Сербо, Хриплович. Квантовая механика

‚ ¨¬¯ã«ìá-®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨, ãç¨âë¢ î饬 ¢ ï¢-®¬ ¢¨¤¥ ¢¥é¥- á⢥--®áâì ¢¥ªâ®à-®£® ¯®â¥-æ¨ « ,

Z	d3k	h		k	k	i
	(2 )3
A(r; t) =			A		(t) eikr + A (t) e−ikr	(43:1)

¬¯«¨âã¤ë Ak(t) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®á樫«ïâ®à-®¬ã ãà ¢-¥-¨î

A•k + !k Ak = 0; !k		cj j; :	:
2	=	k	(43 2)

ˆâ ª, ¢ ª ¦¤®© ¬®¤¥, â® ¥áâì ¤«ï ª ¦¤®£® k, ¨¬¥¥¬ £ ମ-¨ç¥áª¨© ®á樫«ïâ®à, â ª çâ®

Ak(t) / e−i!k t ; Ak(t) / ei!k t :

(43:3)

• §«®¦¥-¨¥ ¯® ¯«®áª¨¬ ¢®«- ¬ (43.1) ¯®§¢®«ï¥â £®¢®à¨âì ®¡ í«¥ª- â஬ £-¨â-®¬ ¯®«¥ ª ª ® ¡¥áª®-¥ç-®¬ - ¡®à¥ ®á樫«ïâ®à®¢, ç áâ®- âë ª®â®àëå !k ¯à®¡¥£ îâ -¥¯à¥àë¢-ë© àï¤ §- ç¥-¨©. •à¨ ª¢ -â®-

¢-¨¨ íâ¨å ®á樫«ïâ®à®¢ ¢®§-¨ª ¥â ª¢ -⮢ --®¥ í«¥ªâ஬ £-¨â- -®¥ ¯®«¥. „«ï ¯à¨¤ -¨ï ¡®«ì襩 - £«ï¤-®á⨠¯à®æ¥¤ãॠª¢ -â®-

¢-¨ï, 㤮¡-® ¯¥à¥©â¨ ª ¤¨áªà¥â-®¬ã - ¡®àã ®á樫«ïâ®à®¢. „«ï í⮣® à áᬮâਬ ¯®«¥ ¢ ª®-¥ç-®¬ ®¡ê¥¬¥ V = L1L2L3 ¨ ¨á¯®«ì- §ã¥¬ ãá«®¢¨¥ ¯¥à¨®¤¨ç-®á⨠¯®«ï - £à -¨æ å ®¡ê¥¬ . •à¨ í⮬ ª®¬¯®-¥-âë ¢®«-®¢®£® ¢¥ªâ®à (¨ ç áâ®âë) áâ -®¢ïâáï ¤¨áªà¥â-ë-

¬¨ ki = 2 ni=Li, £¤¥ ni | æ¥«ë¥ (¯®«®¦¨â¥«ì-ë¥ ¨ ®âà¨æ ⥫ì-ë¥) ç¨á« . ‚ ¨â®£¥ ¢¬¥áâ® à §«®¦¥-¨ï ¢ ¨-â¥£à « ”ãàì¥ (43.1) ¢®§-¨ª - ¥â à §«®¦¥-¨¥ ¢ àï¤ ”ãàì¥

k	h	k	k	i
X		A (t) eikr + A (t) e−ikr		;	(43:4)
A(r; t) =

£¤¥ -®¢ë¥ ¬¯«¨âã¤ë Ak(t) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ⥬ ¦¥ á®®â-®è¥-¨ï¬ (43:2) − (43:3), çâ® ¨ à -ìè¥. • §«®¦¥-¨¥, ¯®¤®¡-®¥ (43.4), ¬®¦-® - ¯¨á âì ¨ ¤«ï ¯®«¥© E(r; t) ¨ B(r; t), ¯à¨ç¥¬ ¬¯«¨âã¤ë íâ¨å ¯®«¥© ¢ ᨫã ãà ¢-¥-¨©

	1 @A
E = −c					;	B = r A
			@t
á¢ï§ -ë á ¬¯«¨â㤠¬¨ ¢¥ªâ®à-®£® ¯®â¥-æ¨ «
Ek =	i!k	Ak ;				Bk = ik Ak :	(43:5)
	c

ˆ§-§ ãá«®¢¨ï div A(r; t) = 0 ¨«¨ k Ak = 0, ¢¥ªâ®à Ak «¥¦¨â ¢ ¯«®á- ª®áâ¨, ®à⮣®- «ì-®© ¢®«-®¢®¬ã ¢¥ªâ®àã k, â® ¥áâì ¨¬¥¥â «¨èì ¤¢¥

