В. Давнис Прогнозные модели экспертных предпочтений

Расчеты, полученные по первой и второй моделям, отличаются друг от друга незначительно. И все же между прогнозными тра­ екториями этих моделей есть различие, и есть объяснение этому различию. Суть его сводится к тому, что в экспертных оценках II учитывается возможное влияние факторов, а это равносильно использованию дополнительной информации, способствующей повышению их объективности.

У,

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0	10	12	16
- Комбинированная траектория I	- Комбинированная траектория II
- Экспертная траектория	- Экстраполяционвая траектория

Рис. 4.2. Динамика ожидаемой чистой прибыли (А = 0,6)

У к

900	>
800-
700
600 -
500 -
400
300-
200 -
100	-					X
0	2	4	6	10	12	14
	- Комбинированная траектория I			Комбинированная траектория П
	- Экспертная траектория			А Эксграполяционная траектория

Рис. 4.3. Динамика ожидаемой чистой прибыли (Я = 0,9)

Обобщая результаты проведенного вычислительного экспери­ мента, следует сделать ряд выводов относительно возможности

170

использования разработанных в этом параграфе моделей для по­ строения комбинированных прогнозных траекторий.

Во-первых, с помощью введенного в эти модели параметра Я, регулирующего степень доверия, удается достаточно эффективно управлять процессом комбинирования инерционных тенденций и тенденций экспертных ожиданий. В то же время специфическая роль этого параметра и отсутствие объективной информации, позволяющей оптимизировать выбор Я, оставляет вопрос о его определении в субъективной плоскости.

Во-вторых, несмотря на то, что обе разработанные модели дают практически одни и те же прогнозные оценки, однако ус­ ловия их применения различны. Первая модель (4.72)—(4.74) используется в тех ситуациях, когда удается получить экспертные оценки непосредственно в количественном виде. В отличие от первой, вторая модель (4.78)—(4.80) позволяет проводить расчеты тогда, когда исследователь располагает не количественными оцен­ ками, а некой параметрической моделью рациональных ожиданий относительно тенденций изменения прогнозируемого показателя. Обычно эта модель представляет собой регрессионную зависи­ мость, отражающую отличные от ретроспективного периода зако­ номерности развития моделируемого процесса.

В-третьих, адаптивность разработанных моделей позволяет эффективно реализовать процедуру получения прогнозных оценок для тех перспективных периодов, в которых ожидается смена тен­ денций.

Г Л А В А 5

КОМБИНИРОВАННЫЕ ПРОГНОЗЫ МНОГОМЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ

В практике принятия прогнозных решений, как пра­ вило, приходится иметь дело с многомерными временными ряда­ ми. Причем стандартной является ситуация, когда число наблю­ дений столь мало, что идея построения эконометрических моде­ лей многомерных временных рядов в виде систем одновременных уравнений или векторной авторегрессии теряет всякий смысл. По­ этому возникает необходимость построения моделей, основанных на несколько иных принципах, чем эконометрические.

Взамен предположений о характере динамики для рассматри­ ваемого случая выдвигается гипотеза о характере структурного вза­ имодействия экономических показателей, которое можно описы­ вать косвенными темпами приростов, представляющими собой от­ ношения приростов каждого из рассматриваемых показателей ко всем остальным. Основная идея этой гипотезы в том, что на про­ тяжении достаточно длительного периода времени структура кос­ венных темпов приростов прогнозируемых показателей может ос­ таваться почти неизменной [14]. Неизменность — это как раз то свойство структуры, которое переносится из настоящего в буду­ щее. Модели, обеспечивающие такой перенос в различных усло­ виях принятия решений, описаны ниже. Причем описание начи­ нается с простейших вариантов этой модели, которые постепен­ но усложняются с целью повышения адекватности отражения многомерной динамики.

