Математика ч

2. Параболоид. Уравнение параболоида имеет вид

z = (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 ,

где (x0 ; y0; z0 ) – координаты вершины. График параболоида (рис. 2) имеет вид:

Рис. 2

3. Цилиндрическая поверхность описывается уравнением F (x; y) = 0 , т. е. не содержит переменную z . Например, x2 + y2 = 4 – цилиндр (рис. 3).

Поскольку графиком функции x2 + y2 = 4 является окружность с центром в точке (0; 0) ирадиусом R = 2 , товплоскости Oxy рисуемэтуокружность. Учи-

тывая, чтомыимеемделосфигуройвпространстве, товданномслучаеполучается, чтокакоебымызначениедля z нивзяли, унасполучаютсяокружности.

Рис. 3

31

Пример. Найти область D определения функции

z =

9 − x2 − y2

+

1

. Построить область D .

y − x2

Решение. Функция z

определена при

− x

2

− y

2

≥ 0;

2

+ y

2

≤9;

D :

9

x

2

2

> 0

.

y − x

y > x

Строим границы этой области.

Уравнением x2 + y2

= 9 описывается окружность с центром в начале ко-

ординат и радиусом 3; уравнение

y = x2 задает параболу с вершиной в начале

координат. На рис.4 парабола нарисована пунктиром, поскольку точки, лежащие на параболе, не удовлетворяют неравенству y > x2 , так как неравенство

строгое. Чтобы определить, какую часть плоскости заштриховать, необходимо взять координаты любой точки, не лежащей на границе, подставить в исходное неравенство. Если получено верное неравенство, то штрихуется та часть плоскости, в которой находилась произвольная точка. Если при подстановке получено неверное неравенство, то штрихуется та часть плоскости, которая лежит по другую сторону от границы. На рис.4 область D заштрихована.

Рис. 4.

32

2.Понятие предела функции двух переменных

ичастные производные

Для функции двух переменных введем понятие предела.

Окрестностью точки P0 (x0 ; y0 ) называется внутренность круга с цен-

тром в этой точке.

Число А называется пределом функции z = f (x; y) = f (P) при P → P0 , ес-

ли для любого положительного числа ε > 0 найдется такая окрестность точки P0 (x0 ; y0 ) , что для любой точки P (x ; y ) из этой окрестности (за исключением,

может быть,	точки P0 (x0 ; y0 ) )	выполняется неравенство		f (P) − A		< ε . При
этом пишут:	lim f (P) = A или	lim f (x, y) = A.
	P→P0	x→x0
		y→y0
Разность	f (x0 + x; y0 ) − f (x0 ; y0 ) = x z называется			частным прира-

щением по х функции z = f (x; y) в точке P0 (x0 ; y0 ) . Аналогично определяется

частное приращение по y: y z = f (x0 ; y0 + y) − f (x0 ; y0 ) .

Предел отношения частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, называет-

ся частной производной функции z = f (x; y) по данному аргументу

∂z

=

lim

x

z

,

∂z

= lim

y z

.

Используются

также

обозначения

∂x

x

∂y

y

x→0

y→0

z′x , z′y , fx′, f y′.

Полным приращение функции

z = f (x; y) в точке M (x0 , y0 )

называется

разность

z = f (x0 +

x; y0 +

y) − f (x0 ; y0 ) .

Функция

z = f (x; y) называется дифференцируемой в точкеP0 (x0 ; y0 ) ,

если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

z = A x + B y +α( x, y), где	А и В –		не зависят от ∆х и ∆у, а α(∆х,∆у) –
бесконечно малая, для которой	lim	α(	2	x,	y)	2	= 0 .
	x→0,	x		+	y
	y→0

Главная, линейная относительно ∆х и ∆у, часть приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz:

dz = A x + B y . Можно доказать, что dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy .

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти частные производные z′x и z′y для функции z = ln(x − y2 ) .

33

Решение. Чтобы найти z′x , зафиксируем переменную y (мысленно придадим ей значение, например, y = 3). Тогда

z′x = (ln(x − y2 )x′ = x −1y2 (x − y2 )′x = x −1y2 (1 − 0) = x −1y2 .

Для нахождения z′y зафиксируем переменную x . Имеем:

z′y = (ln(x − y2 )y′ = x −1y2 (x − y2 )′y = x −1y2 (0 − 2 y) = x −1y2 (−2 y).

Пример 2. Найти частные производные z′x и z′y для функции z = x sin(x + y) .

Решение. Пусть y = const , тогда
z′x = (x sin(x + y))′x = (производная	произведения)= x′ sin(x + y) +
+ x (sin(x + y))′x =1 sin(x + y) + x cos(x + y) (x + y)′x =
= sin(x + y) + x cos(x + y)(1 + 0) = sin(x + y) + x cos(x + y) .
Пусть x = const , тогда
z′y = (x sin(x + y))′y = (постоянную	x	вынесем за знак производной)=
= x (sin(x + y))′y = x cos(x + y) (x + y)′y		= xcos(x + y) (0 +1) = x cos(x + y).
Частными производными второго порядка называются частные произ-

водные, взятые по соответствующей переменной от первой производной. Например, вторая частная производная по переменной x от функции z = f (x; y)

равна

z′xx′ = (z′x )′x . Смешанной частной производной второго порядка назы-

вается

производная от функции z = f (x; y)

взятая, сначала по одной перемен-

ной, потом по другой переменной. Причем справедливо равенство

′′

′′

zxy = zyx .

