алгебра / дополнительная лит-ра / стукопин методичка

И.В. Баранов, В.А. Стукопин

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Ростов-на-Дону 2012

3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

И.В. Баранов, В.А. Стукопин

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Учебное пособие

Ростов-на-Дону 2012

4

УДК 512.64 Б 24

Рецензент	кандидат физико-математических наук, профессор
	Н.А. Поляков (ПИ ЮФУ, г. Ростов-на-Дону)

Баранов И.В.

Б24 Элементы линейной алгебры. Векторные пространства: учеб. пособие / И.В. Баранов, В.А. Стукопин. – Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2012. – 50 с.

Вучебном пособии рассмотрены начальные понятия теории конечномерных векторных пространств. Приведены наиболее важные примеры введенных понятий. Даны подробные доказательства всех сформулированных утверждений, а также алгоритмы решения основных стандартных задач.

Предназначено для студентов 1 курса специальностей «Прикладная математика» и «Компьютерная безопасность».

УДК 512.64

Печатается по решению редакционно-издательского совета Донского государственного технического университета

Научный редактор	доктор физико-математических наук,
	профессор Д.А. Пожарский

Баранов И.В., Стукопин В.А., 2012

Издательский центр ДГТУ, 2012

5

Предисловие

Данное учебное пособие является первым пособием из серии пособий, последовательно излагающих курс линейной алгебры. Пособие написано на основе опыта чтения авторами данного раздела курса алгебры, который читается, как правило, во 2-м и 3-м семестрах математическим специальностям Донского государственного технического университета. Следует отметить, что третье пособие уже написано [2], а второе и четвёртое – собираемся написать. Первое пособие посвящено теории векторных пространств, третье – теории линейных операторов, второе будет посвящено линейным и билинейным формам, а также эвклидовым и эрмитовым пространствам. В четвёртом будут рассмотрены приложения линейной алгебры, в основном, в теории дифференциальных уравнений и теории рекуррентных последовательностей. Цель, которую мы перед собой ставили при написании данного пособия, да и при написании всей планируемой серии из четырёх пособий, состоит в том, чтобы сжато и в то же время ясно изложить наиболее важные части курса линейной алгебры с тем, чтобы студент мог бы получить представление о данном разделе курса алгебры и успешно сдать экзамен по этому разделу. Мы, к сожалению, уделили несколько меньше внимания, чем планировали изначально, разбору примеров решений стандартных задач. Вероятно, это следует сделать в отдельном пособии, в большей степени ориентированном на практические занятия. Следует отметить, что, несмотря на большое количество изданной литературы, посвящённой линейной алгебре (лучшими на наш взгляд являются книги [1], [3]), нам не известно связное и сжатое изложение начальных тем курса линейной алгебры в соответствие с современным государственным стандартом дисциплины «Алгебра» по специальности «Компьютерная безопасность». Последнее и явилось причиной написания данного пособия.

3

Глава 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

1.1. Векторы

Философы говорят, что все, что нас окружает, есть материя и её движение. Математика описывает этот реальный мир на языке математических моделей. В мире, доступном восприятию наших чувств и описываемом законами классической физики (которые и составляют одну из таких математических моделей реального мира), движение твердых тел может происходить весьма сложным образом. Однако, сколь бы сложным ни было движение твердого тела, его можно в течение бесконечно малого промежутка времени представить в виде суммы всего двух простейших видов движения – параллельного переноса (трансляции) и поворота тела вокруг некоторой оси (мгновенной оси вращения) в каждый момент времени. Напомним, что движение пространства, при котором все его точки перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется па-

раллельным переносом (рис. 1).

Параллельный перенос перемещает каждую точку фигуры или пространства на одно и то же расстояние в одном и том же направлении.

Рис. 1

B1 B

a

A1 A

Рис. 2

Рассмотрим первый вид движения – трансляцию (рис.2). При этом все точки твердого тела перемещаются на одинаковое расстояние в одном и том же направлении. Для описания такого движения нет необходимости следить за всеми точками тела, поскольку все они движутся одинаковым образом, а достаточно проследить за какой-нибудь одной, произвольно выбранной точкой, например за точкой A, которая пере-

4

мещается в точку B. В этом смысле переносы AB и A1B1 неразли-

чимы: это один и тот же параллельный перенос. Его удобно изображать с помощью направленного отрезка.

Определение 1.1. Геометрическим вектором называется па-

раллельный перенос.

Про направленный отрезок AB будем говорить, что это вектор, приложенный в точке A. Точку A называют началом, а точку

B – концом вектора AB, приложенного к точке A. На рис. 2 векто-

ры AB и A1B1 , приложенные в разных точках, равны: AB = A1B1 , в

том смысле, что представляют один и тот же параллельный перенос. Заметим, что один и тот же вектор можно изобразить приложенным к любой точке. В этом смысле говорят, что векторы являются свободными – точка приложения вектора не фиксирована. Длины векторов, приложенных в разных точках и представляющих один и тот же параллельный перенос, одинаковы (как длины направленных отрезков). Поэтому можно корректно определить длину вектора как длину направленного отрезка, представляющего этот вектор в произвольно

выбранной точке. Длину вектора обозначают AB и называют моду-

лем вектора. Вектор, начало которого совпадает с его концом, назы-

вают нулевым и обозначают 0 . Отметим, что длина нулевого вектора и только его равна нулю. Направление нулевого вектора не определено. Отметим, что нулевой вектор все точки пространства оставляет на месте (или, что то же самое, каждую точку пространства переводит саму в себя), следовательно, является тождественным преобразованием. Два вектора равны, если равны их длины и направления. Для обозначения векторов также используют малые латинские

буквы с чертой наверху: AB a.

