алгебра / дополнительная лит-ра / стукопин методичка

Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на то же число.

Ранее мы ввели векторное пространство арифметических векторов Rn , состоящее из упорядоченных наборов чисел (a1, ,an ), над которыми определены операции покомпонентного сложения и умножения на число.

Пусть V

– пространство, а

e1, ,

en – базис в пространстве

V , который для краткости

будем обозначать одной буквой

e (

e

, ,

e

n

).

Рассмотрим отображение e , сопоставляющие век-

1

тору

a

a1

e

an

e

его координаты (a1, ,an ).

1

n

вместо обозначения e(

a

) использу-

Иногда,

для краткости,

ют обозначение (a)e . В силу отмеченных выше свойств (1.3), (1.4):

e(

a

b) e (

a

) e(b)

(1.5)

и

e(

a

) e (

a

).

(1.6)

Кроме того, отображение e

переводит разные векторы в

разные. Действительно, пусть

.

Предположим, что

a

b

(a1, ,an )

(b1, ,bn )

e(

a

) e(b),

тогда

=

и

a

a1

e

an

e

b

. Противоречие, т.е. отображение

e

– инъек-

1

n

тивно.

e сюръективно, так

Далее,

отображение

как

для любого

набора чисел

(a1, ,an )

найдется

вектор

a

такой,

что

a a1e1 anen . Так как отображение e инъективно и сюръек-

тивно, то оно является биективным (взаимно однозначным) отображением.

Биективное отображение векторного пространства V в векторное пространство U , сохраняющее операции сложения и умножения на число, называется изоморфизмом. Определенное выше отображение называется "координатным" изоморфизмом. Пространства V и U называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм. На самом деле мы доказали следующую теорему.

20

Теорема 1.3. Всякое пространство V размерности n изоморфно Rn .

Следует отметить, что в случае пространств геометрических векторов Vn размерность пространства Vn (n 1,2,3) равна n. Это мы сейчас докажем.

Определение 1.12. Два ненулевых вектора a и b Vn называются коллинеарными, если будучи приложенными к одной точке они лежат на одной прямой. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение 1.13. Три вектора a ,b ,ñ Vn называются компланарными, если будучи приложенными к одной точке они лежат в одной плоскости.

Лемма 1.3. Два вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Необходимость ( ). Дано: a и b коллинеарны. Покажем, что они линейно зависимы (л.з.).

1. Если a 0, тогда в силу свойства (3) линейной зависимо-

сти a и b линейно зависимы.

2. Если a 0 , тогда можно представить вектор b a . Для

этого достаточно положить

b

, и знак выбрать положитель-

a

ным, если векторы сонаправлены, и отрицательным, если они направлены противоположно. Следовательно, b – линейная комбина-

ция вектора a , тогда a и b линейно зависимы

Достаточность ( ). Дано: a и b линейно зависимы. Пока-

жем, что они коллинеарны. Векторы a и b линейно зависимы, следовательно, один из векторов – линейная комбинация остальных,

тогда b a , следовательно, согласно определению произведения вектора на число, будучи приложены к одной точке, они лежат на одной прямой, т.е. коллинеарны. Лемма доказана.

21

Предложение 1.3. Если V2

Лемма 1.4. Векторы a ,b ,ñ компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Необходимость ( ). Дано: a ,b ,ñ компла-

нарны.

1. Если один из векторов нулевой, пусть для определённости

это вектор a 0. Но согласно свойству (3) линейной зависимости

система,

содержащая нулевой вектор,

линейно

зависима, т.е.

a

,

b

,

ñ

линейно зависимы.

2. Пусть все векторы ненулевые. Так как

a

,

b

,

ñ

лежат в

одной плоскости, то один из них (скажем

a

) выражается через ос-

тальные

.

a

b

c

Предложение 1.2. Если V1 – множество векторов, парал-

лельных некоторой фиксированной прямой, то dimV1 1.

Доказательство. Возьмём a V1 такой, что a 0 , тогда система, состоящая только из одного этого вектора линейно независима.