Пример 3. Найти частные производные

′′

′′

′′

для функции

zxx ,

zyy

и zxy

z = xy + ln(x − y).

Решение. Первая производная по x равна

z′x = (y = const)= y +

1

,

x − y

′′

1

′

1

1

= −

.

zxx = (y = const)= ( y +

x

− y

)x = 0 −

(x − y)2

(x − y)2

Первая производная по y равна z′y

= (x = const)= x −

1

,

x − y

′′

+

−1

=

−1

.

тогда zyy = (x = const)= 0

(x − y)2

(x

− y)2

34

	′′		′ ′		1		′	1	.
Найдем смешанную производную zxy			= (zx ) y = ( y +			x − y	) y =1 +	(x − y)2
Если функция двух переменных z = f (x, y) задана неявно
F (x; y; z) = 0 ,
то ее частные производные по переменным x,				y находятся по формулам:
	F′			Fy′
z′x = −	x	;	z′y = −		.
				Fz′
	Fz′
Формула для вычисления полного дифференциала функции двух пере-
менных имеет вид
dz = z′x dx + z′y dy ,									(2.1)
или
dz = dx z + d y z .

Здесь dx z – частный дифференциал функции по переменной x .

Одним из геометрических приложений частных производных функции трех переменных является понятие касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности в некоторой точке. Пусть поверхность задана уравнением F(x; y; z) = 0 , функция F (x; y; z) дифференцируема по всем переменным. То-

гда в точке M (x0 ; y0 ; z0 ) , принадлежащей данной поверхности, можно провес-

ти касательную плоскость. Прямая, перпендикулярная касательной плоскости,

называется нормальной прямой или нормалью.

	Уравнение касательной плоскости к поверхности F(x; y; z) = 0 в точке
M (x0	; y0 ; z0 ) имеет вид
	Fx′(x0 ; y0 ) (x − x0 ) + Fy′(x0 ; y0 ) ( y − y0 ) + Fz′(x0 ; y0 ) (z − z0 ) = 0 .							(2.2)
	Уравнения нормальной прямой к поверхности F(x; y; z) = 0 в							точке
M (x0	; y0 ; z0 ) имеют вид
		x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.	(2.3)
		Fx′(x0 ; y0 )		Fy′(x0 ; y0 )		Fz′(x0 ; y0 )

35

Пример. Найти уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности z2 − x2 − y = 4 в точке (0;0;−2) .

Представим уравнение поверхности в виде F (x; y; z) = 0 . Имеем

F (x; y; z) = z2 − x2 − y − 4 .

Найдем частные производные функции F(x; y; z) в точке (0;0;−2) :

Fx′ = −2 x , Fx′(0;0;−2) = −2 0 = 0; Fy′ = −1, Fy′(0;0;−2) = −1;

Fz′ = 2 z , Fz′(0;0;−2) = 2 (−2) = −4 .

Подставим в уравнения (2.2), (2.3), получим

0 (x −0) +0 ( y −0) − 4 (z + 2) = 0, − 4 z −8 = 0 или z + 2 = 0– уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке (0;0;−2) ;

x − 0	=	y − 0	=	z + 2	– уравнения нормальной прямой.
0				− 4
	0

3. Экстремум функции двух переменных

Точка P0 (x0 ; y0 ) называется			точкой локального максимума функции
z = f (x; y) , а	значение функции в ней z0 = f (x0 ; y0 ) – максимумом, если су-
ществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P0 (x0 ; y0 )						из этой
окрестности,	отличных	от	P0 (x0 ; y0 ) ,	выполняется	неравенство
f (x, y) < f (x0 , y0 ) .			точкой локального минимума функции
Точка P0 (x0 ; y0 ) называется
z = f (x; y) , а	значение функции в ней z0 = f (x0 ; y0 ) – минимумом,					если су-
ществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P (x ; y )						из этой
окрестности,	отличных	от	P0 (x0 ; y0 ) ,	выполняется	неравенство
f (x, y) > f (x0 , y0 ) .
Точка, в которой обе частные производные равны нулю, т. е. ∂f					= 0,	∂f = 0 ,
				∂x		∂y

называется стационарной точкой функции z = f (x; y) .

Экстремум функции z = f (x, y) находят, пользуясь следующими правилами:

36

1.Функция z = f (x, y) должна быть дифференцируема по перемен-

ным x, y .

2.Находим точку M (x0 ; y0 ) (точки) возможного экстремума, решая

z′x = 0

систему двух уравнений: z′y = 0 . Иными словами, ищем стацио-

нарные точки.

3.Находим значения вторых частных производных в точке возможно-

го экстремума M (x0 ; y0 ) :

A = fxx′′(x0 ; y0 ),

B = fxy′′(x0 ; y0 ), C = f yy′′(x0 ; y0 ) .