5.1. Модель с детерминированным матричным предиктором

Детерминированный матричный предиктор имеет смысл строить в тех ситуациях, когда возможность применения статистических методов моделирования полностью исключена. Примером может служить ситуация, в которой исследователь рас­ полагает всего двумя, тремя наблюдениями. Чтобы перейти к

172

формальному описанию модели с таким предиктором, введем обозначения:

xtj — величина /-го показателя в момент времени /;

хг_и — величина /-го показателя в момент времени (—1; Axti — величина изменения (прироста) /-го показателя.

Далее естественно предположить, что любое изменение произ­ вольного /-го показателя зависит от величины остальных показа­ телей. Это может быть функциональная или регрессионная зави­ симость Axti = F(x„, xa, ... , хт). Будем рассматривать случай, когда малый объем ретроспективных данных не позволяет реали­ зовать известные методы идентификации этой зависимости. Един­ ственно доступной альтернативой идентификации в подобной ситуации является подход, основанный на значительном упроще­ нии этой зависимости. В качестве такой упрощенной формы удобно использовать линейное представление приростов. Сразу заметим, что модель, построенная по двум наблюдениям, не может претендовать на применение для расчетов, распространя­ емых за рамки, очерченные краткосрочными прогнозами. Поэто­ му при рассмотрении краткосрочных периодов такое упрощение не приводит к значительному росту ошибки прогнозирования даже в том случае, когда истинная зависимость явно нелинейная.

Модель этой простейшей (линейной) зависимости строится в предположении, что прирост любого из показателей формируется под воздействием всех остальных, являясь как бы суммарной ве­ личиной, причем каждый показатель в отдельности оказывает не­ значительное влияние, и среди них нет доминирующих. Для ре­ ализации этого предположения вводится в рассмотрение харак­ теристика, устанавливающая степень влияния j-ro показателя на изменения, происходящие в /-м. В качестве такой характерис­ тики, как отмечалось выше, удобно использовать косвенный темп прироста

Если условиться, что на формирование прироста все показате­ ли оказывают равномерное воздействие, то, разделив vtJ на (и—1), получим ту долю в приросте /-го показателя, которая сформирована под воздействием у-го. Использование введенной меры степени влияния у'-го показателя на /-й позволяет выразить прирост Axtj через сумму произведений

173

A*/* =

~^va V

(5.2)

П-1 j*i

Учитывая, что Axrj = xtj— xt_u, можно величину любого /-го показателя представить в виде суммы предшествующего значения xx_Vl и прироста Axtj (5.2):

*«• = х,-\, +		Ъvuxv'	1 = 1, и.	(5.3)
Для полученной системы уравнений (5.3), введя обозначения
Хц		О	"12	"1л
*/2	V =	1 "21	О	"2л
		/ 1 - 1		(5.4)
v		v «l	v «2	О
V m
можно использовать компактную матричную запись
	х	x,_,+Vx,.		(5.5)
Считая, что неизвестным вектором в этой системе является х,,
запишем его следующим образом:
	х, =(I-V)-'x,_1 ,			(5.6)

где через I обозначена единичная матрица.

Обратную матрицу (I—V)""1 будем называть матричным предик­ тором. Он определяет переход из состояния, описываемого век­ тором значений предшествующего момента времени, в состояние, представленное вектором значений текущего момента времени. Внедиагональные элементы обратной матрицы интерпретируются как косвенные темпы роста равномерно распределенных частей прогнозируемых показателей, а диагональные — как прямые тем­ пы роста оставшейся части.

В предположении, что матричный предиктор перспективно­ го периода почти не отличается от матричного мультипликатора текущего периода, выражение (5.6) позволяет рассчитывать прогнозные оценки. Основное преимущество данного подхода заключается в том, что с его помощью можно проводить рас­ четы для многомерных рядов динамики даже в том случае, когда исследователь располагает наблюдениями лишь за два

174

периода. Правда, статистическая надежность таких прогнозных расчетов не проверяется и опирается, в основном, на то обсто­ ятельство, что даже при изменении характера динамики про­ гнозируемых процессов структура самого предиктора, как пра­ вило, изменяется незначительно. Как показывает практика прогнозных расчетов, применение этой модели предпочтитель­ нее обычных расчетов с использованием темпов роста, в кото­ рых совсем не учитывается взаимодействие между моделируемы­ ми показателями.

