будут равны								k = 2 ±			4 − 4 =1. Общее решение од-
								1,2		2
					= e1 x (C +C
нородного уравнения равно				y					2	x) .
							1

Ищем частное решение данного уравнения. Для этого найдем первую производную от найденного общего решения:

y′= ex (C1 + C2 x) + ex (C2 ) .

Подставим начальные условия в найденное общее решение и его производную. Получим следующую систему для нахождения постоянных C1, C2 :

1 = e0 (C1 +C 2 0);

1 = e0 (C1 + C2 0) + e0 (C2 ),

или C1 =1, 1 = C1 + C2 , откуда C2 = 0 . Теперь частное решение исходного уравнения y = ex .

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′−3y′+ 25y = 0.

Решение.	Составим	соответствующее	характеристическое уравнение
k 2 −3k + 25 = 0 .	Ищем его	корни: k = 3 ±	9 − 25 = 3 ± 4i =1,5 ± 2i . Корни
		1,2	2	2

комплексные, тогда общее решение дифференциального уравнения ищем согласно третьему случаю: y = e1,5x (C1 cos 2x +C2 sin 2x).

13

6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида

y′′+ py′+ qy = f (x)

(6.1)

называется неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с

постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (6.1) равно сумме общего решения y соответ-

ствующего однородного уравнения (5.1) и какого-либо частного решения y неоднородного уравнения, т. е.

			y =				+ y .	(6.2)
						y
Вид частного решения устанавливается по виду правой части								f (x)
уравнения (6.1).
	Вид правой части						Вид частного решения
	1.	f (x) = Aeα x			y* = Bek x , если k – не корень урав-
				нения (5.2);
					y* = Bek x x , если k – корень уравне-
				ния (5.2) кратности 1;
					y* = Bek x x2 , если k – корень урав-
				нения (5.2) кратности 2
	2.	f(x) = A			y * = C , если «0» – не корень
				уравнения (5.2);
					y* = xC , если «0» – корень урав-
				нения (5.2) кратности 1
Пример 1. Решить уравнения: а) y′′−2y′ = 4ex ; б) y′′− 4 y′+ 4 y = 6 .
Решение
а) y′′−2y′ = 4 .		Сначала	решаем			соответствующее однородное		уравнение
y′′−2 y′ = 0. Составим характеристическое уравнение k 2 − 2k =0 .								Оно имеет
два корня k1 = 0,		k2 = 2 .	Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y = C1e0x +C2e2x = C1 +C2e2x . Далее ищем частное решение исходного неод-

14

нородного уравнения по виду правой части: f (x) = 4ex . Число «1» не является корнем характеристического уравнения. Следовательно, вид частного решения неоднородного уравнения y* = Aex . Определим значение неопределенного ко-

эффициента

А.

Для

этого найдем

производные

от

частного

решения:

( y

)

′

=

Ae

x

,

( y

*

)

′′

=

Ae

x

. Подставим

( y

*

′

( y

*

)

′′

в

исходное

уравнение

) ,

Ae x

− 2 Ae x

= 4e x . Отсюда A = −4 и y* = −4ex . Тогда общее решение неодно-

родного уравнения равно y =

+ y* = C +C

e2x −4ex ;

y

2

1

б) y′′− 4 y′+ 4 y = 6 .

Находим общее решение однородного уравнения:

y′′−4y′+ 4y = 0 . Характе-

ристическое уравнение имеет вид k 2 − 4k + 4 =0 или k

= 2 . Тогда общее ре-

1,2

шение

однородного

уравнения

= e2x (C +C

x) .

Ищем частное

решение,

y

2

1

учитывая, что f (x) = 6. Так как ноль не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

y * = A.

Находим

постоянную

А.

( y* )′ = ( y )′′ = 0 .

Подставим

y

*

, ( y

*

′

( y

*

)

′′

в исходное уравнение

0 −4 0 + 4A = 6 , откуда

4A = 6 и

) ,

A =1,5. Частное решение равно y * =1,5. Окончательно имеем общее решение

y = e

2x (C +C

2

x) +1,5 .

1

Пример 2.

Найти частное решение уравнения

y′′+ y′−2 y = e2 x , удовле-

′

творяющее начальным условиям y(0) = 0, y (0) =1.

Решение.

Найдём сначала

общее решение

однородного

уравнения

y′′+ y′− 2 y = 0 . Характеристическое уравнение имеет вид:

k 2 + k − 2 = 0 , его

корни вещественные числа k1 =1,

k2 = −2 . Поэтому общее решение однород-

ного уравнения:

= C e−2 x +C

ex .

y

1

2

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y = A e2 x .

