алгебра / дополнительная лит-ра / стукопин методичка

Итак, искомый базис в пространстве решений (ФСР) нашей системы образуют векторы u1 (1, 4,3,1,0) и u2 (0, 1,0,0,1). Раз-

мерность пространства решений равна числу базисных векторов и равна 2. Всякое решение x системы представимо в виде x x4u1 x5u2 или в развёрнутой форме (для наглядности применим некоторую нестрогость – запись координат векторов в столбик):

x1				1				0
x	2				4				1
x		x		3		x		0		, где x ,x – произвольные числа.
	3		4				5		0		4 5
x4				1
x	5				0			1

Рассмотрим теперь алгоритм обратного перехода: от способа задания подпространства U с помощью линейной оболочки к способу задания подпространства с помощью однородной системы

Ax 0.

Пусть

подпространство U

задано

как линейная

оболочка

U

a1, ,

a

m

. Найдём однородную систему линейных уравнений,

множество решений которой совпадает с подпространством U . Пусть

x

(x ,x , ,x )

– произвольный вектор из Rn . Вектор

x

принад-

1

2

n

U

лежит

линейной

оболочке

тогда

и только тогда, когда

x

1

a1 2

a

2

m

a

m .

Обозначим

координаты

вектора

a

(a1

,a2, ,an ),

и для наглядности будем писать координаты в

i

i

i

i

виде столбца:

x

a1

a1

a1

1

1

2

m

x2

a12

a22

am2

1

2

m

.

a

n

a

n

a

n

xn

2

m

1

40

Это равенство равносильно системе уравнений:

a11 1 a21 2 a1m m x1

a12 1 a22 2 am2 m x2

... ... ...

a1n 1 a2n 2 amn m xn.

Приведём эту систему к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований метода Гаусса:

1

1

1

1

1

b

b

b

c x

c x

1 1

k k

m

m

1 1

n n

k

k

k

k

k

bk

bm m

c1 x1

cn xn

0

ck 1x ck 1x

1 1

n n

0

cn x

cn x .

1 1

n n

Вектор x из Rn принадлежит линейной оболочке U в том и только в том случае, когда он является решением этой системы. А эта система имеет решение в том и только в том случае, когда вектор x является решением однородной системы

0			c1k 1x1	cnk 1xn
	0		cn x	cn x .
			1 1		n n

Это и есть искомая однородная система, множество решений которой совпадает с подпространством U , как мы только что показали.

2.4.Нахождение базиса и размерности

всумме и пересечении подпространств

Рассмотрим сначала алгоритм нахождения базиса и размерности в сумме подпространств.

1. Пусть подпространства U и W заданы как линейные обо-

лочки: U a1, ,am , W b1, ,bk в векторном пространстве V

41

конечной размерности n, и пусть e (e1,e2, ,en ) – его базис. То-

гда, раскладывая векторы ai и bj по базисным векторам e1,e2, ,en ,

перейдём к координатному представлению, то есть вместо подпро-

странств U и W рассмотрим линейные оболочки

a1 e , ,

a

m e и

b1

, ,

bk

, являющиеся подпространствами арифметического

e

e

векторного

пространства

Pn .

Для краткости обозначим

Ue

a1 e , ,

a

m e

и

We

b1 e , ,

bk e

. Тогда имеем

Ue We a1 e , , am e , b1 e , , bk e , и задача нахождения базиса и размерности суммы подпространств сведена к рассмотренной выше задаче нахождения базиса и размерности в линейной оболочке арифметических векторов.

2. Пусть одно или оба подпространства заданы как множество решений однородной системы. Пусть для определённости подпро-

странство U		x	Pn	Ax
					0			совпадает с пространством решений

однородной системы линейных уравнений Ax 0. Используем алгоритм перехода к способу задания этого подпространства как линейной оболочки фундаментальной системы решений (алгоритм изложен выше в 2.3). Если W задано как линейная оболочка, то задача сведена к п.1, иначе переходим к способу задания W с помощью линейной оболочки.

Рассмотрим теперь алгоритм нахождения базиса и размерности в пересечении подпространств.

1.Пусть сначала оба подпространства заданы как множество решений линейных однородных систем уравнений. Тогда всякий вектор, принадлежащий пересечению подпространств, с одной стороны, принадлежит первому подпространству, то есть является решением первой системы, а с другой, принадлежит второму подпространству, то есть является решением второй системы, и, следовательно, является решением обеих систем. Поэтому в этом случае строим однородную систему, являющуюся объединением двух упомянутых выше линейных однородных систем. Найдём фундаментальную систему решений в пространстве решений этой системы, используя описанный

42

выше алгоритм. Сама фундаментальная система и будет искомым базисом в пространстве решений, а число элементов в ФСР и будет искомой размерностью пересечения подпространств.