Рассмотренная модель является базовой, и ее прикладные воз­ можности весьма ограничены. Она предназначена, главным об­ разом, для того, чтобы продемонстрировать принципы построе­ ния матричного мультипликатора, которые ниже будут использо­ ваны для построения более сложных модификаций модели. Про­ иллюстрируем эти принципы условным числовым примером, ис­ ходные данные для которого представлены в табл. 5.1.

Т а б л и ц а 5.1

Динамика основных показателей, характеризующих деятельность ОА О "Консультант ", тыс. р.

	Период	Объем оказанных	Фонд оплаты	Затраты на переобучение, повы­
		услуг	труда	шение квалификации персонала
	1	3231,44	872,48	242,35
	2	3755,52	951,01	271,02
	3	4426,22	1036,61	298,62
	4	5362,63	1129,89	331,45
	5	6430,77	1171,58	347,93

Построение модели начинается с расчета приростов:

^524,08Л Ах1 78,53

28,67 J

которые используются для формирования матрицы косвенных тем­ пов прироста

f 0 0,2755 0,9669Л 0,0105 0 0,1449 0,0038 0,0151 0

175

На основе этой матрицы вычисляется предиктор

'1,0069 0,2928 1,0160Л A 2 =(l - V 2 )~' = 0,0111 1,0054 0,1564 0,0040 0,0163 1,0062

помощью которого рассчитываются прогнозные оценки

^4335,36^

х3 - А2х2 - 1040,27 303,25

Проведенные расчеты не только иллюстрируют алгоритм по­ строения базовой модели, но и предназначены для того, чтобы оценить ее точность, поскольку сами, по сути, являются пост­ прогнозными оценками. Кроме того, представляет интерес срав­ нение (см. табл. 5.2) этих результатов с оценками, полученны­ ми с помощью модификаций базовой модели, к описанию кото­ рых мы и переходим.

5.2. Модель с настраиваемым параметром матричного предиктора

Решающим фактором выбора модели с подобным пре­ диктором является не число наблюдений, а, скорее, ситуация, когда за рамками системы показателей, для которых строится мат­ ричный предиктор, остались факторы, оказывающие заметное влияние на их динамику. Природа этих факторов либо не изуче­ на, либо такова, что не поддается количественному измерению, и поэтому факторы не могут быть включены в модель. Но их влияние проявляется в динамике показателей, включенных в мо­ дель. Уловить это влияние можно, если прирост каждого показа­ теля разделить на две части, одна из которых формируется меха­ низмом, явно учитываемым моделью, а вторая — "скрытыми" факторами. В соответствии с этим делением представим прирост в виде суммы двух составляющих

Axri =Д'х,+Д*х„-.

(5.7)

где Ыхп — та часть прироста, которая формируется "скрытыми" факторами"; A"xtj — та часть прироста, которая формируется про­ порционально факторам, включенным в модель.

176

Поскольку влияние "скрытых" факторов в соответствии с на­ шим предположением проявляется непосредственно в динамике самих показателей, то и отразить это влияние можно через соб­ ственные темпы той части прироста, которая формируется "скры­ тыми" факторами, т.е.

/А'*,,-

V;; = '	(5.8)

Коэффициенты косвенных темпов прироста в этом случае бу­ дем называть частными и вычислять по второй составляющей прироста:

	А /г	(5.9)
VU =	хо

Сложение диагональной матрицы прямых темпов прироста

ОО

V' =	"22	о
		(5.10)
	о о	пп J

элементы которой вычислены по формуле (5.8), и матрицы кос­ венных темпов прироста V" с элементами (5.9)

^0	V12
ft	о	ft
V2I		v2n
			(5.11)
V„l	V„2	0
приводит к матрице темпов прироста
	1
v = v'+л--^1-v',			(5.12)
с помощью которой можно записать
x , = ( I - V )		-1,	(5.13)
		»,-!'

