В. Давнис Прогнозные модели экспертных предпочтений

4.5. Адаптивное моделирование переходных процессов в комбинированных прогнозах

Комбинируя экстраполяционные и экспертные прог­ нозные оценки, мы полагаем, что доверие к этим оценкам раз­ ное и, более того, изменяется с изменением величины упрежде­ ния. Ключевой проблемой в реализации идеи такого комбиниро­ вания является задача моделирования переходных процессов. Вы­ полнение этой задачи должно быть устроено таким образом, что­ бы степень доверия комбинированным прогнозным оценкам оста­ валась на максимально возможном уровне. Разрешение этой про­ блемы прежде всего связано с формулировкой экстремальной за­ дачи, в функционале которой предусматривалась бы возможность построения адаптивного механизма, обеспечивающего получение комбинированной прогнозной траектории с требуемым свойством.

Для реализации этой идеи положим, что в результате обработ­ ки исходных данных и дополнительных исследований мы имеем две последовательности прогнозных оценок {у.} и {у.}. Первая из них является итогом экстраполяционных расчетов и с течением времени степень доверия к ним снижается, а вторая — эксперт­ ного оценивания, к результатам которого степень доверия с уве­ личением глубины упреждения возрастает. Тогда экстремальную задачу, соответствующую этим предположениям, можно записать следующим образом:

Ц) = Argmin £ A V ^ [ y . -х,.В(г)]2+

(4.57)

7=1

где А — параметр, регулирующий степень доверия комбинирован­ ному прогнозу в зависимости от глубины упреждения (0 < Я < 1); а — параметр экспоненциального сглаживания (0 < а < 1); х • = (l, X\j, %2 /'•••' xmj ) — вектор-строка значений факторов в момент времени j ; в(?) = (b0(t), b{(t),..., bm(t)) — вектор-столбец коэффициентов адаптивной модели.

Первое слагаемое функционала задачи (4.57) представляет со­ бой дважды взвешенную сумму квадратов отклонений расчетных значений от данных экстраполяционной траектории. С помощью

160

параметра а в нем реализуется механизм затухающей памяти , касающийся старых тенденций, а с помощью параметра Я — ме­ ханизм, позволяющий постепенно с течением времени снижать долю "присутствия" экстраполяционной траектории в комбиниро­ ванной.

Второе слагаемое устроено аналогично первому. В нем мини­ мизируются отклонения расчетных значений от данных экспертных ожиданий. Причем параметр Я служит для постепенного увеличе­ ния степени влияния экспертных оценок на тенденции, реализу­ емые в комбинированной траектории.

Дифференцируя выражение в фигурных скобках (4.57) по В(?) и приравнивая результат к нулю, получаем систему из (т + 1)-го уравнения

-2XrV-^,-x7.B(r)]x'y-

7=1

-2t(l-^)a^b7	-x; B(r)]x;.=0.	(4.58)
7=1

Преобразуем систему, перенеся в правую часть те слагаемые, которые не содержат оцениваемых параметров

ta-JxfjXjB(t)=	ХА'сГ'*^. + t(l-А0сГ; х'Ду (4.59)
7=1	7=1	7=1

После перегруппировки систему (4.59) можно записать следу­ ющим образом:

ta'-V.x,.B(0= £at-JxfyyJ+tl-A.J)yJl (4.60)

7=1

7=1

Если ввести обозначения

	1	хп	ХЫ
Y,= Уг	х,= 1	*21	х2п	(4.61)
У')	1	Х г 1	vtm J

161

	V-' о •- о]			'A1	0	•• • <T
L , =	0	a-2	• • 0 ; л,=	0	A2	- ••	0
							(4.62)
	0	0	••• a0	0	0	••• A '
							1
то в матричной форме система (4.60) перепишется в виде
		(X;L,X,)B(/)=X;L,[A,Y, + ( I - A , ) Y , ] •					(4-63)
Ее решение можно представить как
	B(t)=(X'lLtX[)-l{x'tLt[AtYt+(l-At)Yt]}.						(4.64)

Чтобы перейти к рекуррентной процедуре последовательного оценивания коэффициентов адаптивной рефессии, будем считать последнее наблюдение вновь поступившим и представим (4.64) в виде

в(0=(ож;_1ьмх,_1+х;у,)г,х

х{аХ;_1 Ь/ _1 [л/ _1 ¥/ _1 +(1-Л,_1 )¥/ _,]+х;[1'Л +^-А')?/ ]}(4.65) Обозначим

C ^ X ^ L ^ X , . ,

(4.66)