121

-¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ª®¬¯®-¥-âë. „¢¥ á⥯¥-¨ ᢮¡®¤ë ®á樫«ïâ®à á®®â- ¢¥âáâ¢ãîâ ¯®¯¥à¥ç-®á⨠᢮¡®¤-ëå í«¥ªâ஬ £-¨â-ëå ¢®«- ¢ ¢ ªã- 㬥. ‚¢¥¤¥¬ ¤¢ ¢¥ªâ®à ¯®«ïਧ 樨 "k , = 1; 2 (ª®¬¯«¥ªá-ë¥

¢ ¡ §¨á¥ æ¨àªã«ïà-ëå ¯®«ïਧ 権), ®-¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ ¯®¯¥à¥ç-®áâ¨: k "k , ®à⮣®- «ì-®áâ¨: "k "k 0 = 0 ¨ ¯®«-®âë:

X	)i (" )j = ij −	kikj	:
"		k2
( k	k		(43 6)
(§¤¥áì i; j ®§- ç ¥â ª®¬¯®-¥-âë ¢¥ªâ®à ¯®«ïਧ 樨; á¯à ¢			á⮨â

¥¤¨-¨ç-ë© â¥-§®à ¢ ¯«®áª®áâ¨, ®à⮣®- «ì-®© ¢¥ªâ®àã k). • §«®- ¦¨¬ ¢¥ªâ®à Ak(t) ¯® ¢¥ªâ®à ¬ ¯®«ïਧ 樨

X

Ak(t) = Ck ak (t) "k

¨ ¢ë¡¥à¥¬ -®à¬¨à®¢®ç-ë© ¬-®¦¨â¥«ì Ck ¢ ¢¨¤¥

v

u

u hc2 Ck = t 2 :

!k V

’®£¤ «¥£ª® ¯®ª § âì, çâ® í-¥à£¨ï ª ¦¤®© ¬®¤ë ª®«¥¡ -¨© á § ¤ -- -®© ¯®«ïਧ 樥© à ¢-

E

h!k a a

;

k

=

k

k

¨¬¯ã«ìá ¬®¤ë à ¢¥- (k=k) Ek =c.

„¥©á⢨⥫ì-®, ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ -¨¨ à §«®¦¥-¨ï

; t

v

a t "

a t "

−

u

2 hc2

h

ikr

i

k

!k

A(r

) =

X u

X

( ) k

eikr +

)

t

V

k (

k

e

¢ëà ¦¥-¨¥ ¤«ï í-¥à£¨¨ í«¥ªâ஬ £-¨â-®£® ¯®«ï

E = Z d3r E2 + B2

8

᢮¤¨âáï ª á㬬¥ ®á樫«ïâ®à-ëå í-¥à£¨©

	X
E =	Ek ;
	k
¢ëà ¦¥-¨¥ ¤«ï ¯®«-®£® ¨¬¯ã«ìá		¯®«ï
P =	d3r	E B
Z		4 c

(43:7)

(43:8)

122

᢮¤¨âáï ª á㬬¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨¬¯ã«ìᮢ ¤«ï ª ¦¤®© ¬®¤ë ª®- «¥¡ -¨©

X k Ek

P = k k c :

• ¯®¬-¨¬, çâ® ¤«ï ®¡ëç-®£® «¨-¥©-®£® ®á樫«ïâ®à £ ¬¨«ìâ®-

-¨ -

p2

m!2x2

H =

+

¢ ¯¥à¥¬¥--ëå

2m

2

m!x + ip

m!x − ip

a =

; a =

p2

p2

mh!

mh!

¨¬¥¥â ¢¨¤ H = h!a a. •à¨ ª¢ -⮢ -¨¨ ®á樫«ïâ®à

((á¬. x7) § -

¢¨áï騥 ®â ¢à¥¬¥-¨ ª« áá¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨-ë a(t) ¨ a t) áâ -®¢ïâ-

áï ®¯¥à â®à ¬¨ ã-¨ç⮦¥-¨ï a^ ¨ ஦¤¥-¨ï a^+ ª¢ -â

á í-¥à£¨¥© h!