Найдем производные ( y

)

′

= 2A e

2 x

,

( y

′′

= 4A e

2 x

. Подставим в исходное

)

уравнение 4A e2 x + 2A e2 x −2A e2 x

= e2 x ,

отсюда

A =

1

.

Тогда y

=

1

e2 x .

4

4

Общее

решение

исходного

уравнения

имеет

вид

y =

+ y = C e−2 x +C

ex

+

1

e2x

. Теперь найдем частное решение, исполь-

y

1

2

4

1

1

зуя начальные условия y(0)

= C e−2 0 +C

e0

+

e2 0 = C +C

2

+

;

1

2

4

1

4

15

y

′

= (C1e

−2x

+C2e

x

+

1

e

2x

′

= −2C1e

−2 x

+C2e

x

+

1

e

2 x

)

;

4

2

1

1

′

−2 0

+C2e

0

+

e

2 0

= −2C1 +C2

+

.

Так

′

=1,

y (0) = −2C1e

2

2

как y(0) = 0, y (0)

то

получим

систему

уравнений

для

определения постоянных

C

+ C

2

+ 1 = 0;

= −

1

;

1

4

C

4

Тогда частное решение исходного уравне-

1

1

− 2C1 + C2 +

2

=1

C2

= 0.

1

1

ния имеет вид: y

= −

e

−2x

+

e

2x

.

4

4

РЯДЫ

1. Основные понятия

Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел:

∞	+u2	+u3 +K+un +K
∑un = u1			(1.1)
n=1

где u1, u2 ,K – действительные числа, называемые членами ряда; un называет-

ся общим членом ряда.

Сумма первых n членов ряда (1.1) называется n -й частичной суммой ря-

да и обозначается Sn = u1 +u2 +u3 +Kun .

Рассмотрим частичные суммы S1 = u1, S2 = u1 +u2 , S3 = u1 +u2 +u3 , K Если существует конечный предел S последовательности {Sn } частичных сумм, то ряд называется сходящимся, а этот предел называется суммой ряда,

т. е. S = lim Sn .

n→∞

Если lim Sn равен бесконечности или не существует, то ряд называется

n→∞

расходящимся.

16

найти значения частич-

∞ (−1)n

Пример. Для данного числового ряда ∑

n=1 2n

ных сумм S1, S2 , S3 , записать выражение для n-й частичной суммы Sn и найти сумму ряда или доказать его расходимость.

Решение

Найдем

частичные

суммы данного

ряда

S = −1

,

S

2

= −1

+ 1

= −1 ,

1

2

2

4

4

S3 = −

1

+

1

−

1

= −

3 .

Вычислим

n-ю

частичную

сумму

ряда

2

4

8

8

Sn = −

1

+

1

−

1

+

1

−K+ (−1)n

1

.

Используя

формулу

для вычисления

2

4

8

16

2n

суммы геометрической прогрессии,

у которой первый член равен

b = −1, а

1

2

−1

b (1 − qn )

−1/ 2(1 − (−1/ 2)n )

знаменатель

q =

, можно

записать Sn =

1

=

=

2

1 − q

1 − (−1/ 2)

= −

1 −

(−1/ 2)n

. Найдем предел частичных сумм

lim Sn = −

1

. Следовательно,

3

3

n→∞

ряд сходится и его сумма равна −

1 .

3

Рассмотрим необходимый признак сходимости рядов.

Теорема 1.

Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю,

т. е. lim un = 0 .

n→∞

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если lim un ≠ 0,

то ряд (1.1) расходится.

n→∞

∞

2n

Например,

исследуем на сходимость ряд ∑

. Данный ряд расхо-

4n + 6

2n

2

n=1

дится, так как lim u

n

= lim

=

= 0,5 ≠ 0 – выполняется достаточное ус-

4n +6

4

n→∞

n→∞

ловие расходимости ряда.

Особое место при исследовании сходимости числовых рядов занимает ряд геометрической прогрессии и гармонический ряд.

17

Рядом геометрической прогрессии называется ряд

b + b q + b q2 +K+ b qn +K (b ≠ 0) ,

(1.2)

1

1

1

1

1

который сходится при

q

<1, его сумма равна

b1

,

1

− q

и расходится при

q

≥1, так как

lim Sn не существует или равен бесконечно-

n→∞

сти.

