В. Давнис Прогнозные модели экспертных предпочтений

3.2. Идентификация случайного эффекта с помощью фиктив­ ной переменной /|, принимающей только два значения (0 или 1) и формируемой по следующему правилу:

_ |0,	если	y,-yt<	0;
[1,	если	у, — yt	> 0-

3.3. Построение регрессионного уравнения с фиктивной и лаговой переменными:

у, = 3114,56 + 31630,72^ + 0,94 yt_y. (6672,99) (5631,03) (0,06)

3.4. Вычисление расчетных значений у , отклонений расчет­ ных от фактических значений и относительных ошибок в процен­ тах §г Результаты расчетов представлены в табл. 4.3.

Относительный уровень ошибок хотя и снизился, но для не­ которых наблюдений остается все же высоким. Очевидно, оста­ ется еще неучтенный эффект, который требуется идентифициро­ вать аналогичным образом. При этом нужно оставаться в рамках ограничений, которые необходимо выполнить для успешной ре­ ализации второго этапа. Суть этих ограничений в том, чтобы в каждой группе наблюдений, на которые делится выборочная со­ вокупность, было не менее двух наблюдений. В противном слу­ чае идентификация модели множественного выбора невозможна.

Т а б л и ц а 4.3

У,		/,	У,-,	У	у, - У,	8,
16 828		0	13146	15414,70	1413,56	8,40
40 325		1	16 828	50 490,76	-10 165,74	25,21
73454		1	40 325	72 475,66	978,47	1,33
80 206		0	73454	71 842,43	8363,44	10,43
115 343		1	80 206	109 790,45	5552,64	4,81
109 730		0	115 343	111 036,12	-1305,67	1,19
141	050	1	109 730	137 415,33	3634,63	2,58
126 618		0	141 050	135088,93	-8471,33	6,69

3.5. Введение фиктивной переменной f2 аналогично fv Замечание. Преследуя цель выполнения сформулированных

выше ограничений при формировании /2, самому маленькому положительному отклонению был присвоен 0 вместо 1.

140

3.6. Построение регрессионного уравнения с двумя фиктивны­ ми и лаговой переменными:

у, =-2735,06 + 31924,81/, + 9595,63/2			+0,95y,_i.
(5141,52)	(3885,31)	(3760,31)	(0,04)

3.7. Вычисление расчетных значенийyt, отклонений расчетных от фактических значений и относительных ошибок в процентах 5Г Результаты расчетов приведены в табл. 4.4.

Т а б л и ц а 4.4

У,	/,	л	У,-,	У	у , - У,	8,
16 828	0	1	13146	19 321.96	-2493,70	14,82
40 325	1	0	16 828	45 141,66	-4816,64	11,94
73454	1	0	40 325	67 414,77	6039,37	8,22
80 206	0	1	73454	76 489,44	3716,43	4,63
115 343	1	1	80 206	114 814,38	528,72	0,46
109 730	0	0	115343	106 601,32	3129,12	2,85
141 050	1	1	109 730	142 801,41	-1751,45	1,24
126 618	0	0	141 050	130 969,46	-4351,85	3,44

Данные табл. 4.4 свидетельствуют о том, что мультитрендовая модель обеспечивает достаточно высокую точность аппрок­ симации, особенно последних наблюдений. С помощью этой модели удается рассчитать четыре прогнозных траектории, от­ личающиеся друг от друга на величину случайного эффекта фиксированной величины. Раз эффекты случайны, то необхо­ димо знать их вероятностный закон распределения. Его иден­ тификация осуществляется с помощью модели множественного выбора.

Атрибутами (факторами) модели множественного выбора мо­ гут быть как количественные, так и качественные переменные. Каждый из вариантов есть результат определенной экономической ситуации, которую не всегда удается описать количественными показателями, и поэтому имеет смысл использовать качественные оценки, получаемые с помощью экспертов.

3.8. Нумерация вариантов и определение интервалов для балль­ ной оценки условий, в которых может сформироваться соответ­ ствующий вариант (табл. 4.5).

