алгебра / дополнительная лит-ра / стукопин методичка

Доказательство.

0 a (0 0) a 0 a 0 a . Прибавим к обеим частям этого равенства элемент ( 0 a) :

0 a ( 0 a) (0 a 0 a) ( 0 a), отсюда получаем

0 0 a (0 a ( 0 a)) 0 a 0 0 a .

4) 0 0 .

Доказательство предоставляем читателю. 5) Если a 0 , то 0 или a 0.

Доказательство. Предполагаем противное: 0 и a 0 , а

a 0. Тогда существует число 1, умножив на которое получим

1 ( a) 1 0 , но тогда в силу аксиомы (v6) и уже доказанного

свойства 4) получим ( 1 ) a 0 , 1 a 0 , a 0 противо-

речие.

6) ( 1) a ( a) .

Доказательство.

a ( 1) a 1 a ( 1) a (1 ( 1)) a 0 a 0 .

Поэтому ( 1) a является противоположным к элементу a , и

в силу единственности противоположного элемента совпадает с ( a).

7)( ) a ( a);

8)( a) ( a).

Свойства 7) и 8) непосредственно вытекают из свойства 6)

иаксиомы (v6).

9)Обобщенный закон ассоциативности.

Из аксиомы (v2) по индукции можно получить, что при сложении элементов a1,a2, ,an результат не зависит от способа рас-

становки скобок в сумме. Поэтому при записи таких сумм скобки просто опускают:

a1 a2 an .

Иногда удобно использовать ещё одну операцию, не имеющую самостоятельного значения, а удобную для вычислений.

Определение 1.7. Разностью элементов называют элемент a b a ( b) .

10

(x1,x2, ,xn )

(x1,x2, ,xn )

1.3. Примеры векторных пространств

Пример 1.1. Пусть – упорядоченный набор из n вещественных чисел. Такой набор называют арифметическим век-

тором.

Рассмотрим множество Rn всех таких наборов при фиксированном n.

Введём на этом множестве операцию сложения наборов

(x1,x2, ,xn) (y1,y2, ,yn) (x1 y1,x2 y2, ,xn yn)

и операцию умножения набора на вещественное число по правилу:

(x1,x2, ,xn ) ( x1, x2, , xn ).

Непосредственной проверкой можно убедиться, что множество арифметических векторов Rn с введенными операциями удовлетворяет аксиомам (v1)–(v8) , то есть является векторным пространст-

вом. Его называют пространством арифметических векторов.

Пример 1.2. Пусть P – произвольное поле (читатель, знакомый с комплексными числами или простыми полями Галуа, может считать, что это и есть примеры полей, отличных от поля вещественных чисел, и это произвольное поле может быть одним из этих полей, а читатель, не знакомый с такими примерами, может считать, что это произвольное поле может быть просто полем рациональных

чисел, то есть множеством дробей). Рассмотрим множество Pn упорядоченных наборов элементов поля P. Вводя так же,

как и в предыдущем примере, операции сложения на Pn и умножения на элементы поля P, непосредственной проверкой убеждаемся, что Pn является векторным пространством над полем P.

Пример 1.3. Пусть Mm n – множество матриц размера m n с вещественными элементами и с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число. Непосредственно можно убедиться, что все аксиомы выполняются, следовательно, это множество с рассмотренными операциями является векторным пространством. Заметим, что если записывать матрицы не обычным способом, а в виде одной строки, располагая строки матрицы последова-

11

ak xk a1x a0

R[x]n многочленов

тельно одну за другой, то запись матрицы будет представлять собой арифметический вектор с m n координатами, и мы получим про-

странство Rmn из предыдущего примера. Тот факт, что эти пространства устроены одинаково, отражается в понятии изоморфизма, которое будет рассмотрено чуть позже.

Пример 1.4. Пространство многочленов степени не выше n. Зафиксируем некоторое целое число n 0. И рассмотрим множество

от переменной x, степени k не выше n, (k n) с вещественными коэффициентами.

