- •Идея метода гаусса
- •Уравнение плоскости орбиты светила
- •Отношения площадей треугольников
- •Исправление моментов времени за планетную аберрацию
- •1 А.Е. Свет пройдет за (499.0s или 8m19.0s).
- •Вычисление отношения площади сектора к площади треугольника
- •Второе и дальнейшие приближения
- •Определение элементов орбиты
- •Алгоритм вычислений
- •Формула эйлера
Второе и дальнейшие приближения
Из соотношений [37] можно уточнить значения . Эти величины снова подставляем в правые части системы [12] и находим новые - уточнённые.
Из [11] находим новые гелиоцентрические координаты x,y,z. Если были заметно ошибочны, то можно снова внести поправку за аберрацию.
После этого снова вычисляются (из [59] и [57]). Процесс приближений продолжается, пока значения не будут совпадать в двух последовательных приближениях (4 значащие цифры), после чего можно перейти к определению элементов орбиты.
Но перед этим полезно провести дополнительный контроль вычислений: так как известны, то
и затем по формулам [1]:
дают возможность получить и и сравнить их с наблюдёнными.
Определение элементов орбиты
Результаты, полученные в последнем приближении, должны послужить для нахождения элементов орбиты. Из уравнения [38] для параметра получаем
[60]
Первое из этих трёх уравнений даёт наибольшую точность, так как в нём числитель и знаменатель не столь малые величины, как в двух последних. Поэтому элементы орбиты вычисляются по крайним моментам времени и , то есть (исправлено за планетную аберрацию!).
по определению векторного произведения и .
Для контроля можно использовать соотношение
,
.
Зная и формулы [60] находим параметр орбиты .
Теперь вычислим истинные аномалии и эксцентриситет.
, ,
, . [61]
Разность известна хотя бы из уравнений [60]:
, [62]
[63]
Из [61] и [63] по и находим , а из [62] получаем . Эксцентриситет немедленно получается из тригонометрической единицы:
. [64]
Перигелийное, афелийное расстояние и большая полуось орбиты соответственно
, , .
Эксцентрические аномалии и находятся в тех же четвертях, что и и для достаточно малых значений эксцентриситета:
,
,
а затем применяем уравнение Кеплера, дающее средние аномалии:
,
,
где и выражено в радианах. С другой стороны
[65]
Формулы [65] позволяют вычислить среднее суточное движение (его размерность здесь рад/сут) и момент прохождения через перигелий .
По определению , где - некоторая исходная эпоха, из [65] следует:
, тогда
[66]
Так находим исходную эпоху и среднюю аномалию в эту эпоху .
Далее определяем угловые элементы орбиты.
Гелиоцентрические экваториальные координаты светила:
вычесть из вычесть из
верхнего нижнее нижнего верхнее
,
.
Аналогично
, [67]
.
Вычитая из нижней строки верхнюю, точно также получим
.
Аналогично
, [68]
.
Контроль
- направляющие косинусы вектора, направленного на перигелий,
- направляющие косинусы вектора, перпендикулярного предыдущему в плоскости орбиты.
Эти направляющие косинусы связаны с элементами орбиты:
Для нахождения угловых элементов орбиты, применяем следующую процедуру:
.
пока не найден!
.
.
Найдены все кеплеровы элементы орбиты.
Алгоритм вычислений
1. Исходные данные (все приведено к одной эпохе)
2. ф-лы [10] контроль
3. ф-лы [14]
4. ф-лы [24]
5. ф-лы [28] контроль
6. ф-лы [31]
7. ф-лы [32]
8. методом последовательных приближений решается система [34],
решением является
9. ф-лы [29]
10. решается основная система уравнений [12]
, где ;
, где (из ф-л [14]);
, где
11. вычисляется 1-е приближение гелиоцентрических координат по формулам [11]
12. контроль: сравнить с из решения [34],
сравнить с из решения [34],
должны удовлетворять [9]
13. вводится поправка за аберрацию [35],
новые вычисляются по ф-лам [24]
14. для новых интерполируются новые геоцентрические координаты Солнца
15. ф-лы [59]
16. методом последовательных приближений из алгоритма [57]
17. ф-лы [37]
18. решается основная система уравнений [12]
вычисляются из [11]
19. ф-лы [59]; ф-лы [57]; ф-лы [37]
должны совпадать с точностью 3-4 значащих цифр,
если нет, то к п.10,
если да, то можно переходить к определению элементов орбиты.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ.