Если взять произвольный вектор b V1 , то тогда векторы a и b коллинеарны, поэтому они линейно зависимы, следовательно, система, состоящая из вектора a , является максимальной линейно независимой системой, т.е. является полной (см. предложение 1.1) и, ввиду её линейной независимости, является базисом. Поэтому dimV1 1.

– множество векторов, парал-

лельных некоторой фиксированной плоскости, то dimV2 2.

Доказательство. Пусть векторы a и b не коллинеарны, тогда они линейно независимы. Если взять ещё один вектор, то получим в силу леммы 4 линейно зависимую систему. Поэтому система, состоящая из линейно независимых векторов a и b , является пол-

ной, то есть является базисом, поэтому dimV2 2.

Предложение 1.4. dimV3 3.

Доказательство. Три некомпланарных вектора в пространстве V3 существуют. Следовательно, существуют три линейно независимых вектора: a1, a2 , a3 .

22

0 1 1 x n xn 0 .

Пусть

a

V3 любой вектор. Тогда его можно представить

4

как линейную комбинацию векторов

a1,

a

2 ,

a

3 :

a

4 1

a1 2

a

2 3

a3 .

Следовательно, система, состоящая из линейно независимых

векторов

a1,

a

2 ,

a

3 является полной, то есть является базисом. По-

лучили, что dimV3 3.

С другой стороны, мы увидим, что примеры векторных пространств не ограничиваются пространствами геометрических векторов. Мы приведём примеры векторных пространств, базисы в которых состоят из большего, чем три числа векторов.

Пример 1.6. Рассмотрим введённое выше пространство R[x]n многочленов с вещественными коэффициентами, степени не выше n.

R[x]n p(x) anxn a1x a0		ai R .
Покажем, что одночлены (мономы)
1,x,x2, ,xn	(1.7)

образуют базис в этом пространстве. Прежде всего отметим, что вся-

кий многочлен p(x) a	n	xn	a x a R[x] можно представить
				1	0		n
в виде линейной комбинации одночленов (1.7):
p(x) a			0	1 a x a		n	xn .
				1

Тогда система одночленов (1.7) является полной. Покажем их линейную независимость. Рассмотрим их линейную комбинацию, равную нулю:

(1.8)

Правая часть этого равенства понимается как нулевой многочлен, а равенство понимается как тождественное равенство двух многочленов. Выберем n 1 различных значений аргумента x x0 ,x1, ,xn и подставим каждое из этих значений в (1.8).

23

Получим систему уравнений:

n

0

0

1x0 nx0

x

xn

0

0

1 1

n

1

x

n

n

xn

0

.

0

1

n

Эта система имеет только нулевое решение, если её опреде-

литель не равен нулю:

1

x

xn

0

0

1 x1

x1n

xj xi 0.

0 i j n

1

x

xn

n

n

Но этот определитель действительно не равен нулю, так как

xi xj в силу выбора значений аргумента. Получаем, что полная

система одночленов (1.7) линейно независима, а следовательно, является базисом. Поэтому dim(R[x]n ) n 1.

Пример 1.7. Пусть P – произвольное поле. Обозначим через P[x]n пространство многочленов с коэффициентами из поля P степени не выше n. Его определение дословно повторяет данное выше определение векторного пространства R[x]n многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше n. Так же, как и в предыдущем примере, показываем, что мономы 1,x,x2, ,xn образуют базис в векторном пространстве P[x]n . Следовательно, dimP (P[x]n ) n 1.

Пример 1.8. Пусть P, как и в предыдущем примере, произ-

вольное поле, Pn – векторное пространство арифметических векторов. Несложно проверить (оставляем эту проверку в качестве упражнения читателю), что наборы у которых на i-м месте (i 1, ,n ) стоит единица поля, а остальные элементы набора – нули, образуют базис в векторном пространстве Pn . Следовательно, dimP (Pn ) n.