Вектор ÂÀ называется противоположным вектору AB. Дли-

на вектора ÂÀ равна длине вектора AB, а направление противоположно.

Противоположный AB вектор обозначают ( AB). Очевид-

но, что AB BA AB ( AB) 0.

5

Определение 1.2. Суммой двух векторов a и b называется их композиция (последовательное выполнение), рис. 3. Композицию

векторов a и b обозначают a b .

b

a

a b

Рис. 3

Предложение 1.1. Сумма векторов обладает следующими свойствами:

1)a b b a (коммутативность);

2)a (b c) (a b) c (ассоциативность);

3)a 0 0 a a (наличие нейтрального элемента 0 );

4)для любого вектора a существует противоположный век-

тор (

a

), такой, что

a

(

a

) (

a

)

a

0 (существование обрат-

ного элемента).

Доказательство.

1.

b

a

a

b

a

b

2.

b c

a

a b c

6

3. Доказательство непосредственно следует из определения нулевого вектора.

4.

a

( a)

Определение 1.3. Произведением вектора a на число на-

зывается вектор

a

, длина которого

a

a

, а направление

совпадает с направлением a , если 0, и противоположно вектору a , если 0.

Согласно определению, a ( 1) a . Разность векторов a и

b определяется следующим образом: a b a ( b) .

Операция умножения числа на вектор обладает следующими свойствами:

5)1 a a ;

6)( a) ( )a ;

7)( )a a a ;

8)(a b) a b

для любых векторов a и b , и любых чисел и .

Множество геометрических векторов, лежащих в одной плоскости, обозначается V2 . Множество геометрических векторов в про-

странстве обозначается V3 . Множество векторов, параллельных за-

данной прямой, будем обозначать V1 .

Итак, на множестве геометрических векторов Vk ,k 1,2,3

определены операция сложения векторов и операция умножения вектора на действительное число. Результатом этих операция является вектор из того же множества геометрических векторов, причём эти операции удовлетворяют сформулированным и доказанным выше свойствам 1) – 8).

7

Приняв эти свойства в качестве аксиом, получаем определе-

ние абстрактного векторного пространства, которое иногда еще на-

зывают линейным пространством. Итак, прежде чем сформулировать определение абстрактного векторного пространства, приведем вначале два вспомогательных определения.

Определение 1.4. Говорят, что на множестве X задана бинарная операция, если каждой упорядоченной паре элементов x1 и x2 из X поставлен в соответствие однозначно определенный эле-

мент x3	из этого же множества.	f
	Формально бинарная операция		есть отображение из де-
картова	произведения X X в X ,	т.е.	f : X X X . Иногда,

когда используют запись в стиле “арифметических действий”, бинар-

ную операцию	обозначают символами	« », «+», «*» и т.д.:
a b f (a,b).	Например, пусть X R –	множество вещественных

чисел; f – бинарная операция вычитания на этом множестве, тогда

f (a,b) a b.

Определение 1.5. Будем говорить, что на множестве X задана операция умножения на числа из поля F , если для любого числа F и любого элемента x X по определённому правилу поставлен в соответствие некоторый элемент множества X . Этот элемент обозначают x X .

Формально, операция умножения на числа из поля F есть отображение F X X . Примером может служить операция умножения матриц на числа.

Определение 1.6. Непустое множество L элементов произ-

вольной природы называется векторным пространством над полем

F , если на этом множестве L задана бинарная операция «+», называемая сложением, и задана операция умножения элементов L на числа из поля F (пока под полем F можно понимать множество вещественных чисел), и выполнены следующие условия:

(v1)

a

b b

a

, для

a

,b L;

(v2)

a

(

b

c

) (

a

b

)

c

(ассоциативность);

(v3)

a

a

a

(наличие нейтрального элемента

) ;

0

0

0

8

(v4) для любого элемента a существует противоположный

элемент ( a), такой, что a ( a) ( a) a 0 (существование

обратного элемента); (v5) 1 a a ;

(v6) ( a) ( )a ; (v7) ( )a a a ;

(v8) (a b) a b .

Позже мы приведём различные примеры векторных пространств, элементами которых могут быть объекты самой разной природы: матрицы, многочлены, функции, операторы и т.д. При этом, однако, элементы абстрактного векторного пространства часто называют векторами.

Геометрические пространства векторов Vk , k 1,2,3 над

полем вещественных чисел являются частными случаями абстрактного векторного пространства.

1.2. Простейшие свойства векторного пространства, вытекающие из определения

1.

Нулевой элемент 0 единственен.

Доказательство проведём от противного. Предположим, что

имеются

два различных нулевых элемента

2 .

Тогда

01 и

0

1

0

01 02 02 .

2.

Противоположный элемент единственен.

a

Доказательство. Предположим, что к элементу

имеются

два различных противоположных. Пусть это будут элементы

и

.

b

c

Но тогда, используя аксиому ассоциативности, получаем:

(

)

(

) ;

b

a

c

b

a

c

;

0

c

b

0

c

b

.

3.

0

a

0

.

9