(¯à¨ í⮬ á ¬¨ ®¯¥à â®àë ¢ ®¡ëç-®¬ è।¨-£¥à®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥- -¨¨ -¥ § ¢¨áï⠮⠢६¥-¨, ¢à¥¬¥-- ï § ¢¨á¨¬®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢®«-®¢ë¬¨ äã-ªæ¨ï¬¨). Š« áá¨ç¥á¨© £ ¬¨«ìâ®-¨ - H áâ -®¢âáï ®¯¥à â®à®¬ ˜à¥¤¨-£¥à

H^ = 1 h!(^a+a^ + a^a^+) : 2

•à¨ ¨á¯®«ì§®¢ -¨¨ ¯¥à¥áâ -®¢®ç-ëå á®®â-®è¥-¨© [^a; a^+] = 1 ®¯¥- à â®à H^ ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¢¨¤ã

H^ = h!(^n + 1=2); n^ = a^+a^ ;

£¤¥ n^ | ®¯¥à â®à ç¨á« ª¢ -⮢, ᮡá⢥--ë¥ §- ç¥-¨ï ª®â®à®£® áãâì æ¥«ë¥ ç¨á« n = 0; 1; 2; : : :

А- «®£¨ç-®, ¯à¨ ª¢ -⮢ -¨¨ í«¥ªâ஬ £-¨â-®£® ¯®«ï ¢¥«¨ç¨-ë

a t	a	t	ak
k ( ) ¨	k	( ) áâ -®¢ïâáï ®¯¥à â®à ¬¨ ஦¤¥-¨ï ^+		¨ ã-¨ç⮦¥-¨ï
a^k ª¢ -â , ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ä®â®-ã á í-¥à£¨¥© h!				k , ¨¬¯ã«ìᮬ hk
¨ ¯®«ïਧ 樥© ,			¢¥ªâ®à-ë© ¯®â¥-æ¨ « (43.7) áâ -®¢¨âáï -¥ § -
¢¨áï騬 ®â ¢à¥¬¥-¨ ®¯¥à â®à®¬

A(r) =

v

a "

ak "

−

:

u

2 hc2

^

eikr + ^+

ikr

k

!k

^

X u

t

V

k

k

k

e

•®«ï E(r; t) ¨ B(r; t) â ª¦¥ áâ -®¢ïâáï ®¯¥à â®à ¬¨

v

a "

ak " e−

;

i!

k

u

hc2

E

k

c

u

!k

−

^(r) =

X

^k

eikr

^+

ikr

t

V

k

(43:9)

(43:10)

123

^

B(r) =

	v
			2 hc2		ik
k
	u		!k
X u
	t			V

a^k "k eikr − a^+ " −ikr ; k k e

¢ëà ¦¥-¨ï ¤«ï í-¥à£¨¨ (43.8) ¨ ¨¬¯ã«ìá í«¥ªâ஬ £-¨â-®£® ¯®«ï áâ -®¢ïâáï á㬬 ¬¨ ®¯¥à â®à®¢ ˜à¥¤¨-£¥à ¨ ®¯¥à â®à®¢ ¨¬¯ã«ì- á ¤«ï ®â¤¥«ì-ëå ä®â®-®¢:

H	k	Hk ; Hk =		2 h!				k a^k a^k		ak ak
	X			1
^ =		^ ^							+	+ ^ ^+
		^	X			k H^k			:
		P =
				k		k		c

•à¨ ¨á¯®«ì§®¢ -¨¨ ¯¥à¥áâ -®¢®ç-ëå á®®â-®è¥-¨©

+	0	kk	0
[^ak ; a^k ] =

®¯¥à â®à H^k ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¢¨¤ã

^k		= (^k		+ 1 2) ^k		= ^+		k	;
H		h!k n		= ; n		ak a
							^

;

£¤¥ n^k | ®¯¥à â®à ç¨á« ª¢ -⮢, ᮡá⢥--ë¥ §- ç¥-¨ï ª®â®à®£® áãâì æ¥«ë¥ ç¨á« nk = 0; 1; 2; : : :

•ãáâì j nk ; t i | á®áâ®ï-¨¥ ¯®«ï, ᮤ¥à¦ 饥 nk ä®â®-®¢ á í-¥à- £¨¥© h!k , ¨¬¯ã«ìᮬ hk ¨ ¯®«ïਧ 樥© ª ¦¤ë©. ’ ª ª ª

p

a^+ j nk ; t i = nk + 1 j nk + 1; t i ei!k t ;

k

a^k j nk ; t i = pnk j nk − 1; t i e−i!kt ;

â® ¨§ (43.9) ¨«¨ (43.10) ¢¨¤-®, çâ® ¯à¨ ¤¥©á⢨¨ ®¯¥à â®à A(r)^ ¨«¨ ®¯¥à â®à E^ (r) - - ç «ì-®¥ á®áâ®ï-¨¥ ¯®«ï ¬®¦¥â ¯à®¨á室¨âì ¨§- «ãç¥-¨¥ ¨«¨ ¯®£«®é¥-¨¥ ®¤-®£® ä®â®- . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ âà¨ç-

-ë¥ í«¥¬¥-âë ®¯à â®à A(r)^

à ¢-ë:

¯à¨ ¨§«ãç¥-¨¨ ä®â®-

i!kt

;

h nk + 1; t j A(r)^ j nk ; t i = Af i(r) e

f i

(r) = pnk

v

−

A

2 hc2

(43:11)

