- •Идея метода гаусса
- •Уравнение плоскости орбиты светила
- •Отношения площадей треугольников
- •Исправление моментов времени за планетную аберрацию
- •1 А.Е. Свет пройдет за (499.0s или 8m19.0s).
- •Вычисление отношения площади сектора к площади треугольника
- •Второе и дальнейшие приближения
- •Определение элементов орбиты
- •Алгоритм вычислений
- •Формула эйлера
Исправление моментов времени за планетную аберрацию
Пусть в момент светило находилось в точке , а Земля (геоцентрический наблюдатель) в точке . Свет, вышедший из в момент , дойдёт до наблюдателя в момент , когда наблюдатель будет находиться уже в точке . А – время, в течение которого свет проходит расстояние, равное 1 а.е. (аберрационная постоянная):
,
1 А.Е. Свет пройдет за (499.0s или 8m19.0s).
Наблюдение светила естественно производится в момент или . На самом деле, получаемые координаты светила относятся к моменту или :
, [35]
где A = 0.0057755 сут/а.е.,
- геоцентрическое расстояние светила, выраженное в а.е.
После нахождения 1-го приближения прямоугольных гелиоцентрических координат светила, исправляем время за планетную аберрацию по формулам [35]. Затем по формулам [24] получаем новые значения приведенного времени .
При точном вычислении здесь надо заново интерполировать координаты Солнца .
Теперь в разложениях [27] можно вычислять члены высших порядков и получать с более высокой точностью. Эта идея принадлежит Лагранжу. Гаусс отказался от этого из-за громоздкости вычислений и предложил иной путь вполне строгого нахождения .
Пусть (вспомним [2]) - удвоенные площади секторов между соответствующими радиус-векторами светила. Обозначим, как и выше, отношение площади сектора к площади соответствующего ему треугольника
. [36]
Тогда, домножая отношения площадей треугольников и соответственно на и , получим
Из II-го закона Кеплера (см.[2]) следует, что площади секторов относятся как промежутки времени между наблюдениями, и следовательно,
[37]
Здесь, конечно, надо брать значения приведенного времени , исправленные за планетную аберрацию.
Как только мы найдем , сразу же получим и улучшенные значения (из [37]) и сможем решить систему [12].
Вычисление отношения площади сектора к площади треугольника
Известно (в 1-м приближении) два гелиоцентрических положения тела и время , в течение которого светило перешло из одного положения в другое (время исправлено за планетную аберрацию). Таким образом, известны радиусы-векторы и угол между ними :
Или, лучше (точнее, так как малый угол):
По определению и используя формулу [2]:
[38]
Здесь в правой части неизвестно . Надо его исключить. Сделать это можно при помощи уравнений эллиптического движения.
Отметим, что некоторые величины, являющиеся мнимыми для гиперболы, по завершении преобразований исчезают и конечный результат пригоден для любого конического сечения.
Если - истинная аномалия,
- эксцентрическая аномалия, то, вспоминая равенства, полученные при выводе уравнения Кеплера (см. “ЗАДАЧА 2-х ТЕЛ” [54] и [55]):
можно записать следующее
[39]
[39’]
[40]
[40’]
[41]
[41’]
[42]
[42’]
Проведём следующие преобразования – [39][39’]+[40][40’]
левая часть
правая часть
.
Итак [43]
[39][39’]-[40][40’]
левая часть
правая часть
.
Итак [44]
Из [43] и [44] исключим [44]e+[43]
,
. [45]
Далее, сложим [42] и [42’]:
и подставим сюда [45]:
;
;
;
. [46]
Таким образом, получено значение , которое можно подставить в [38]:
,
из тригонометрии , тогда
,
. [47]
Введем обозначения [48]
Тогда последнее соотношение можно записать в виде
[ПЕРВОЕ УРАВНЕНИЕ ГАУССА] [49]
Найдем [41’]-[41]:
,
Отсюда надо исключить и . Вспомним [43]:
[43’]
и подставим
,
. [50]
Вспомним, что уравнение эллипса можно записать через эксцентрическую аномалию , тогда
, ,
,
.
Исключая с помощью [43’] :
,
,
.
Вспомним [47]
, [47]
,
и подставим
. [51]
Исключая из [50] с помощью [51], находим
,
используя обозначения [48]:
,
[ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ ГАУССА] [52]
Для нахождения необходимо решить [49] и [52].
Если , то есть наблюдения близки между собой, то из определения [38] следует, что .
Введём обозначения [53]
Далее из [49] и [52] исключается , выражается через ; и разлагаются в ряды по и после достаточно длинных преобразований:
, [54]
где , [55]
где [56]
Итак, прежде всего, из [48] находим и ,
затем в [55] полагаем и находим ,
решаем [54] относительно (~1),
из [49] и [53] следует , так что сюда подставляем найденный ,
получаем ,
из [56] находим ,
входим в [55], получаем новое ;
Далее – в [54] и снова получаем ...
Это уже метод нахождения , применимый на практике. На основе этого метода можно записать алгоритм нахождения для наблюдений, разделённых не очень большими промежутками времени:
1 шаг =1.05
2 шаг [49]
3 шаг вычисляем [57]
4 шаг [52]
5 шаг
6 шаг
Вернемся к основной задаче. Величины введены в соотношениях [36]; - в соотношениях [24]. Обозначения [48] для можно представить в виде:
,
где
Тогда
Введём обозначения
,
, [58]
.
Тогда
[59]
Теперь по алгоритму [57] можно вычислить .