где (I—V) ' — матрица роста с элементами, представляющими со­ бой частные коэффициенты роста.

177

Существенным в формировании матрицы роста в рассматри­ ваемом подходе является вопрос о соотношении, в котором на­ ходятся две составляющие прироста. Дать абсолютно четкие ре­ комендации по этому поводу весьма трудно. Единственно пра­ вильный выход, на наш взгляд, заключается в том, чтобы вве­ сти в модель настраиваемый параметр, через который можно оп­ ределять величину этого соотношения. Такая возможность пре­ доставляется тогда, когда в наборе данных содержится более двух наблюдений и часть из них (хотя бы одно наблюдение) можно использовать в качестве контрольной выборки для настройки параметра.

Введение такого параметра позволяет каждую из составляющих прироста любого /-го показателя представить в виде

А'*,., = fihxu;

A% =(1-ц)Ах„,

(5.14)

где 0 < jU < 1.

Если в формулах (5.8) и (5.9) используются составляющие при­ роста (5.14), то матрица темпов приростов V зависит от настраи­ ваемого параметра /л, и модель (5.13) можно переписать в виде

x ^ d - V G u ) ) - ' * , . , .

(5.15)

У этой модели полностью сохраняются свойства, касающиеся точности аппроксимации, и одновременно повышается точность экстраполяции.

Настройку параметра ц можно осуществлять таким образом, чтобы минимизировать выражение

Х(ц) = max|x,+1/ -xt+u\,

(5.16)

представляющее собой максимальную величину разности между компонентами контрольного наблюдения х,+1 и вектора прогноз­ ных оценок

х1+1=(1-Х(ц)Г1хг

(5.17)

В тех случаях, когда прогнозируемые показатели сильно отли­ чаются масштабом измерения, критерий в виде разности (5.16) теряет свою целесообразность. Его можно заменить относительной величиной ошибки

Ъ\ц) = max	l-—-—:—1.	(5 18)
'	\xt+u\

178

Используя набор данных табл. 5.1 и некоторые результаты пре­ дыдущего примера, проиллюстрируем порядок построения вышеиз­ ложенной модели.

Для удобства расчетов, проводимых в матричной форме, вве­ дем в рассмотрение матрицу М, элементы которой определяют­ ся настраиваемым параметром ц, и матрицу весовых коэффици­ ентов W:

А0,1	0,9	0,9Л	1	0,5	0,5
М* 0,9	ОД	0,9	W = 0,5	1	0,5
0,9	0,9	0,1	0,5	0,5	1

Затем рассчитаем комбинированную матрицу прямых и косвенных темпов прироста:

'0,1395	0,5511	1,9337N
V,=V2' + V'= 0,0209	0,0826	0,2898
0,0076	0,0301	0,1058
v		)

Применяя операции блочного умножения (*) и обращения мат­

риц, получаем предиктор
(1,0200	0,2678	0,9323Л
A 2 ( / i ) = ( l - M * W * V 2 ) 4 = 0,0102	1,0128	0,1424
0,0037	0,0148	1,0159

с помощью которого рассчитываем постпрогнозные оценки и от­ носительные ошибки

^ 4337,82^		< 2,00	^
х 3 = А , (/i)x2 = 1039,95	$х?	-0,32
303,24 у		1,55
Настройка параметра по критерию минимизации			максимальной

относительной ошибки позволила установить оптимальное значе­ ние параметра /л* = 0,9, при котором предиктор

(1,1437 0,0342 0,1228 A2(fi*)=k-M* *W*\2У = 0,0013 1,0804 0,0174 0,0005 0,0018 1,1053

дает прогнозные оценки с соответствующими относительными ошибками

179