24

Глава 2. ПОДПРОСТРАНСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

2.1. Определение подпространствавекторного пространства. Операции над подпространствами

Пусть P – поле (читатель может считать, что это либо поле вещественных чисел, либо поле комплексных чисел), V – векторное пространство над полем P.

Определение 2.1. Подмножество U векторного пространства V называется подпространством, если оно само является векторным пространством относительно операций, определённых в V .

Теорема 2.1. Множество X V является подпространством пространства V в том и только в том случае, если выполнены следующие условия:

1)X ;

2)из того, что x, y X , следует, что (x y) X ;

3)из того, что x X , а число P , следует, что x X .

Доказательство. Докажем достаточность. Пусть X – подпространство векторного пространства V . Значит, оно само является векторным пространством. Поэтому оно не пусто, и на нём определена бинарная операция сложения элементов (x y) X и операция

умножения элемента x X на число из поля P: x X . Достаточность доказана.

Докажем необходимость. Прежде всего отметим, что множество X не пусто (по условию) и на нём определены две операции – сложение и умножение на числа из P (в силу свойств 2) и 3) ). Выполнимость аксиом (v1) – (v8) векторного пространства вытекает из того, что множество X является подмножеством пространства V , для которого эти аксиомы справедливы. Теорема доказана.

25

Теорема 2.2. Пересечение двух подпространств является подпространством.

Доказательство. Пусть U и W подпространства векторного

пространства V . Тогда

элемент

0 U

и

0 W ,

поэтому

U W , следовательно:

0

1)

U W не пусто;

x

,

y

U

x

,

y

W , то-

2)

если элементы

x

,

y

U W , то

и

гда

x

y

U и

x

y

W ,

следовательно,

x

y

U W ;

3)

если элемент

x

U W ,

а число

P ,

то

x

U и

x

W , следовательно,

x

U и

x

W . Стало быть,

x

U W .

Доказательство завершено.

Теорема 2.3. Пересечение любого числа подпространств является подпространством.

Доказательство этого общего случая повторяет доказательство предыдущей теоремы.

Пусть U и W – подпространства векторного пространства V .

Определение 2.2. Множество U W u w| u U,w W

называется суммой подпространств U и W .

Теорема 2.4. U W является подпространством. Доказательство. В силу теоремы 2.1 достаточно проверить

условия 1) – 3).

1) U W , так как 0 0 U W ;

2) пусть z1,z2 U W , тогда z1 u1 w1 , а z2 u 2 w2 , где

u1,

u

2 U и

w

1,

w

2 W .

Найдём сумму

z1

z

2 (

u

1

w

1) (

u

2

w

2 ) =

=(

u

1

u

2) (

w

1

w

2 )

=

u

3

w

, где

u3

u1

u

2 U , а

w

3

w

1

w

2 W .

3

Поэтому

z1

z

2

u3

w

3

U W ;

3) пусть

z

U W , а число P . Тогда

z

u

w

, где

u

U ,

w

W .

Тогда

z

(

u

w

)

u

w

, причём

u

U ,

w W . Следовательно, z u w U W . Теорема доказана.

26

Теорема 2.5. dim(U W) dimU dimW dim(U W).

Доказательство. Выберем базис

e1,

e2, ,

ek

в пересечении

U W . Эта система векторов линейно независима, и её можно до-

полнить векторами

u1,

u

2, ,

u

s до базиса в U :

u1,

u

2, ,

us ,

e1,

e2 , ,

ek

w

1,

w

2, ,

w

Аналогично её можно дополнить векторами

r

до

базиса

e1,

e2 , ,

ek ,

w

1,

w

2 , ,

w

r

в W .

Покажем, что система векторов

u1,

u

2, ,

us ,

e1,

e2, ,

ek ,

w

1,

w

2, ,

w

r

(2.1)

является базисом в U W . Покажем полноту. Пусть

z

U W , то-

гда найдутся

u

U ,

w

W

такие,

что

z

u

w

.