141

		Т а б л и ц а 4.5
Ситуация	Номер варианта	Баллы
Очень плохая	0	5 - 2 5
Плохая	]	1 5 - 40
Хорошая	2	3 5 - 75
Очень хорошая	3	50 - 90

3.9. Экспертная оценка ситуаций, в которых была получена

соответствующая		прибыль	(табл. 4.6).
				Т а б л и ц а 4.6
У,	/,	Л	У,,	Номер варианта	Баллы
16 828	0	1	13146	1	15
40 325	1	0	16 828	2	35
73454	1	0	40 325	2	75
80 206	0	1	73454	1	40
115 343	1	1	80 206	3	50
109 730	0	0	115343	0	5
141 050	1	1	109 730	3	90
126 618	0	0	141 050	0	25

3.10. Построение мультиномиальной логит-модели по данным последних двух столбцов табл. 4.6 с помощью пакета STATISTICA.

Результаты моделирования представлены в табл. 4.7.
					Т а б л и ц а		4.7
Оценки параметров модели, их стандартные ошибки,
	статистики Вальда и вероятности
Varl - Parameter estimates (Spreadsheetl)
Distribution: MULTINOMIAL
Link function: LOGIT
Level	Level of	Column	Estimate	Standard	Wald Stat.	P
Effect of Effect	Response			Error
Interc l	0	1	9,672 420	2,140 278	20,42349	0,000	006
"Var2"	0	2	-0,270 766	0,058 671	21,29770	0,000	004
Interc 2	1	3	7,769 844	2,044 825	14,43817	0,000	145
"Var2"	1	4	-0,179 950	0,050 178	12,86105	0,000	335
Interc 3	2	5	2,192 924	1,075929	4,15413	0,041	533
"Var2"	2	6	-0,035 078	0,016 337	4,61045	0,031778
Scale			1,000 000	0,000 000

142

Статистика Вальда и вероятность ошибки свидетельствуют об адекватности построенной модели. Сама модель может быть запи­ сана следующим образом:

Р(А,) =ехр(9,672 - 0,27Lc,-)+exp(7,770 - 0,180*, )+ехр(2Д 93 - 0,035х,);

ехр(9,672-0,271*,.)

ъ

м — ;

ехр( 7,770-0,180х,)

P (

v

<

=

0 )

=

— т т

(v'

)=—i^w

^ ^ 2 0 9 3 - 0 , 0 3 ^ )

_ ! _ .

1 + Р(А,)

1 + Р(А,)

3.11.

Расчет

прогнозных

оценок _у?+1 д л я

каждого

из

четырех

возможных ситуаций

по мультитрендовой модели:

&+1 = Ь0

+ hf\

+ hfl

+ ЪъУг •

Результаты

расчетов

представлены

в табл. 4.8.

Т а

б л

и

ц а 4.8

Номер варианта

А

А

U+1

0

0

0

117 288,69

1

0

1

126 884,32

2

1

0

149 213,51

3

1

1

158 809,13

3.12. Вычисление вероятностей получения той или иной вели­ чины прибыли с учетом экспертной оценки ожидаемой экономи­ ческой ситуации. Результаты расчетов при экспертной оценке, равной 60 баллам, представлены в табл. 4.9.

			Т	а б л и	ц а 4.9
	Расчетное значение	Расчетное	Вероятность	Прибыль,
	аргумента логистической	значение
			варианта	тыс.	р.
	функции	экспоненты
	-6,573	0,001	0,001	117 288,69
	-3,027	0,048	0,023	126 884,32
	0,882	1,092	0,510	149 213,51
		Сумма: 1,141	0,467	158 809,13

Многовариантный прогноз, с одной стороны, действительно является более полным, более адекватным описанием будущего, а с другой — требует дополнительных усилий по обоснованию

143

выбора. Это усложняет процедуру принятия решения и требует уточняющих расчетов. Рациональный выбор можно строить, ру­ ководствуясь следующими соображениями. Среди прогнозных ва­ риантов явным предпочтением пользуется тот, вероятность реаль­ ности которого выше. Таким вариантом является третий сверху (см. табл. 4.9). Кроме наиболее вероятного, можно ориентиро­ ваться на математическое ожидание величины прибыли

Е(?,+1)= 153167,19.