Введём на этом множестве операцию сложения двух многочленов и операцию умножения многочлена на число по обычным правилам алгебры. Заметим, что операция сложения на этом множестве не выводит за пределы этого множества, так как при сложении двух многочленов степень многочлена, полученного в результате, не превосходит наибольшей из степеней исходных многочленов, и полученный многочлен принадлежит R[x]n . То есть сложение – это би-

нарная операция, определённая на R[x]n . Заметим, что и операция умножения на числа тоже не выводит за R[x]n . В качестве ней-

трального элемента 0 выступает многочлен, все коэффициенты ко-

торого равны нулю 0 xn 0 x 0 и который в силу этого просто совпадает с числом 0. А в качестве противоположного к много-

члену	p(x) a	xk a x a				выступает	многочлен
	k			1	0
( p(x)) a xk a x a			0	. Множество		R[x] с указанными опе-
	k	1				n

рациями – векторное пространство, в чём можно убедиться непо-

средственной проверкой аксиом (v1)–(v8).
	Заметим,		что	множество	многочленов	вида
a xn a x a			фиксированной степени		n 1 относительно ука-
n	1	0

занных операций сложения и умножения на число не образует векторное пространство, так как эти операции могут выводить за рассматриваемое множество. Так, при сложении двух многочленов степени равной n может получиться многочлен меньшей степени, а при умножении на число 0 получается многочлен нулевой степени.

12

1, 2, , k

Проверка всех восьми аксиом векторного пространства – процесс достаточно трудоёмкий и рутинный, поэтому мы сейчас предложим конструкцию общего характера, включающую в себя достаточно широкий класс примеров.

Пример 1.5. Пусть X – произвольное множество, а V – векторное пространство. Рассмотрим множество всех отображений M(X;V) f : X V из X в V с операциями сложения и умно-

жения на число, определенными поточечно, то есть по следующим правилам:

	( f g)(x) f (x) g(x),	f ,g M(X;V)
	( f )(x) f (x), – число.
та x	Заметим, что при каждом фиксированном значении аргумен-
	мы получаем вектор v , принадлежащий векторному простран-
ству	V , который отображение f	сопоставляет элементу x, т.е.
f
x v . Так как все такие векторы v		– это элементы векторного про-

странства, то для них выполнены все аксиомы. А поскольку операции над отображениями определены поточечно и сводятся к операциям с векторами, то аксиомы будут справедливы и для отображений. Проверим, к примеру, аксиому (v1):

( f g)(x) f (x) g(x)= g(x) f (x) (g f )(x) f g g f .

Заметим, что пространство Rn получается, если положить в качестве V R, а в качестве X отрезок натурального ряда

X1,2, ,n .

1.4.Линейная независимость. Базис

Пусть 1, 2, , k – числа, a1,a2, ,ak – векторы. Так как векторы можно умножать на числа и складывать, а в силу ассоциативности сложения скобки можно не расставлять, то по этим векторам и числам строится вектор v 1a1 2a2 kak , который

называется линейной комбинацией векторов a1,a2, ,ak , а числа называются коэффициентами этой линейной комбина-

13

ции. Про вектор v говорят также, что он раскладывается по векторам a1,a2, ,ak , а числа 1, 2, , k называют также коэффициентами разложения.

Система векторов a1,a2, ,ak называется линейно независи-

мой (л.н.з.), если равенство 1a1 2a2 kak 0 возможно лишь в случае, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю 1 2 k 0 . В противном случае система векторов называется линейно зависимой (л.з.).

Свойства линейной зависимости и независимости

1.Система, состоящая из одного нулевого вектора 0 , линейно зависима.

2.Система, состоящая из одного ненулевого вектора a1 0 ,

линейно независима.

3.Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

4.Если система векторов a1,a2, ,ak линейно зависима, и

b1,b2, ,bm

произвольные векторы, то

система

векторов

a1,

a

2, ,

a

k ,b1,b2, ,bm – линейно зависима.

5. Если система векторов

a1,

a

2, ,

a

k

линейно независима,

то линейно независима любая ее подсистема

ai

,

ai

, ,

ai

p

, ( p k ).

1

2

Система векторов a1,a2, ,an называется максимальной ли-

нейно независимой, если:

1)эта система линейно независима;

2)при добавлении любого вектора b к исходной системе

система векторов a1,a2, ,an ,b становится линейно зависимой.

Определение 1.8. Максимальная линейно независимая система векторов векторного пространства называется базисом.