Так

как

u1,

u

2, ,

us ,

e1,

e2 , ,

ek

– базис в U , то вектор

u

можно разложить

по базисным векторам:

u

u

2

u

2

s

u

s

e

e

e

.

1 1

1 1

2 2

k k

Аналогично

w

1

e1 2

e2 k

ek

1

w

1

2

w

2 r

w

r .

Тогда

z

u

w

1

u1 2

u

2 s

u

s ( 1 1)

e1 ( 2 2 )

e2

( k k )ek 1w1 2w2 r wr .

Полнота доказана. Докажем линейную независимость системы u1,u2, ,us ,e1,e2, ,ek ,w1,w2, ,wr . Приравняем к 0 линейную ком-

бинацию 1u1 2u2 sus 1e1 2e2 kek 1w1 2w2 rwr 0.

Тогда

1u1 2u2 sus 1e1 2e2 kek 1w1 2w2 r wr .

Левая часть этого равенства – это вектор, принадлежащий U , а правая часть – вектор, принадлежащий W , и поскольку они равны, то этот вектор принадлежит пересечению U W , а значит, он раскладывается по базису пересечения e1,e2, ,ek , то есть

1w1 2w2 rwr 1e1 2e2 kek .

Поэтому 1w1 2w2 rwr 1e1 2e2 kek 0 .

Но так как система векторов e1,e2 , ,ek ,w1,w2 , ,wr линейно неза-

27

висима (это базис в W ), то все коэффициенты этой линейной комбинации равны 0:

1 2 r 1 2 k 0.

Но тогда и

линейная комбинация 1

u1 2

u

2 s

u

s

1

e1

2

e2 k

ek

0

, и поскольку векторы

u1,

u

2, ,

us ,

e1,

e2, ,

ek

тоже

линейно

независимы

(базис в

U ), то

1

2 s

1 2 k 0.

Таким

образом,

показано,

что

все

коэффициенты

1 2 s 1 2 k = 1

2 r

0, что и оз-

начает линейную независимость системы (2.1). Таким образом, мы

показали, что dim(U W) s k r. Кроме того, по			условию
dim(U W) k, dimU s k , dimW k r .		Отсюда	следует
справедливость теоремы. Доказательство завершено.
Определение 2.3.	Говорят, что векторное пространство V
является прямой суммой	своих подпространств U	и W	(пишут

V U W ), если каждый элемент v V можно представить в виде v u w, где u U , w W , причём единственным образом.

Теорема 2.6. V U W тогда и только тогда, когда

1)V U W и

2)U W {0}.

Доказательство. Необходимость. По условию V U W , следовательно, произвольный элемент v V можно представить в виде v u w, то есть V U W . Покажем теперь, что

U W {0}. Предположим противное: допустим, что U W {0}.

Это означает, что найдётся элемент z 0, и такой, что z U W . Тогда z U и z W , и имеем v z u w ( z), где z u U ,

а w ( z) V . Таким образом, имеем, что вектор v имеет два раз-

личных представления v u w и v z u w ( z), что про-

тиворечит единственности представления.

28

Достаточность. Дано, что V U W и U W {0}. Требу-

ется доказать единственность представления:
v		u		w		.		(2.2)
Предположим, что имеется ещё одно представление
v		u1			w		1 ,	(2.3)

где u1 U , w1 W . Тогда вычитая из представления (2.2) представление (2.3), получаем 0 (u u1) (w w1). Поэтому (u u1) (w w1), но u u1 U , w w1 W . А поскольку (u u1) (w w1), то ле-

вая и правая часть – это элемент, принадлежащий U W {0}.

Следовательно, u u1 0 и w w1 0 . То есть u u1 , w w1 , а значит, представление (2.2) единственно.

Теорема доказана.

Следствие. dim(U W) dimU dimW .

Примеры подпространств

Пример 2.1. Множество векторов, параллельных прямой, проходящей через начало координат, является подпространством.

Пусть для наглядности V V2 . Фиксированную прямую обозначим l .

y l

b

a

x

a b l , a l .

29