2. Если одно из подпространств (или оба) задано как линейная оболочка системы векторов, то предварительно, используя описанный выше в предыдущем параграфе алгоритм, перейдём к способу задания подпространства как пространства решений линейной однородной системы уравнений, то есть сведём решение задачи к решению задачи, рассмотренной в пункте 1.

Таким образом, получаем короткое описание алгоритмов нахождения суммы и пересечения подпространств в следующей символической форме:

U a1, ,am , W b1, ,bk

тогда

U W a1, ,am,b1, ,bk

U : Ax 0 ,

W :Bx 0

тогда

U W : Ax 0

Bx 0

Рассмотрим примеры нахождения суммы и пересечения подпространств.

Пример 2.7. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств U и W , если подпространство U задано как множество решений однородной системы уравнений

2x1 x2 x3 x4 x5 0
	x2	2x3	x4 x5 0,	(2.6)
x1
x	x	2x	0
1	3	4

а подпространство W задано линейной оболочкой системы векторов

W	w	,	w	,	w	,	w	(1, 3,3,1, 1)	,	w	(1, 2,3,1, 2)	,	w	(1,2,1,1,1) .
1			2		3	1			2			3

43

				Зададим подпространство U линейной оболочкой,																																						для этого
построим								ФСР системы											(2.6) (см.											пример						2.6		в			§3).	Получим
U				u1,	u	2			, где				u1		(1, 4,3,1,0),											u		2		(0, 1,0,0,1).
				Итак,											W				w	1,		w	2 ,	w	3		,								U		u1,		u	2	.	Тогда
U W							u1,			u2 ,		w	1,	w		2,	w	3	. Найдём базис в получившейся линейной
оболочке согласно алгоритму, описанному выше.
1		4 3 1								0						Ñ3 Ñ1 Ñ3										1					4			3 1 0
	0	1 0 0						1								Ñ4 Ñ1 Ñ4											0				1			0 0 1							Ñ3 Ñ2 Ñ3
											~																											~
																Ñ5 Ñ1 Ñ5
1		3 3 1							1																	0 1								0 0 1							Ñ4 2Ñ2 Ñ4
	1	2 3 1							2																		0 2							0 0 2							Ñ5 6Ñ2 Ñ5
	1 2 1 1							1																			0 6							2 0 1
1		4 3						1 0																				1 4							3 1 0
	0	1 0						0 1								C3 Ñ5														0 1				0		0 1
											~
0 0 0								0 0																				0 0							2	0 7
	0 0 0							0 0																						0 0				0 0 0
	0		0 2					0 7																						0 0				0 0 0
				Ненулевые												строки							полученной												матрицы						(1, 4,3,1,0),
(0, 1,0,0,1) , (0,0, 2,0,7)																					являются базисом в U W . Размерность
dim(U W) 3.
				Найдём теперь базис и размерность U W . Для этого зада-
дим				подпространство																		W				w			1,		w	2 ,	w		3 ,			w	1 (1, 3,3,1, 1),
	w	2 (1, 2,3,1, 2) ,														w	3 (1,2,1,1,1)													как множество решений одно-

родной системы линейных уравнений. Будем действовать согласно описанному выше алгоритму перехода к этому способу задания подпространства:

1		1	1	x1		Ñ2 3Ñ1 Ñ2
	3	2	2	x		Ñ 3Ñ Ñ
				2		3		1	3
3		3	1	x ~		Ñ		Ñ Ñ
	1	1	1	3			4	1	4
				x4		Ñ5 Ñ1 Ñ5
	1	2	1	x
				5

44

1		1	1		x1
	0	1	5	x	3x		Ñ5 Ñ2 Ñ5
				2	1		~

0 3 3x1

0 0 0 x4 x10 2 x

	0	1	2			x x
				5				1
1		1	1					x1							2Ñ5 7Ñ2 Ñ5
	0 1		5			x		3x					~
		0	2				2		1
0						x		3x
	0	0	0				3		1
						x4 x1
	0 0		7			x 4x x
					5			1			2
1		1	1								x1
	0	1	5						x	2	3x
													1
0		0	2						x		3x
										3			1
	0	0	0						x4 x1
	0 0		0			13x 2x						7x 2x
								1			2		3	5
			Система, определяющая подпространство
												x		x	0	.
									W :				1	4
												13x1 2x2 7x3 2x5 0
			Таким образом,
U : 2x1 x2 x3 x4 x5 0															W : x1 x4 0
																		.
		x1 x2 2x3 x4 x5 0 ,
		x x 2x 0													13x1 2x2	7x3	2x5	0
			1	3				4