Двойственным (ниже поясним, что это значит) к понятию линейной независимости является понятие полноты системы векторов.

14

Определение 1.9. Система векторов b1, ,bk называется

полной (порождающей) в векторном пространстве V , если любой вектор x этого пространства представим в виде линейной комбинации

векторов b1, ,bk : x 1b1 kbk . Отметим, что данное определение не подразумевает единственности такого представления.

Сформулируем простейшие свойства полных систем, доказательство которых оставляем читателю.

1.Если некоторая подсистема системы векторов является полной, то и вся система векторов является полной.

2.Если система векторов b1, ,bk является полной, и вектор

bi является линейной комбинацией остальных, то система векторов

b1, ,bi 1,bi 1, ,bk тоже будет полной.

Перечисленные выше свойства означают, что если к полной системе добавлять новые векторы, то полнота сохраняется, а если из линейно независимой системы исключать векторы, то линейная независимость тоже сохраняется, и в этом смысле понятия линейной независимости и полноты являются двойственными.

Предложение 1.1. Максимальная линейно независимая система является полной.

Доказательство. Действительно, если к максимальной л.н.з. системе пространства добавить произвольный вектор, то система перестанет быть линейно независимой. Это означает, что найдется

такая равная 0 линейная комбинация этих векторов, что не все коэффициенты этой комбинации равны 0 одновременно. Более того, можно утверждать, что заведомо отличен от 0 коэффициент при добавленном векторе (поскольку в противном случае мы получили бы нетривиальную, равную 0, линейную комбинацию линейно независимых векторов, что невозможно). Перенеся добавленный вектор в другую часть равенства и разделив на коэффициент, получим, что он представим в виде линейной комбинации векторов максимальной линейно независимой системы, что и означает её полноту. Предложение доказано.

Таким образом, базис представляет собой линейно независимую, полную систему векторов в векторном пространстве.

15

Лемма 1.1. Пусть каждый вектор семейства

a1, ,

a

m

ли-

нейно выражается через векторы

m n,

то

b1, ,bn . Тогда, если

семейство

a1, ,

a

m линейно зависимо.

Доказательство. Схема доказательства: из теоремы Кронек- кера-Капелли, в частности, следует, что система линейных однородных уравнений, число неизвестных которой больше числа уравнений, обязательно имеет ненулевое решение, поскольку в этом случае ранг расширенной матричной системы заведомо меньше числа неизвестных. Отсюда и вытекает доказываемое утверждение. Покажем это

подробно.

Действительно,

по

условию

существуют

такие числа

kij , (i 1,...,m , j 1,...,n ), что

a1 k11b1 k12b2 k1nbn ,

k21

k22

(1.1)

a

2

b1

b2 k2nbn ,

a

m km1

b1 km2b2 kmnbn .

Покажем теперь, что существует нетривиальная, равная

0

,

линейная комбинация векторов

a1, ,

a

m

(это и будет означать,

что

эти векторы линейно зависимы). Рассмотрим линейную комбинацию этих векторов с коэффициентами 1, , m :

1a1 2a2 mam .

Подставив сюда выражения (1.1), получим:

1a1 2a2 mam =

=1 k11b1 k12b2 k1nbn 2 k21b1 k22b2 k2nbn

m km1b1 km2b2 kmnbn .

Перегруппировав слагаемые, получим:

1a1 2a2 mam =

k11 1 km1 m b1 k1n 1 kmn m bn .

Приравняем полученную линейную комбинацию к 0 . Ясно,

что эта линейная комбинация равна 0 (нулевому вектору), если ка-

16

ждый из коэффициентов перед векторами bj равен 0. Получим сис-

тему уравнений:

k11 1 km1 m 0

		1	km2		m		0
k12
							(1.2)
k			k	mn		m	0.
	1n	1
Это система	уравнений относительно неизвестных чисел

1, , m , содержащая n уравнений с m неизвестными, причем по условию n m. Поэтому в соответствии теоремой КронеккераКапелли система (1.2) имеет ненулевое решение, то есть такое решение, в котором не все числа 1, , m одновременно равны 0. И,

следовательно, семейство векторов a1, ,am линейно зависимо. Лемма доказана.