Наконец, очень важной характеристикой является оценка ин­ формационной ситуации, в которой принимается решение. В качестве этой оценки удобно использовать величину энтропии

H = -1£pilog2pi = l,m.

Эта величина служит дополнительным критерием при сравне­ нии двух решений. При всех прочих равных условиях более надеж­ ным считается то решение, которое принято в условиях с мень­ шей энтропией.

В рассматриваемом примере уровень неопределенности ситуа­ ции, в которой осуществлялся выбор варианта, можно считать средним, так как максимальное значение Н при выборе из четы­ рех вариантов равно 2. Фактически ситуация выбора по своей неопределенности близка к ситуации выбора из двух вариантов, когда максимальное значение Н равно 1. Реальность действитель­ но такова, что при выборе варианта нулевой и первый не конку­ рируют со вторым и третьим.

Используя формулу

проведем предельный анализ. Сначала вычислим взвешенное сред­ нее значение коэффициента регрессии

Ц= -0,2708-0,001-0,1800-0,023-0,0351-0,510 + 0-0,467 = -0,0223,

а затем рассчитаем предельные эффекты по каждому из вари­ антов:

- ^ -	= -0,000 25; —¥± = -0,003 63;
ох	дх

144

— ^ i	= -0,006 52; —^1£ = o,010 414
Эх	ох

Результаты предельного анализа показывают, что если ситуация, для которой был сделан прогноз, будет улучшаться и, следователь­ но, оцениваться большим количеством баллов, то это соответствен­ но приведет к возрастанию вероятности последнего варианта. При этом, что тоже немаловажно, энтропия ситуации, в которой осу­ ществляется выбор, снизится до величины Н = 1,126.

Подобного рода анализ в основном ориентирован на повыше­ ние надежности принимаемых решений, так как, по сути, позво­ ляет получить упреждающие оценки ожидаемых изменений и учесть их в принимаемом решении.

4.3. Адаптивные модели прогнозирования

Принцип экспоненциального сглаживания и адаптивный механизм. Понимая, что не все модели и методы из аппарата адаптивного прогнозирования нам понадобятся для построения комбинированных моделей, ограничим свое рассмотрение много­ факторными адаптивными моделями регрессии, которые будут ис­ пользованы в излагаемом здесь подходе. Читателю, у которого этот аппарат вызовет особый интерес, можно рекомендовать мо­ нографию профессора В. В. Давниса [13], в которой наиболее полно рассматриваются эти вопросы. Изложение начнем с крат­ кого обсуждения общих принципов построения адаптивных про­ гнозных моделей.

Ситуации, в которых приходится прибегать к принципам адап­ тации при построении прогнозных моделей, обычно связаны с нестабильной динамикой моделируемых процессов. Отсутствие за­ кономерностей в изменениях динамики требует подходов, отлич­ ных от тех, которые используются при построении аналитических моделей. Если информация о закономерностях изменения дина­ мики моделируемых процессов отсутствует, то построение моде­ ли должно основываться на правдоподобных предположениях о возможном характере этих изменений. Скорее всего, самой про­ стой и достаточно естественной для моделирования социальноэкономических процессов является гипотеза, в основе которой лежит предположение о том, что в моделях, отражающих эти сложные закономерности, с течением времени происходит срав­ нительно медленное изменение структурных коэффициентов по

145

сравнению с изменениями самого процесса. Наиболее подходя­ щий инструмент для перемещения подобной идеи в практическую плоскость — метод экспоненциального сглаживания.

