- •Идея метода гаусса
- •Уравнение плоскости орбиты светила
- •Отношения площадей треугольников
- •Исправление моментов времени за планетную аберрацию
- •1 А.Е. Свет пройдет за (499.0s или 8m19.0s).
- •Вычисление отношения площади сектора к площади треугольника
- •Второе и дальнейшие приближения
- •Определение элементов орбиты
- •Алгоритм вычислений
- •Формула эйлера
Отношения площадей треугольников
Предположим для простоты, что плоскость координат совпадает с плоскостью орбиты светила. Тогда уравнения движения примут вид
[15]
- масса светила пренебрежимо мала по сравнению с массой Солнца. Выберем единицу измерения времени так, чтобы . Масса и расстояние измеряются в массах Солнца и астр. единицах соответственно, можно подобрать лишь единицу измерения времени, входящего в :
.
Здесь время измеряется в сутках, исходя из размерности , время измеренное в новых единицах, связано с временем, измеренным в средних сутках . средних суток.
Теперь вместо времени t вводим новую переменную . [16]
Уравнения [15] заменяются следующими
[17]
Пусть в исходный момент времени, когда , светило имеет координаты и радиус-вектор r;
в момент , соответственно - .
Требуется определить площадь треугольника, считая известным r и его производные по времени.
Допустим , тогда можно представить
[18]
Дифференцируя [17] по , можно получить выражение высших производных , содержащие только ; :
[19]
Подставляя эти производные в [18]:
или
[20]
где
[21]
Выражения [20] связывают координаты светила в момент с его координатами в момент . Из [20] можно определить искомую удвоенную площадь треугольника:
[22]
Скобка справа это удвоенная секторная скорость, которая сохраняется при движении. При рассмотрении задачи двух тел был получен интеграл секторной скорости (закон сохранения момента импульса - [37]):
.
В рассматриваемом случае (орбита лежит в координатной плоскости), :
[23]
Применим этот результат к трем положениям светила и найдем удвоенные площади треугольников . Промежутки времени обозначим
[24]
причем индекс у соответствует индексу, недостающему справа (заметим, что ).
В [20] полагаем ; и заменяя соответственно на ; :
[25]
(исходя из положения 2, хотим получить положение 1, значит «-», см.[24])
(исходя из положения 2, хотим получить положение 3, значит «+», см.[24])
[26]
Итак
Продолжим
.
Следовательно, удвоенные площади треугольников определяются:
[27]
где в последнем равенстве использовано .
Площади треугольников выражены через и промежутки времени, но пока неизвестно.
Итак,
,
Аналогично .
Эти формулы даны Энке и они точнее тех, которыми пользовался сам Гаусс. Положим
[28]
Тогда
[29]
Вспомним [13] и [14]:
подставим сюда :
или [30]
где [31]
Тем самым выразилось не через две неизвестные (см. [13]), а через одну неизвестную .
Но между и существует, кроме того, очень простое геометрическое соотношение, вытекающее из треугольника Солнце-Земля-светило.
Напомним, что - геоцентрические координаты Солнца.
Направляющие косинусы известны из наблюдений см. формулы [10].
Скалярное произведение
. [32]
Применим теорему косинусов
, [33]
из [32] известно .
Итак, имеем систему двух уравнений [30] и [33] с двумя неизвестными:
[34]
Эту систему можно решать методом последовательных приближений относительно (аналитически не удается).
В 1-м приближении (см.[30]),
это (т.е. ) подставляем во 2-е уравнение [34],
получаем ,
это подставляем в 1-е уравнение [34],
и получаем новое .
2-е приближение и т.д.
Процесс итераций продолжается до совпадения 4-х значащих цифр в двух последовательных приближениях.
Итак, найдены и , и значит по формулам [29] можно получить отношения площадей треугольников .
1-е ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ КООРДИНАТ СВЕТИЛА
Отношения площадей треугольников получены в 1-м приближении. Обратимся к системе уравнений [12]
[12]
Зная правые части, решаем систему относительно неизвестных . Далее получаем . , полученное из системы [12], полезно сравнить с , полученным из системы [11]; это контроль вычислений.
Теперь из системы [11] получаем 1-е приближение гелиоцентрических координат светила:
- контроль вычислений (сравнить с решением [34]).
Контроль вычислений с использованием системы [9]:
Дополнительный контроль вычислений:
где
Если контроль показывает правильность вычислений, то гелиоцентрические координаты светила, таким образом, получены в первом приближении для трех моментов наблюдения. Вычисления здесь носили приближенный характер, так как при вычислении (формулы [29]) были отброшены члены высших порядков в рядах разложения.