Пусть e1, ,en – базис в векторном пространстве, а a1, ,am

– произвольное семейство векторов в этом пространстве.

Лемма 1.2. Если семейство векторов a1, ,am линейно не-

зависимо, и e1, ,en – базис, то m n.

Доказательство. Так как базис e1, ,en является полным се-

мейством, то векторы a1, ,am линейно через него выражаются.

Следовательно, по лемме 1.1, если a1, ,am – линейно независимы, то m n, и лемма доказана.

Теорема 1.1. Все базисы пространства состоят из одного и того же числа векторов.

Доказательство. Если линейно независимая система векторов a1, ,am является базисом (т.е. вдобавок и полным семейством), то в условии леммы 1.2 можно поменять местами системы векторов e1, ,en и a1, ,am , и тогда получим, что n m. Но, с другой стороны, m n в силу той же леммы 1.2. Из этих двух неравенств вытекает, что m n. Теорема доказана.

17

Определение 1.10. Число векторов базиса называется размерностью векторного пространства V и обозначается через dimV .

В силу доказанной выше теоремы это число определено корректно, то есть не зависит от выбора конкретного базиса.

Пусть e1, ,en – произвольный базис линейного пространст-

ва V . Тогда для любого вектора a V существуют такие однознач-

но определенные числа a1, ,an (индекс вверху означает номер),

что вектор a a1e1 anen . Отметим, что существование чисел

a1, ,an следует из полноты базиса, а их единственность вытекает из линейной независимости векторов базиса, о чём и сообщает следующая теорема.

Теорема 1.2. (о разложении по базису). Если e1,e2, ,en

базис векторного пространства V , то всякий вектор b

этого про-

странства

раскладывается

по

базисным

векторам

b1

b2

bn

, причём это представление единственно.

b

e

e

e

1

2

n

Доказательство. Так как система векторов e1,e2, ,en является максимальной линейно независимой системой векторов, то по-

сле добавления к ней произвольного вектора b мы получаем уже

линейно зависимую систему векторов e1,e2, ,en,b . Другими словами, найдётся такая равная нулю линейная комбинация этих векторов

b b1e1 b2e2 bnen 0 , в которой хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Нетрудно понять, что коэффициент при

векторе b не может равняться нулю, так как тогда получается равная нулю линейная комбинация линейно независимых векторов e1,e2, ,en , которая может равняться только в случае равенства нулю всех коэффициентов. Но тогда получается, что все коэффициенты

bn

линейной комбинации b b1

e

b2

e

e

0

равны нулю,

1

2

n

что противоречит предположению о том, что у этой линейной комбинации есть хотя бы один отличный от нуля коэффициент. Таким образом, мы показали, что коэффициент 0. Отсюда следует, что

18

1

(b1

b2

bn

). То есть вектор

может быть пред-

b

e

e

e

b

1

2

n

ставлен в виде линейной комбинации векторов e1,e2, ,en . Покажем теперь, что это представление единственно. Дейст-

вительно, пусть имеется два представления для вектора b :

b b1e1 b2e2 bnen 1e1 2e2 nen .

Вычитая из первого представления второе представление,

получаем что (b1 1)e1 (b2 2 )e2 (bn n )en 0. Мы получили равную нулю линейную комбинацию линейно независимых векторов. Из определения линейной независимости следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Последнее оз-

начает, что b1 1, b2 2, bn n . Другими словами, представ-

ление вектора b в виде линейной комбинации векторов базиса e1,e2, ,en единственно. Теорема доказана.

Определение 1.11. Числа a1, ,an называются координатами

вектора

a

a1

e

an

e

в базисе

e

, ,

e

.

1

n

1

n

В обозначении координат вектора мы используем верхний

индекс для обозначения номера координаты.

Пусть

и

– два вектора, а a1, ,an

и b1, ,bn

их коор-

a

b

динаты в базисе

e1, ,

en . Тогда

a

a1

e

an

e

,

1

n

b1

bn

,

b

e

e

1

n

поэтому

(a1

an

) (b1

bn

) =

a

b

e

e

e

e

1

n

1

n

(a1 b1)

e

(an bn )

e

.

(1.3)

1

n

Аналогично

a

(a1

e

an

e

) ( a1)

e

( an )

e

.

(1.4)

1

n

1

n

19