+ 1

"k

e ikr ;

u

u

!k

¯à¨ ¯®£«®é¥-¨¨ ä®â®-

t

V

h nk − 1; t j A(r)^

j nk ; t i = Af i(r) e−i!kt ;

124

Af i(r) =

(43:12)

"k eikr :

pnk

v

u

u hc2

t 2

!k V

Ž¡à ⨬ ¢-¨¬ -¨¥ - â®, çâ® ¨§«ãç¥-¨¥ ¬®¦¥â ¯à®¨á室¨âì ¨ â®- £¤ , ª®£¤ - ç «ì-®¥ á®áâ®ï-¨¥ ¯®«ï -¥ ᮤ¥à¦¨â ä®â®-®¢, â® ¥áâì ¯à¨ nk = 0. •â® â ª - §ë¢ ¥¬®¥ ᯮ-â --®¥ ¨§«ãç¥-¨¥.

‚в®а¨з-®¥ ª¢ -в®¢ -¨¥ ¯а¨¬¥-¨¬® ¨ ª -¥а¥«пв¨¢¨бвбª®¬г га ¢- -¥-¨о ˜а¥¤¨-£¥а . •® в ¬ нв® «¨им 㤮¡-л© в¥е-¨з¥бª¨© ¯а¨¥¬, ¯®§¢®«пой¨© ¢в®¬ в¨з¥бª¨ гз¥бвм ⮦¤¥бв¢¥--®бвм з бв¨ж. ”¥а- ¬¨®-л ª¢ -вговбп б ¯®¬®ймо -в¨ª®¬¬гв в®а®¢. •® ¢в®а¨з-®¥ ª¢ -в®¢ -¨¥ ¯а¨-ж¨¯¨ «м-® ¢ ¦-® ¢ а¥«пв¨¢¨бвбª¨е § ¤ з е, £¤¥ з бв¨жл а¥ «м-® ஦¤ овбп ¨ --¨£¨«¨агов.

•à¨¬¥à

‹¨-¥©-® ¯®«ïਧ®¢ --ë© á¢¥â ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ®¯â¨ç¥áª¨ ªâ¨¢- -ãî á।ã, ¢à é îéãî ¥£® ¯«®áª®áâì ¯®«ïਧ 樨. Žæ¥-¨¬ ¬¨-¨- ¬ «ì-®¥ ç¨á«® ª¢ -⮢, -¥®¡å®¤¨¬®¥ ¤«ï ॣ¨áâà 樨 ¬ «®£® 㣫 ¯®¢®à®â ' ¯«®áª®á⨠¯®«ïਧ 樨.

“£®« ' ᮢ¯ ¤ ¥â (á â®ç-®áâìî ¤® ¬-®¦¨â¥«ï 1/2) á à §-®áâìî ä § æ¨àªã«ïà-ëå á®áâ ¢«ïîé¨å «¨-¥©-® ¯®«ïਧ®¢ --®© ¢®«-ë, ª®â®- à ï ¢®§-¨ª ¥â ¯à¨ ¯à®å®¦¤¥-¨¨ ¢®«-ë ç¥à¥§ á।ã. •â à §-®áâì ¤®«¦- ¡ëâì -¥ ¬¥-ìè¥ -¥®¯à¥¤¥«¥--®á⨠'. ‚¥«¨ç¨-®©, ª -®-¨- ç¥áª¨ ᮯà殮--®© 㣫ã ', ï¥âáï ¤¥©á⢨¥, à ¢-®¥ hN , £¤¥ N | ç¨á«® ª¢ -⮢. •®í⮬ã -¥®¯à¥¤¥«¥--®áâì ' á¢ï§ - á -¥®¯à¥¤¥-

«¥--®áâìî ç¨á«					>
		ª¢ -⮢ N á®®â-®è¥-¨¥¬ ' N 1. “ç¨âë-
	p
		N , ¯®«ãç ¥¬
¢ ï, çâ® N
		>		1
			N		:
				'2

•®«ãç¥--®¬ã १ã«ìâ âã ¬®¦-® ¯à¨¤ âì â ªãî ¨-â¥à¯à¥â æ¨î.