Например, исследуем на сходимость числовой ряд ∑∞ 4 n . Он сходится, n=1 7

так как это сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у

которой первый член равен b1 = 74 , а знаменатель равен q = 74 . Следовательно,

сумма ряда равна Sn =			b1	= =			4 7	= 4 .
	1		− q		1		− 4 7
								3
Примером расходящегося ряда может служить ряд ∑∞ (2)n . Поскольку
										n=1
знаменатель геометрической прогрессии равен q = 2 , то ряд расходится.
								∞	1	;
Гармоническим рядом называется ряд вида ∑
								n=1 n

обобщенным гармоническим рядом называется ряд вида:

∑ 1		=1 + 1 + 1				+K+ 1 +K,			(1.3)
∞
n=1	nk		2k		3k		nk

где k – вещественное число. Причем, обобщенный гармонический ряд (1.3) сходится при k >1 и расходится при k ≤1.

∞ 1

Например, ряд ∑ – сходится, так как является обобщенным гармо-

n=1 n2

ническим рядом, у которого степень знаменателя равна k = 2	∞		1
	, а ряд ∑
	n=1		n

расходится, так как k =1/ 2 .

18

2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Необходимый признак сходимости ряда не позволяет судить о сходимо-

сти всех рядов. Примером может служить гармонический ряд ∑∞ 1 .

n=1 n

С одной стороны, предел общего члена ряда un = 1n при n → ∞ равен нулю, а с

другой – этот ряд является расходящимся (это можно доказать). Далее рассмотрим достаточные признаки сходимости для числовых рядов. Будем предпола-

∞

гать, что ∑vn – эталонный ряд, т. е. ряд, о сходимости или расходимости кото-

n=1

рого нам уже известно. Например, в качестве эталонного ряда часто рассматривают гармонический ряд или ряд геометрической прогрессии.

Признак сравнения 1

		∞				∞
	Пусть даны два знакоположительных ряда – ∑un и ∑vn .
		n=1				n=1
	Если для всех n , начиная с некоторого номера, выполняется условие un							≤ vn ,
		∞				∞
	то из сходимости ряда	∑vn следует сходимость ряда ∑un . И, наоборот,							из
		n=1			n=1
	∞			∞
	расходимости ряда ∑un	следует расходимость ряда		∑vn .
	n=1			n=1
		∞		1
	Пример 1. Исследовать на сходимость ряд ∑					.
				+3n
		n=11				∞	1
	Решение. В качестве эталонного ряда рассмотрим ряд vn = ∑							, кото-
							3n
						n=1			1
	рый сходится, так как является геометрической прогрессией, у которой							q =		.
									3

Сравним общие члены рядов. Очевидно, что для них выполняется соотношение

	1	<	1	. Следовательно, по признаку сравнения 1 исходный ряд сходится.
	1 +3n		3n

Признак сравнения 2

∞

Пусть даны два знакоположительных ряда – ∑un

n=1

∞

и ∑vn .

n=1

19

						un	∞	∞
	Если существует предел lim						= k ≠ 0 , то ряды ∑un , ∑vn сходятся или рас-
					n→∞ vn		n=1	n=1
	ходятся одновременно.						∞	1
										.
			Пример 2. Исследовать на сходимость ряд ∑
							n=1 3	n +1 + 2		∞	1 , кото-
			Решение. В качестве эталонного ряда рассмотрим ряд vn = ∑
	рый			расходится,	так как		k =1/ 3 . Рассмотрим			n=1	3 n
		u							предел отношения
	lim		n	3 n	=1 ≠ 0.		Следовательно, по признаку сравнения 2 ис-
				= lim
	n→∞ vn			n→∞ 3 n +1	+ 2

ходный ряд тоже будет расходиться.

Рассмотрим признак, который применяется к исследованию преимущественно числовых рядов, общий член которых содержит выражения вида an или

∞	2	n	∞	2n +1
n!. Например, ∑			, ∑			и т. д.
				(n − 2)!
n=1 n + 2n2			n=1

Признак Даламбера. Пусть дан знакоположительный ряд

∞

∑un = u1 +u2 +u3 +K+un +K

n=1

и существует конечный или бесконечный предел

lim

un+1

= k .

un

n→∞

Тогда ряд сходится при k <1 и расходится при k >1.

∞

2

n

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

∑

.

n=1 1 − n2

Решение. Запишем

un =

2n

,

un+1 =

2n+1

.

1 − n2

1 −(n +1)2

Находим предел k = lim

u

n+1

= lim

2n+1

:

2n

= lim

2n 2 (1

− n2 )

=

n→∞

un

n→∞

1

− (n +1)2

1

− n2

n→∞

2n (1 −(n

+1))2

2(1 − n2 )

1

− n2

∞

1/ n2 −1

= lim

= 2

lim

=

= 2

lim

= 2

1

= 2 .

1 −(n +1)2

− 2n − n2

−

2 / n −1

n→∞

n→∞

∞

n→∞

Так как k = 2 >1, то по признаку Даламбера ряд расходится.

20