4.

Составим определитель

=

A

B

= AC − B2 .

B

C

Тогда:

а) если

> 0 ,

то функция z = f (x, y) в точке M (x0 ; y0 ) имеет

экстремум, причем при А < 0 – максимум, при А > 0 – минимум;

б) если

< 0 ,

то функция z = f (x, y) в точке M (x0 ; y0 ) экс-

тремума не имеет;

в) если

= 0 , то в точке M (x0 ; y0 ) экстремум может быть, а

может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Пример.

Найти экстремумы функции z = x3 + y3 −3xy .

Находим частные производные данной функции:

z′x = 3x2 −3y, z′y = 3y2 −3x .

Найдем стационарные точки. Получим

′

2

−3y = 0;

zx = 0;

3x

M

(0;0)

и M

(1;1) .

z′y = 0

2

1

2

−3x = 0

3y

Найдем вторые частные производные исследуемой функции:

37

′′

2

′

′′

2

′

= 6 y,

′′

2

′

zxx = (3x

−3y)x = 6x,

zyy = (3y

−3x) y

zxy = (3x

−3y) y = −3.

Проведем исследования сначала для точки M1(0;0) .

Значения вторых частных производных в этой точке равны

′′

′′

′′

0 = 0.

A = zxx (M1 ) = 6 0 = 0,

B = zxy (M1 ) = −3,

C = zyy (M1 ) = 6

Составим определитель

=

A

B

=

0

−3

= −9 . Так как

< 0 , то в точке

B

C

−3

0

M1 (0;0) данная функция экстремума не имеет.

Исследуем точку M 2 (1;1) . Подставим координаты этой точки во вторые частные производные:

′′

= 6 1 = 6, B

′′

′′

A = zxx (M 2 )

= zxy (M 2 ) = −3,

C = zyy (M 2 ) = 6 1 = 6.

Тогда

=

A

B

=

6

−3

= 27 . Поскольку

= 27 > 0 и A = 6 > 0, то функ-

B

C

−3

6

ция имеет в точке M 2 (1;1)

локальный минимум. Подставим координаты точки

M 2 (1;1) в выражение функции zmin = z(M 2 ) =13 +13 −3 1 1 = −1.

4. Градиент функции двух переменных

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функций U (x, y, z) в точке M (x, y, z) , называется градиентом функции U и

обозначается gradU = ∂U ; ∂U ; ∂U .

∂x ∂y ∂z

Градиентом функции z = f (x, y) в точке M (x0 ; y0 ) называется вектор, координаты которого равны значениям частных производных z = f (x, y), вычисленных в рассматриваемой точке M (x0 ; y0 ) :

grad (z) = z′x (M 0 ) ir + z′y (M 0 ) rj

Этот вектор указывает направление и величину наибольшей скорости возрастания функции z = f (x, y) в точке M (x0 ; y0 ) . Величина скорости равна:

38

grad (z) = (z′x (M 0 )2 + (z′y (M 0 ))2 .

Пример. Для функции z = xy2 − 2x найти градиент в точке M (1;2) . Решение. Найдем частные производной данной функции

z′x = (xy2 − 2x)′x = y2 − 2 , z′y = (xy2 − 2x)′y = 2xy .

Вычислим значения частных производных в точке M :

z′x (M ) = 22 − 2 = 2, z′y (M ) = 2 1 2 = 4 .

Согласно формуле градиент данной функции в точке M равен

grad (z) = 2 ir + 4 rj или grad (z) ={2;4}.

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

1. Основные понятия

Пусть в области D плоскости Oxy задана непрерывная функция z = f (x; y) . Разобьем область D на n малых площадок si (рис. 1), причем

n

∑ si равна площади области D. В каждой площадке выберем произвольную

i =1

точку Pi (xi ; yi ) и найдем значение функции z в ней: zi = f (xi ; yi ) .

n

Составим интегральную сумму вида ∑ f (xi ; yi ) si . Если существует

i=1

предел этой суммы при условии, что каждая из элементарных площадок стягивается в точку и он не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные области, ни от способа выбора в них точкиPi (xi ; yi ) , то этот предел на-

зывается двойным интегралом от функции f (x, y) по области D и обознача-

ется ∫∫ f (x, y)ds .

D

	n
Таким образом, ∫∫ f (x, y)ds = lim ∑ f (xi ; yi ) si .
D	n→∞ i =1

39

Рис. 1

В этом случае функция z = f (x, y) называется интегрируемой в об-

ласти D ;

область D называется областью интегрирования; переменные x, y – переменными интегрирования.

Двойной интеграл вычисляется сведением к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть область D ограничена прямыми x = a, x = b и линиями, причем

ϕ2 (x) ≥ϕ1(x) . Тогда область называется правильной в направлении оси Oy .

В этом случае каждая прямая, параллельная оси Oy , пересекает границу

области не более чем в двух точках. Разобьем область прямыми, параллельными осям координат.

Разбивая область D прямыми x = xi и y = yi , получим, что область D состоит из множества частичек (рис. 2), площадь которых равна dS = dx dy .

Рис. 2

40