•ãáâì ¢®«- à á¯à®áâà -ï¥âáï ¢¤®«ì ®á¨ z,					- ç «ì- ï ¯®«ïਧ -
æ¨ï - ¯à ¢«¥-	¢¤®«ì ®á¨ x. ‚ í⮬ á«ãç ¥				¬¯«¨âã¤ í«¥ªâà¨ç¥-
0	p
᪮£® ¯®«ï Ex	/	h!N . •à¨ ¯®¢®à®â¥ ¯«®áª®á⨠¯®«ïਧ 樨 -

¬ «ë© 㣮« ' ¯®ï¢«ï¥âáï y á®áâ ¢«ïîé ï í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï. Œ¨-

-¨¬ «ì-®¥ §- ç¥-¨¥ ¥¥						¬¯«¨âã¤ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ॣ¨áâà 樨
®¤-®£® ä®â®- , à ¢-® Ey					0		p				¯®¢®à®â
						/		h!. •®í⮬㠮æ¥-ª ¤«ï 㣫
0	0		1	p							¤«ï N .
â ª®¢ : ' Ey	=Ex			=		N . Žâáî¤ á«¥¤ã¥â â ¦¥ ®æ¥-ª

125

x44. ˆá¯ã᪠-¨¥ ¨ ¯®£«®é¥-¨¥ ᢥâ

‘¯®-â --®¥ ¨ ¢ë-㦤¥--®¥ ¨§«ãç¥-¨¥

•ãáâì ⮬ ¨§ á®áâ®ï-¨ï i ¯¥à¥å®¤¨â ¢ á®áâ®ï-¨¥ f ¨ ¨§«ãç ¥â ä®- â®- á í-¥à£¨¥© h! = Ei − Ef , ¨¬¯ã«ìᮬ hk ¨ ¯®«ïਧ 樥© "k . „«ï á¨á⥬ë ⮬+í«¥ªâ஬ £-¨â-®¥ ¯®«¥ íâ® ¥áâì ¯¥à¥å®¤ ¨§ - ç «ì-

-®£® á®áâ®ï-¨ï i j nk i ¢ ª®-¥ç-®¥ á®áâ®ï-¨¥

f j nk + 1 i ¯®¤ ¤¥©-

á⢨¥¬ ¢®§¬ãé¥-¨ï

e

V^ = −

A(r)^

^p ;

(44:1)

cm

£¤¥ ®¯¥à â®à A(r)^ / eikr ®¯à¥¤¥«¥- ¢ (43.9). ’ ª ª ª ¢ - 襬 á«ãç ¥

!

v â

kr

aB

1 ;

c

c

â® § ¢¨á¨¬®áâìî ¢¥ªâ®à-®£® ¯®â¥-æ¨ «

®â r ¬®¦-® ¯à¥-¥¡à¥çì: A(r)^

A(0)^ , ¯®á«¥ 祣® ¬ âà¨ç-ë© í«¥¬¥-â ®¯¥à â®à

¢®§¬ãé¥-¨ï V^ ¯à¨-

-¨¬ ¥â ¢¨¤

e

i!t

= −

i!t

Vf i e

Af i (0) pf i e

;

(44:2)

cm

£¤¥ Af i ®¯à¥¤¥«¥- ¢ (43.11). •ãáâì ¤ «¥¥ H^ | £ ¬¨«ìâ®-¨ -

⮬ ,

⮣¤

i

pf i = mrf i = m

h

f j H^ r − rH^ j f i = −i!rf i ;

(44:3)

h

çâ® ¯®§¢®«ï¥â ¯à¥¤áâ ¢¨âì (42.2) ª ª ¬ âà¨ç-ë© í«¥¬¥-â ¢®§¬ãé¥- -¨ï

V^ = −er E^ (0) ;

(44:4)

£¤¥ ®¯¥à â®à í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï E^(r) ®¯à¥¤¥«¥- ¢ (43.10). „® á¨å ¯®à ¬ë à áᬠâਢ «¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ®¤-®£® í«¥ªâà®- . Ž¡®¡é¥-

-¨¥ -

á«ãç © ¡®«¥¥ á«®¦-®£®

⮬

®ç¥¢¨¤-®, ¤®áâ â®ç-® § ¬¥-¨âì

er -

¤¨¯®«ì-ë© ¬®¬¥-â á¨á⥬ë:

er

!

d =

ea ra :

(44:5)

a

X

•â® â ª - §ë¢ ¥¬®¥ ¤¨¯®«ì-®¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥.

ˆá¯®«ì§ãï (44.2), ¯®«ã稬 ¢¥à®ïâ-®áâì ¨§«ãç¥-¨ï

⮬®¬ ä®â®-

¢ ⥫¥á-ë© ã£®« d ¢ ¥¤¨-¨æ㠢६¥-¨ ¢ ¢¨¤¥

dw

=

2

j

V

2 (h! + E

f −

E

)

V d3k

=

V!2

V 2 d

f i

h

(2 h)2c3

f i j

i

(2 )3

j f i j

126

¨«¨ (¯®á«¥ ¯®¤áâ -®¢ª¨ (43.6) ¨ (44.3), (44.5)) ¢ ¢¨¤¥

	!3			2 (		+ 1)	(44 6)
k =		d	k		k
dw					n	d	:
	2 hc3 j f i " j
(¯à¨ í⮬ ¢á¯®¬®£ ⥫ì- ï ¢¥«¨ç¨-				| ®¡ê¥¬ V ¨á祧 ¨§ ª®-¥ç-®£®