Широкое применение в задачах краткосрочного прогнозирования метод экспоненциального сглаживания получил после выхода работ Р. Винтерса [70], Р. Брауна и Р. Майера [60], Р. Брауна [59]. В них было дано его обоснование для случая прогнозных моделей полиномиального типа. Чтобы понять взаимосвязь экспоненциаль­ ного сглаживания с адаптацией, рассмотрим пример модели, пред­ ставляющей собой полином нулевого порядка

х,=а, +£,,

(4.15)

где xt — значение показателя, характеризующего уровень прогно­ зируемого процесса в момент времени Г, at — изменяющийся во времени параметр, характеризующий средний уровень прогнози­ руемого процесса в момент времени /; et — случайные независи­ мые отклонения фактических значений от текущего среднего,

имеющие нулевое математическое ожидание и конечную диспер­ сию а2.

В соответствии с этой моделью расчетная величина прогноз­ ного значения х[+1 считается равной оценке параметра а,, т.е.

xt+l=ar

(4.16)

За оценку текущего значения параметра а, принимается экспо­ ненциальная средняя St, вычисляемая по рекуррентной формуле

S, = а х, + «(1 - а);с,_1 + а(1 - а)2 х^2 +••• =

= axr +(l-a)[axl_l +a(l-a)x,_2	+•••] =
= ax,+(l-a)S,_i,	(4.17)

где Sf — значение экспоненциальной средней в момент г, а — па­ раметр сглаживания, 0 < а < 1.

По сути, расчет прогнозной величины Jcr+1 задается рекуррент­ ной формулой (4.17), в которой при определении текущей средней применяется процедура "старения" данных по экспоненциальному закону, позволяющая построить прогнозную траекторию с домини­ рованием тенденции последнего периода. Причем степень этого преобладания регулируется параметром а. Чем ближе а к 1, тем меньше прогнозная оценка отличается от последнего наблюдения.

Для социально-экономических процессов такая процедура хоро­ шо согласуется с интуитивным представлением о характере взаи-

146

мосвязи будущего их состояния с достигнутыми уровнями пред­ шествующих периодов и фактически является адаптивной. Чтобы выяснить идеи, положенные в основу адаптивного механизма рас­ сматриваемой модели, перепишем (4.17) в виде

S, =St_l+a(xt-St_l).

(4.18)

Если 5М рассматривать как величину прогнозного значения для момента /, то разность (х, — Shi) в выражении (4.18) представ­ ляет собой ошибку прогноза. Эта ошибка учитывается в качестве корректирующего слагаемого при расчете нового прогнозного зна­ чения x(+l -S,- Становится очевидным, что в вычислительной схеме экспоненциального среднего используется принцип регуля­ тора с обратной связью, что позволяет говорить об адаптивных свойствах модели (4.15) — (4.17).

Многофакторные адаптивные модели. Принцип экспоненциаль­ ного сглаживания может успешно использоваться при построении многофакторных моделей, хотя детали конкретной реализации этих принципов имеют свои особенности, порождаемые много­ факторностью решаемых задач. Проблемы многофакторного адап­ тивного моделирования обсуждались в [7, 30, 35, 36]. Детальное изложение общей схемы такого моделирования, ориентированное на экономические приложения, можно найти в [13]. Основу этой схемы составляет рекуррентный метод наименьших квадратов (РМНК), в котором используется формула Шермана — Моррисона [41] рекуррентного обращения матриц

(С + х х ) , = С 1	, •	(4.19)
	хС х +1
Однако, к сожалению, несмотря на некоторые		преимущества

(например, значительное сокращение времени расчетов при изме­ нении объема выборки), РМНК не получил должного признания в эконометрических исследованиях.

Реализация идеи экспоненциального сглаживания в задачах многофакторного моделирования сводится к введению весовой

функции вида
f(t,j,a) = a ' Ч 0<сг<1,	(4.20)

где а — параметр сглаживания; / — номер последнего наблюде­ ния выборочной совокупности, используемой для построения модели; j — порядковый номер наблюдения выборочной совокуп­ ности, используемой для построения модели.