и, используя формулу рекуррентного обращения матриц Шермана — Мориссона, которая в нашем случае имеет вид

(с,_1 + х;х,Г = с г Л - ^ ^ -

х,сг>;+1'

перепишем (4.65) следующим образом:

в(/) =	1 ^,-1 _ 1 C/_iX/x/Cf_I
	« '-1	a7 1 2LXtc;W(+l
		а

х {ayMLMk-iYM + (I - Л,-1 ft-J+ *& Ч + (l - A '),,]} (4-67)

162

Выполнив в (4.67) умножение и некоторую перегруппировку результатов перемножения, можем записать

в(/)=в (/ -1) + - c,-ilX; tyyt + (i - л' )yt} -

а

_l CrVix C,-i, ^ ; _ | L b | [ A [ _ | t b | t (I-A,_,)Y,_|]. (4.68)

После несложных преобразований получаем

B(f) = B ( f - l ) + - C / - V f	\Xyt+(l-X')y]-
	xr C^ix', + а

r ' v '

x,B(r-l) (4.69)

/ ^ 7 — 1 / —1 ' ^

Приведение к общему знаменателю в квадратной скобке позво­ ляет записать (4.69) следующим образом:

B(r) = B(/-l) + ^V^+(l-A')^]-

хЛ-г-1хг

H v '

r->i £'—, *f•B(r^ -'•l). (4.70)

Окончательная формула для рекуррентного вычисления коэф­ фициентов В(/) приобретает вид

B(t) = B(t-l)+^^{\Xyt + (l-X)yt]-XtB(t-l)}. (4.71)

Х Л"7-1Х /

Начальные значения В(0) и CQ1 определяются по данным рет­ роспективного периода с помощью МНК. Оптимальное значение параметра сглаживания а подбирается с использованием пост­ прогнозных расчетов на контрольной выборке, в качестве кото­ рой, как правило, используются последние наблюдения ретрос­ пективного ряда. Задача подбора оптимального значения парамет-

163

pa Я не может быть решена по аналогии с параметром а, так как, в принципе, нельзя получить данные для сравнения с постпрогноз­ ными расчетами. Четких рекомендаций по его подбору нет. Од­ нако если предположить, что степень доверия экстраполяционным данным в начале упреждающего периода равна степени доверия рациональным ожиданиям в конце упреждающего периода, то

значение параметра Я определяется из уравнения	1 — Ят = I, где
т — длина периода упреждения. В тех случаях,	когда абсолют­
ным доверием пользуется только одна из траекторий, Я принимает
соответственно значения 0 или 1.
Таким образом, в общем виде адаптивная модель для расчета
комбинированной траектории выглядит следующим образом:

	y,+i =*,«т			<4-72>
	£(r + i) = £(/)+
+ ~~ГГ	{ ( ^ ж		+ (l - А ' + 1 Ы - х,+1В(/)}; (4.73)
x / + i ^ ? x / + i +	a
	Q-1	Ц	X!+lXt+l^r	(4.74)
4 + 1	а	ХГ + 1*-Т Х / + 1 +СС

Модель (4.72)—(4.74) можно применять для построения комби­ нированных прогнозных оценок в тех случаях, когда в качестве экспертной траектории используются непосредственно числовые значения, получившие в результате сравнения с другими возмож­ ными вариантами ожидаемых значений экспертное предпочтение. Если же считать, что в своих оценках эксперты руководствовались некой моделью и в комбинированном прогнозе следует учесть не значения, а тенденцию, в соответствии с которой эти значения были сформированы, то возникает проблема восстановления этой тенденции. Такая ситуация обычна для регрессионного анализа и при наличии достаточных информационных возможностей эксперт­ ные оценки аппроксимируются регрессионным уравнением

yt=x,B, t = l t ,

(4.75)

которое используется при построении комбинированной модели. Модель, ориентированная на использование тенденций, в со­ ответствии с которыми формировались экспертные ожидания, естественно, должна отличаться от только что рассмотренной. Это

164

отличие касается, прежде всего, второго слагаемого ее квадра­ тичного функционала. Оно, по идее, должно представлять собой дважды взвешенную сумму квадратов отклонений расчетных зна­ чений от соответствующих значений, определяемых построенным

уравнением регрессии (4.75), а саму экстремальную	задачу мож­
но записать в виде
В (/) = Argmin £ AJa'~j [у,- - хуВ(/)] 2+
+ i(l-A;)a'-J[xjB-XjB(t)}2\.	( 4 7 6 )

При записи этого функционала использованы те же самые обозначения, что и в функционале (4.57), кроме вектора В, который представляет собой коэффициенты регрессионного урав­ нения (4.75).