१ã«ìâ â ). ‚ ¢ëà ¦¥-¨¨ nk + 1 ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥, ç¨á«® ª¢ -⮢ nk ¢ ¯ ¤ î饩 ¢®«-¥, ®¯¨áë¢ ¥â ¨-¤ãæ¨à®¢ --®¥ ¨§«ãç¥-¨¥; ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥, 1, ®¯¨áë¢ ¥â ᯮ-â --®¥ ¨§«ãç¥-¨¥, ¨¬¥ой¥¥ ¬¥бв® ¨ ¢ ®вбгвбв¢¨¥ ¯ ¤ ой¥© ¢®«-л. Ÿб-®, зв® а ¡®в ¥в «¨им ¯®«па¨§ ж¨п,

•¨á. 15: ‚¥ªâ®àë, ®¯¨áë î騥 ¨§«ãç¥-¨¥

«¥¦ é ï ¢ ⮩ ¦¥ ¯«®áª®áâ¨, çâ® ¨ ¢¥ªâ®àë k ¨ df i (á¬. à¨á. 15).

“£«®¢®¥ à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¨ ¨-â¥-ᨢ-®áâì ᯮ-â --®£® ¤¨¯®«ì-®- £® ¨§«ãç¥-¨¨

•®á«¥ á㬬¨à®¢ -¨ï ¯® ¯®«ïਧ æ¨ï¬ ä®â®- (¤«ï í⮣® 㤮¡-® ¨á- ¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã (43.1)) ¯®«ã稬 㣫®¢®¥ à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¨§«ã- ç¥--ëå ä®â®-®¢

	dwk	=	!3
	d		2 hc3
…᫨ df i / (0; 0; 1), â®

df i	k	2	:	(44:7)
	k

dwd k / sin2 ;

£¤¥ | ¯®«ïà-ë© ã£®« ¢ë«¥â ä®â®- . •â® à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ ᮮ⢥â- áâ¢ã¥â ª« áá¨ç¥áª®¬ã ¨§«ãç¥-¨î § à殮--®© ç áâ¨æ¥©, ª®«¥¡«î- 饩áï ¢¤®«ì ®á¨ z.

…᫨ df i / (1; i; 0), â®

dwd k / 1 + cos2 ;

127

ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª« áá¨ç¥áª®¬ã ¨§«ãç¥-¨î § à殮--®© ç áâ¨æ¥©, ¢à é î饩áï ¢ ¯«®áª®á⨠xy.

ˆ-â¥-ᨢ-®áâì ¨§«ãç¥-¨ï I ¯®«ãç ¥âáï ã¬-®¦¥-¨¥¬ ¯®«-®© ¢¥- à®ïâ-®á⨠¨§«ãç¥-¨ï - h!:

I = h!w =	4!4	j df i j2 :	(44:8)
	3c3
•à®áâ ï ¯®«ãª« áá¨ç¥áª ï ®æ¥-ª		â ª®¢ .	Š« áá¨ç¥áª ï ¨-â¥--

ᨢ-®áâì ¤¨¯®«ì-®£® ¨§«ãç¥-¨ï á®áâ ¢«ï¥â

Ie2 •r2 e2!4r2 : c3 c3

‘®®â¢¥âá⢥--®, ç¨á«® ª¢ -⮢, ¨á¯ãé¥--ëå ¢ ¥¤¨-¨æ㠢६¥-¨, â® ¥áâì ¢¥à®ïâ-®áâì ¨á¯ã᪠-¨ï ª¢ -â ¢ ¥¤¨-¨æ㠢६¥-¨, à ¢-®

w = h!I e2 hc!33 r2 !c23 r2 :

•®áª®«ìªã !j rf i j=c , â® ¤«ï è¨à¨-ë ã஢-ï , = hwf i ¯®«ãç ¥¬ ®æ¥-ªã

, 3 h! :

Žæ¥-ª ¤«ï ¢à¥¬¥-¨ ¦¨§-¨ â ª®¢

= w1 31! :

•à ¢¨« ®â¡®à

•à ¢¨« ®â¡®à ¤«ï í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¤¨¯®«ì-®£®, ¨«¨ E1, ¯¥а¥е®- ¤ ®¯а¥¤¥«повбп ¬ ва¨з-л¬ н«¥¬¥-⮬ hf jdjii: ç¥â-®áâì ¬¥-ï¥âáï;J = 1; 0; § ¯à¥é¥- 0-0 ¯¥à¥å®¤; ¤«ï ®¤-®í«¥ªâà®--ëå ª®-䨣ã- à 権 § ¯à¥é¥- ¯® ç¥â-®á⨠¯¥à¥å®¤ á l = 0.