Для кометных орбит хорошим приближением всегда может служить парабола. Их орбиты в той части, которая охватывается наблюдениями, практически неотличимы от параболы. {1} Часто можно вычислить удовлетворительную параболическую орбиту из наблюдений, отделенных суточными интервалами.
Параболическая орбита определяется только 5-ю элементами (постоянными), поскольку е=1. Это условие получает свое отражение в том, что существует соотношение между двумя радиус-векторами кометы и замыкающей их хордой, с одной стороны, и промежутком времени, в течение которого комета переместилась из 1-го положения во 2-е, с другой стороны. Это соотношение формулирует теорема Эйлера. {2}
Если имеется три наблюдения над кометой, то можно получить уравнение, связывающее первое геоцентрическое расстояние 1 с третьим 3.
Второе уравнение, связывающее 1 и 3, Ольберс выводит из уравнений плоскости, исключая 2.
Из этих двух уравнений можно найти две неизвестные величины 1 и 3. Это делается не прямым путем, а с помощью проб. В результате отыскиваются гелиоцентрические координаты кометы, а из них – элементы орбиты.
Ход решения принципиально отличается от рассуждений, проведенных для эллипса. В методе Гаусса путем последовательных приближений отыскиваются значения двух основных параметров – отношений площадей треугольников n1 и n3, здесь же все сводится к одному параметру: соотношению крайних геоцентрических расстояний 1 и 3.
Постановка задачи
Пусть для трех моментов наблюдений даны координаты кометы и координаты Солнца:
ti, i, i, Xi, Yi, Zi; i=1,2,3.
Требуется вычислить элементы орбиты q, T0, , , i притом, что заведомо известно значение эксцентриситета e=1.
Уравнение Ольберса
Так же, как и в методе Гаусса отыскания элементов эллиптической орбиты рассмотрим основную систему уравнений
[12]
где [10], [11]
В системе [11] подставляются гелиоцентрические экваториальные координаты кометы.
Из системы [12] надлежит исключить 2 и получить два уравнения, связывающих 1 и 3. Это легко сделать, если домножить каждое уравнение [12] соответственно на величины А,В,С. Причем эти величины такие, что выполняются условия
[69]
Условия [69] представляют собой скалярные произведения вектора с координатами (А,В,С) на (a2,b2,c2) и
(А,В,С) на (X2,Y2,Z2).
Эти вектора перпендикулярны. Вектор (А,В,С) определяет полюс Р на небесной сфере.
Точки К1, К2, К3 – наблюденные положения кометы или вектора с координатами (ai,bi,ci).
S1, S2, S3 – гелиоцентрические места Земли (антиподы геоцентрических мест Солнца) или вектора с координатами (-Xi,-Yi,-Zi).
Попробуем решить систему [69]:
С можно выбрать любым, тогда
[70]
Умножим систему [12] на А,В,С соответственно. Суммируя, с учетом [69], получим
Введем обозначения
[71]
Тогда
Введем обозначения
[72]
Тогда [73]
Это уравнение Ольберса. Названо оно так из-за того, что Ольберс выбрал основной круг так, что он проходит через вторые места кометы и Земли (Солнца). Вообще, второе наблюдение входит в вычисление орбиты постольку, поскольку должно соблюдаться условие [69]. То есть второе место кометы должно лежать на основном круге.
Для вычисления m и M потребуется знать отношение . При вычислении элементов эллиптической орбиты было получено (формулы [29]):
,
Далее
В нулевом приближении можно принять , подставляя сюда это r2, получим
[74]
Итак, уравнение Ольберса [73] связывает 1 и 3. Ни одна из этих величин пока неизвестна, так же как и гелиоцентрические расстояния r1 и r3. Правда, между ними есть геометрические уравнения связи:
,
но и этого недостаточно.
Кроме того, ясно, что и между двумя гелиоцентрическими положениями кометы есть геометрическая связь.
,
,
,
,
[75]
Но это лишь уточнение связи между положениями в 1-й и 3-й моменты времени.
Надо учесть, что движение происходит по параболической траектории.