147

Введение весовой функции (4.20) позволяет записать экстре­ мальную задачу для получения вектора оценок В(?,а) регрессион­ ного уравнения

j ; , =x,B(0 + e„ t = l,2,...,T,		(4.21)
в виде
в (Г,а) = Argmin	^а'~][у: - х.В(/,а)]2 ,	(4.22)
	У=1
где yt — значение зависимой	переменной (показателя)	в момент г,

х, = (хи, x2t, —,xmt) — w-мерная вектор-строка значений независи­ мых переменных (факторов) в момент t, B(0 = (bu, b2t, •••, bmt) — /и-мерный вектор-столбец оцениваемых коэффициентов модели, из­ меняющих с течением времени свои значения по неизвестному закону; ег — ненаблюдаемая случайная ошибка.

Функционал этой задачи является экспоненциально взвешен­ ной суммой отклонений расчетных значений от фактических. Суть его минимизации в том, что модель с коэффициентами, полученными как результат решения задачи (4.22), в силу сме­ щения точности аппроксимации к наблюдениям с высокими весовыми коэффициентами позволяет учитывать при расчете про­ гнозных значений в основном только те тенденции, которые проявляются в последних наблюдениях. Последовательное реше­ ние задачи для каждого / е [Т{, 7], (Г, > т) позволяет полу­ чить регрессионное уравнение с изменяющимися коэффициента­ ми. Многократное использование МНК является весьма громозд­ ким и неэффективным. В подобной ситуации гораздо предпоч­ тительнее применение РМНК, предложенного в [30]. Фактичес­ ки рекуррентная схема служит основой для построения адаптив­ ного механизма регрессионной модели. Многофакторная регрес­ сионная модель вместе с ее адаптивным механизмом записыва­ ется следующим образом:

	& = x , B ( f - l , a ) ;			(4.23)
B(r,«) = B ( r - l , « ) +		С ; - ' ^	[у, - у,] ;	(4.24)
		х,СДх, +сс
г-1	_ *-r-lx,xr*-r-l			(4.25)
а	х,с,_!х+а

148

При заданных начальных значениях В(0, а), С^1 и известной величине параметра сглаживания а = а* модель (4.23)—(4.25) позволяет по мере поступления новых данных изменять коэффи­ циенты и с учетом этого изменения вести соответствующие рас­ четы прогнозных значений уг

В [35] предложена многофакторная адаптивная модель
j>, =x,B(f - l,a);	(4.26)
B(t,a) = В(? - La) + —-^[у, -x,B(f -l,a)]	(4.27)

в рекуррентной формуле (4.27) адаптивного механизма которой в качестве корректирующего слагаемого используется обычно приме­ няемый в адаптивной фильтрации градиент от прогнозной ошибки

grad(;y,-x,B(f-l,a))2 = -2x;(v,-x,B(?-l,a)),		(4.28)
умноженный на константу к =а/2^х~(0<а	< 2).	В некоторых

случаях эта модель обеспечивает более высокую точность прогноз­ ных расчетов, чем построенная на основе применения рекуррент­ ной схемы МНК модель (4.23)— (4.25). Однако ее статистическая обоснованность явно уступает модели, в адаптивном механизме которой используется РМНК.

С целью повышения экстраполяционных свойств модели (4.23)— (4.25) в [13] были разработаны прогнозные модели с настраива­ емой структурой адаптивного механизма. Основное отличие этих моделей от рассмотренных выше в том, что структура их адаптив­ ного механизма заранее не фиксируется, а автоматически форми­ руется из заданного множества вариантов в процессе настройки параметров адаптации. В таком подходе фактически реализована возможность построения адаптивных моделей с оптимальной для рассматриваемого набора данных рекуррентной формулой пересчета.

Оптимизационная задача, позволяющая реализовать идеи на­ страиваемой структуры адаптивного механизма, может быть запи­ сана следующим образом:

В(/) = Argmin{(l -у- P)itat-j[yj

- XjB(t))2 +

+у£а'^[х,В(г-1)-х,.В(г)]2 +

У= 1

149