•à ¢¨« ®â¡®à ¯® m: Ez ¢ë§ë¢ ¥â ¯¥à¥å®¤ë á m = 0, Ex;y ¨«¨ E

{¯¥à¥å®¤ë á m = 1.

‚á«¥¤ãî饬 ¯®à浪¥ ¯® v=c ¢®§-¨ª îâ ¬ £-¨â-ë¥ ¤¨¯®«ì-ë¥ M1 ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª¨¥ ª¢ ¤à㯮«ì-ë¥ E2 ¯¥à¥å®¤ë. Ž¯¥à â®à Œ1 ¯¥-

à¥å®¤ à ¢¥- (áà. (44.4), (44.5))

V^ = −^ B(0)^ = −2emch (L^ + 2S)^ B(0)^ :

…£® ¬¯«¨â㤠¢ =(eaB) а § ¬¥-ми¥, з¥¬ г …1. •а ¢¨« ®в¡®а ¤«п Œ1 ¯¥а¥е®¤®¢: -¥ ¬¥-повбп з¥в-®бвм ¨ а ¤¨ «м-л¥ ª¢ -в®¢л¥

128

(45:1)

ç¨á« ; J = 1; 0; 0-0 ¯¥à¥å®¤ § ¯à¥é¥-. ‚ ®¤-®í«¥ªâà®--ëå ª®-- 䨣ãà æ¨ïå ¯¥à¥å®¤ ¯à®¨á室¨â «¨èì ¬¥¦¤ã ª®¬¯®-¥-â ¬¨ â®-ª®© áâàãªâãàë (- ¯à¨¬¥à, p1=2 − p3=2).

•®£«®é¥-¨¥ ᢥâ

• áᬮâਬ ¯à®æ¥áá, ®¡à â-ë© ¨§«ãç¥-¨î, | ¯®£«®é¥-¨¥ ᢥâ . •ãáâì ⮬ ¨§ á®áâ®ï-¨ï f ¯¥à¥å®¤¨â ¢ á®áâ®ï-¨¥ i ¨ ¯®£«®é ¥â ä®â®- á í-¥à£¨¥© h! = Ei − Ef , ¨¬¯ã«ìᮬ hk ¨ ¯®«ïਧ 樥© "k .

„«ï á¨á⥬ë ⮬+í«¥ªâ஬ £-¨â-®¥	¯®«¥ íâ® ¥áâì ¯¥à¥å®¤ ¨§ - -
ç «ì-®£® á®áâ®ï-¨ï f j nk i ¢ ª®-¥ç-	®¥ á®áâ®ï-¨¥ i j nk − 1 i ¯®¤

¤¥©á⢨¥¬ ¢®§¬ãé¥-¨ï (44.1). •®¢â®àïï ¤ «¥¥ ¢ëª« ¤ª¨, - «®£¨ç- -ë¥ á«ãç î ¨§«ãç¥-¨ï, ¬ë ¯®«ã稬, çâ® ª¢ ¤à â ¬ âà¨ç-®£® í«¥-

¬¥-â	¢®§¬ãé¥-¨ï j Vf i j2, á -¨¬ ¨ ¯®«- ï ¢¥à®ïâ-®áâì ¯®£«®é¥-¨ï
ᢥâ	¢ ¥¤¨-¨æ㠢६¥-¨ w¯®£	, ®â«¨ç îâáï ®â ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¢¥-
	f !i