Дифференцирование (4.76) и проведение тех же самых преобра­ зований, что и в предыдущем случае, позволяет получить формулу для пересчета текущих коэффициентов регрессии следующего вида:

B ( f ) = B ( / - l ) + A ' — § Ц ^ — ^ - ^ ( / - 1 ) ] +

х,Сг_]Х, + а

+ М ) 5 V ' МВ-В(?-1))].	(4.77)
X/C/.jX, +a

Полученная рекуррентная формула адаптивного механизма рег­ рессионной модели содержит два корректирующих слагаемых, первое из которых является реакцией модели на ошибку прогно­ зирования, а второе — реакцией на несовпадение текущих коэф­ фициентов с коэффициентами модели экспертных ожиданий. Адаптивная модель для этого случая имеет вид

	&+1 =х,+1 В(0;			(4-78)
В(/ + 1) = В(/) + Xм		ffi+i	\ум - хмЩ] +
	xt+v^t	xt+[ + a
+ (l - Я'+1)	ffi+'	[хж (В - В(0)];		(4.79)

165

С"1	=	- i - 1	C~V x Г"1
			(4.80)

Графическая иллюстрация результатов моделирования переход­ ного процесса, полученных с использованием выведенных здесь рекуррентных соотношений, представлена на рис. 4.1.

У *

25

20

10

						X
0	5	10	15	20	25	30
	—— Траектория переходного процесса		—•— Траектория 1 А		Траектория II

Рис. 4.1. Прогнозные траектории развития экономического процесса

На графике легко выделяются четыре участка: ретроспективный и три прогнозных, характеризующих ожидаемые траектории раз­ вития экономического процесса. На первом из трех прогнозных абсолютным доверием пользуется экстраполяция, на втором — предпочтение отдается траектории, реализующей переходной про­ цесс, и, наконец, на третьем участке абсолютное доверие смеща­ ется к экспертным оценкам.

Несмотря на то, что в основу построения моделей (4.72)— (4.74) и (4.78)—(4.80) положены одни и те же идеи, применяются они в разных ситуациях.

Первая модель, как правило, используется в тех случаях, когда не удается получить формального представления о тенденциях эксперт­ ных ожиданий, а сами экспертные ожидания — не что иное, как количественные оценки прогнозируемого показателя, которым экс­ перты отдали свое предпочтение при сравнении с другими.

Вторую модель рекомендуется использовать там, где, в прин­ ципе, количественные оценки могут даже отсутствовать, но у экспертов есть представление в виде некоторой закономерности, в соответствии с которой они формируют свои представления.

166

Чтобы убедиться в том, что эти модели действительно могут при­ водить к разным результатам при использовании одного и того же набора данных, проведем сравнительные расчеты на условном примере. Исходные данные, характеризующие динамику величи­ ны чистой прибыли и затратных факторов торговой компании ОАО "Ларец", представлены в табл. 4.11.

			Т а б л и ц а 4.11
	Динамика показателей ОАО "Ларец"
Период	Чистая прибыль,	Затраты на рекламу,	Затраты на хранение,
	тыс. р.	тыс. р.	тыс. р.
1	488,23	190,99	130,82
2	451,42	161,66	74,36
3	510,41	207,32	138,24
4	553,23	238,29	141,44
5	548,93	235,95	156,32
6	568,88	251,99	189,92
7	412,29	134,49	93,74
8	576,93	192,97	114,06
9	708,64	232,85	135,29
10	602,91	167,39	94,25

Первые семь наблюдений исходных данных были использованы для получения начальных значений адаптивной многофакторной регрессионной модели

в(о)=	^231,9220ч	4,3258	-0,0323	0,0180^
	1,3900	С0 = •0,0323	0,0005	-0,0005
	-0,0701	0,0180	-0,0005	0,0006

По оставшимся трем наблюдениям с использованием постпрог­ нозных расчетов был настроен параметр адаптации а. Его опти­ мальное значение оказалось равным 0,01. Динамика коэффициен­ тов адаптивной регрессионной модели при а = 0,01 приведена в табл. 4.12.

Коэффициенты адаптивной регрессии для t = 10 были приняты за начальные значения адаптивной модели переходных процессов, а само регрессионное уравнение использовалось для получения экстраполяционных прогнозных оценок. В качестве факторов при проведении этих расчетов были приняты плановые затраты на хранения и рекламу. Все эти величины приведены в табл. 4.13.