Поэтому подпространство U W задаётся системой

2x1 x2 x3 x4 x5 0 U W : x1 x2 2x3 x4 x5 0

x1 x3 2x4 0

x1 x4 0

13x 2x 7x 2x 0
	1	2	3	5

45

Найдём теперь базис в U W . Применим для этого алгоритм построения ФСР, описанный выше.

	2				1	1	1	1		2Ñ2 Ñ1 Ñ2
								1		2Ñ Ñ Ñ
		1			1	2 1
										3	1	3	прямой ход
		1			0	1	2	0	~	2Ñ Ñ Ñ		4
										4	1		метода Гаусса
		1			0	0	1	0		2Ñ5 13Ñ1 Ñ5
		13			2	7	0	2

2		1
	0	3
	0		1
		1
0
	0	17
2		1
	0	3
0		0
	0	0
	0	0
2		1
	0	3
0		0
	0	0
	0	0
2		1
	0	3
0		0
	0	0
	0	0

1		1	1
5		3	3
3		5	1		~
1		1
			1
27		13	17
1		1	1
5		3	3
					~
4		12	0
2		6	0
4		12	0
1		1	1
5		3	3
4		12	0	~
0		0	0
0		0	0
1		1	1
5		3	3
					~
1		3	0
0		0	0
0		0	0

3Ñ3 Ñ2 Ñ3

3Ñ4 Ñ2 Ñ4

3Ñ5 17Ñ2 Ñ5

4Ñ4 2Ñ3 Ñ4 Ñ5 Ñ3 Ñ5

Ñ3 /4 Ñ3

	Ñ2 5Ñ3	Ñ2	обратный ход
	Ñ1 Ñ3	Ñ1
			метода Гаусса

46

2

1

0

2

1

0 3 0 12 3

	0	0 1		3			0	~		3Ñ1 Ñ2 Ñ1
		0	0	0
0							0
	0	0	0	0			0
6		0	0	6			0
	0	3	0	12		3
										Ñ1 /6 Ñ1
0		0 1		3			0 ~
	0	0	0	0			0			Ñ2 /( 3) Ñ2
	0	0	0	0			0
1		0	0	1	0
	0 1 0			4 1			~		x x			0
										1	4
0		0 1		3 0						x 4x x 0
										2		4 5
	0 0 0			0 0					x 3x 0
	0	0	0	0	0					3		4

x1 x4

x2 4x4 x5

x3 3x4

x4,x5 свободн ые п ерем ен н ые.

Для нахождения базиса в пространстве решений простроим следующую таблицу.

Переменные

Базис

зависимые

свободные

x1

x2

x3

x4

x5

b1

1

-4

3

1

0

b2

0

-1

0

0

1

Получили,

что

базис

в U W

образуют

векторы

и

(0, 1,0,0,1). Размерность пересечения

b1 (1, 4,3,1,0)

b2

dim(U W) 2.

47

Библиографический список

1. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре

/И.М. Гельфанд. – М.: Наука, 1972.

2.Баранов И.В. Элементы линейной алгебры / И.В. Баранов, В.А. Стукопин. – Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2007.

3. Кострикин А.И. Линейная алгебра и геометрия / А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. – М.: Изд-во МГУ, 1977.

48

Оглавление

Предисловие…………………………………………………………………….…….. 3

Глава 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА.………………. 4

1.1.Векторы………………………………………………………….……………. 4

1.2.Простейшие свойства векторного пространства, вытекаю-

щие из определения. …………………………………………………….…	9
1.3. Примеры векторных пространств……………………………………	11
1.4. Линейная независимость. Базис…………………………………....	13
Глава 2. ПОДПРОСТРАНСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА …………	25
2.1. Определение подпространства векторного пространства.
Операции над подпространствами……………………………………	25
2.2. Алгоритм нахождения базиса в линейной оболочке…………	33

2.3.Алгоритм построения фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений………………………… 35

2.4.Нахождение базиса и размерности в сумме и пересечении подпространств…………………………………………………………….. 41

Библиографический список……………………………………….……………… 48

49