«¨ç¨- ¤«ï ¨§«ãç¥-¨ï «¨èì § ¬¥-®© ¬-®¦¨â¥«ï nk + 1 - ¬-®¦¨â¥«ì nk . ‚ ¨â®£¥

	w¯®£		nk
	f !i	=			:
			nk + 1
	w¨§«
	i!f

x45. ‹í¬¡®¢áª¨© ᤢ¨£

•¥âàã¤-® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® ®¯¥à â®àë í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¨ ¬ £- -¨â-®£® ¯®«¥© -¥ ª®¬¬ãâ¨àãîâ á ®¯¥à â®à ¬¨ ç¨á¥« § ¯®«-¥-¨ï ¨ í-¥à£¨¨ ¯®«ï. •®í⮬㠢 ¢ ªã㬥 í«¥ªâ஬ £-¨â-®£® ¯®«ï, â® ¥áâì ¢ á®áâ®ï-¨¨ á - ¨¬¥-ì襩 í-¥à£¨¥© ¨ -ã«¥¢ë¬¨ ç¨á« ¬¨ § ¯®«-¥-¨ï, ¯®«ï -¥ à ¢-ë -ã«î, ä«ãªâã¨àãîâ ¢®ªà㣠-ã«ï. ˆ-묨 á«®¢ ¬¨, ¤«ï í⮣® á®áâ®ï-¨ï á।-¨¥ §- ç¥-¨ï ¯®«¥© E ¨ B à ¢-ë -ã«î, á।-¨¥ §- ç¥-¨ï ª¢ ¤à ⮢ ¯®«¥© ®â«¨ç-ë ®â -ã«ï. •ã«¥¢®¥ ª®«¥- ¡ -¨¥ ¯®«ï á ç áâ®â®© ! ¨¬¥¥â í-¥à£¨î h!=2, -® íâ ¦¥ í-¥à£¨ï ¬®- ¦¥â ¡ëâì ¢ëà ¦¥- ç¥à¥§ äãàì¥- ¬¯«¨âã¤ã E! í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï

h! jE!j2

2 = 4 V ;

£¤¥ V | ®¡ê¥¬, ¢ ª®â®à®¬ § ª«îç¥-® ¯®«¥.

•«¥ªâà®- ¢ ⮬¥ ¢®¤®à®¤ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ã¥â -¥ ⮫쪮 á ªã«®- -®¢ë¬ ¯®«¥¬ ï¤à , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ ¯®â¥-æ¨ «ì-®© í-¥à£¨¥© U (r) = −e2=r, -® ¨ á -ã«¥¢ë¬¨ ä«ãªâã æ¨ï¬¨ ¢ ªã㬠, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª - - ¡«î¤ ¥¬ë¬ íä䥪⠬. •ãáâì | ¬ « ï ä«ãªâã æ¨ï ª®®à¤¨- âë

129

í«¥ªâà®- , ¢ë§¢ -- ï ¢ ªãã¬-ë¬ í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬ ¯®«¥¬. ‘।-¥¥ ¯® ¢ ªãã¬ã ®â ªã«®-®¢®£® ¯®â¥-æ¨ « à ¢-®

h U (r + ) i = U(r) + h i rU(r) + 1h i ki rirkU(r);

2

h i = 0; h i k i = 1 ik h 2 i :

3

ˆâ ª, ä«ãªâã 樮-- ï ¯®¯à ¢ª (á ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® U (r) = 4 e2 (r)) á®áâ ¢«ï¥â

	1	2
U (r) =	6 h 2 i U(r) =		e2 (r) h 2 i :
		3

ˆ§ ãà ¢-¥-¨ï ¤¢¨¦¥-¨ï m• = eE ¤«ï äãàì¥-ª®¬¯®-¥-âë ä«ãªâã- 樮--®£® ᬥé¥-¨ï á«¥¤ã¥â:

‘ ãç¥â®¬ (45.1) ¯®«ãç ¥¬

2

! =

e

! = −m!2 E! :

eE!2 !		2	2 2	:
		= 2
			e2h
m!			m ! V

2
„«ï - 宦¤¥-¨ï h 2 i ã¬-®¦¨¬ ¢¥«¨ç¨-ã ª¢ ¤à ⠮⪫®-¥-¨ï !	,
ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®¤-®© ¬®¤¥, - ç¨á«® ®á樫«ïâ®à®¢ V d3k=(2 )3 ¨

¯à®á㬬¨à㥬 ¯® ¢á¥¬ ®á樫«ïâ®à ¬ (¯à¨ í⮬ ¨§ ®â¢¥â ¨á祧-¥â ®¡ê¥¬ ¯®«ï V)

2 =

V d3k

2

=

2

h

2

d!

:

Z

!

h i

(2

)3

!

mc

!

Z

X

‚ ª ç¥á⢥ ¯à¥¤¥«®¢ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®£® ¨-â¥£à « ¢ë¡¨à ¥¬ !min ! â, â ª ª ª -¨¦¥ í«¥ªâà®- -¥«ì§ï áç¨â âì ᢮¡®¤-ë¬, ¨ !max mc2=h,

⪠ª ª ¢ëè¥ í«¥ªâà®- -¥«ì§ï áç¨â âì -¥à¥«ï⨢¨áâ᪨¬. ‚ १ã«ì-

ââ¥, ®¯¥à â®à ¢®§¬ãé¥-¨ï à ¢¥-

U(r) = 8	ln	1	e2	h	!2	(r) :
3				mc

•®¯à ¢ª ª í-¥à£¨¨ (¢ í⮬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨ ®- ¢®§-¨ª ¥â «¨èì ¤«ï s-á®áâ®ï-¨ï) á®áâ ¢«ï¥â

En = 8 ln	1 e2	h	!2	n(0) 2 =	316	3 ln	1	Ry3 :
3		mc	j	j			n

130