167

Т а б л и ц а 4.12

Динамика коэффициентов адаптивной многофакторной модели

	Параметры		Время
		Г=8	1 = 9	/ = 10
	*о	285,5876	174,0371	285,3286
	*.	2,8947	4,7260	4,3583
	ъ,	-2,3765	-4,1878	-4,3743

Кроме того, в эту таблицу включены экспертные оценки I и II. Экспертные оценки I представляют собой обобщенные результа­ ты экспертного опроса относительно ожидаемого уровня чистой прибыли, а экспертные оценки II являются расчетными значени­ ями уравнения

у = 266,1523 + 3,3577*, -1,8878*2, полученного как регрессия экспертных оценок на планируемые затраты.

					Т а б л и ц а		4.13
		Исходные данные для построения адаптивной модели
			переходных процессов
		Затраты на	Затраты на	Ожидаемая чистая прибыль, тыс. р.
Период		рекламу,	хранение,	Экстраполяцион-	Экспертные	Экспертные
		тыс. р.	тыс. р.	ные оценки	оценки I	оценки	II
t =11		204,93	127,92	618,91	698,23	712,77
/ =	12	198,56	102,51	648,30	722,89	739,35
t=	13	234,71	131,56	660,78	786,67	805,89
/ =	14	211,71	119,57	684,99	796,44	751,30
/ =	15	236,74	133,57	732,83	813,99	808,91

Данные табл. 4.13 использовались в качестве исходных для расчета коэффициентов адаптивной модели переходных процессов, динамика которых представлена в табл. 4.14. В модели переход­ ных процессов с помощью дополнительного параметра у = 0,7 регулировался уровень реакции на ошибки прогнозирования.

Фактически в табл. 4.14 представлены значения текущих коэф­ фициентов четырех моделей. Две первые применялись для расчета прогноза с начальным уровнем доверия экстраполяционным оцен­ кам Я = 0,6, а две последние — с уровнем доверия Я = 0,9. При каждом уровне доверия для получения комбинированной траекто­ рии использовались модель I (4.72)—(4.74) и модель II (4.78)—(4.80).

168

Т а б л и ц а 4.14

Динамика коэффициентов адаптивной модели переходных процессов

	Уровень	Модель	Параметры				Время
					/ = 11	/ = 12	/ = 13	1= 14	1= 15
	доверия
			*о		300,9379	269,7979	180,7640	722,0867	415,5484
		I	*•		3,1105	3,6103	4,1225	-3,3627	-10,3667
	Я = 0,6		*,		-2,3237	-2,8810	-3,0046	6,2349	21,1998
			к		303,8024	243,7292	135,9068	386,4274	186,1166
		11	*•		2,8815	3,8457	4,4660	1,0019	-3,5749
			Ьг		-1,9474	-3,0225	-3,1722	1,1038	10,8828
			К		291,0117	354,2388	392,0664	749,0811	336,9973
		I	ь,		3,9040	2,8891	2,6715	-2,2652	-11,6807
	Я = 0,9		К		-3,6277	-2,4962	-2,4437	3,6500	23,7675
					291,7254	346,7635	462,4788	736,6041	267,3906
			К
		11	ь,		3,8470	2,9635	2,2978	-1,4927	-12,2135
			ь,		-3,5340	-2,5490	-2,3884	2,2905	25,1970
	Окончательные результаты в виде четырех вариантов прогноз­
	ных расчетов приведены			в табл. 4.15.
							Т а б л и ц а 4.15
	Результаты расчетов ожидаемой чистой прибыли, тыс. р.
					(модели I, II)
	Уровень доверия		Модель				Время
					t= 11	/ = 12	/ = 13	t= 14	/= 15
	Я = 0,6		I		641,12	691,33	753,07	755,68	793,01
			II		645,19	697,50	766,79	730,52	793,41
	Я = 0,9		I		627,00	672,02	697,61	705,96	746,35
			II		628,01	673,91	687,59	694,46	741,53

Анализ результатов расчетов показывает, что от параметра уровня доверия в значительной степени зависят прогнозные оцен­ ки. Это различие легко обнаруживается на рис. 4.2, 4.3, отра­ жающих динамику ожидаемой чистой прибыли. При А = 0,6 про­ гнозные оценки переходных процессов достаточно быстро дости­ гают тенденции развития, предсказанной экспертами, в то вре­ мя как при А = 0,9 в комбинированной траектории продолжает доминировать экстраполяционная тенденция. Зависимость про­ гнозных оценок от А очевидна. В силу этого вопросу определе­ ния значения этого параметра следует уделять пристальное внима­ ние, тем более что формальных процедур его выбора нет.

169