Сербо, Хриплович. Квантовая механика

á«¥¤ã¥â, çâ® ¬ âà¨ç-ë© í«¥¬¥-â hJ0M0 0j S^ jJM i ¬®¦¥â ¡ëâì ®â«¨- ç¥- ®â -ã«ï «¨èì ¯à¨ M0 = M . А- «®£¨ç-®, ¨§ á®®â-®è¥-¨ï

hJ0M0 0j [J^2; S^] jJM i = 0

á«¥¤ã¥â, çâ® íâ®â ¦¥ ¬ âà¨ç-ë© í«¥¬¥-â ¬®¦¥â ¡ëâì ®â«¨ç¥- ®â -ã- «ï «¨èì ¯à¨ J0 = J . • ª®-¥æ, à áᬠâਢ ï ¬ âà¨ç-ë¥ í«¥¬¥-âë ®â

®¯¥à â®à-ëå à ¢¥-á⢠⨯ J^−S^J^+ = S^J^−J^+, ¯®«ã稬, çâ® ®¡á㦤 - ¥¬ë© ¬ âà¨ç-ë© í«¥¬¥-â ¢®®¡é¥ -¥ § ¢¨á¨â ®â M (¯à¨ M0 = M ), â®

¥áâì

hJ0M0 0j S^ jJM i = a(J; ; 0) JJ0 M M 0 :

‚ ª ç¥á⢥ ¯à®á⮣® ¯à¨¬¥à ¢¥ªâ®à-®£® ®¯¥à â®à à áᬮâਬ ¥¤¨-¨ç-ë© ¢¥ªâ®à n = r=r. ˆ§¢¥áâ-ë á®®â-®è¥-¨ï ¬¥¦¤ã ª®¬¯®-

-¥-â ¬¨ ¢¥ªâ®à n ¨ áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ äã-ªæ¨ï¬¨ Y1m( ; '):

nz = v

= nx

i ny =

v

1 :

4 Y10; n

8 Y1

u

u

3

3

u

u

t

t

Žâáî¤ ïá-®, çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ nzjJM i ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ	¢«¥-®
¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨æ¨¨ äã-ªæ¨© jm á m = M ¨ j = J − 1, J	, J + 1

¯à¨ J

1

= 1 2

3 2

= 1

ë© í«¥-

¨ j

=

; =

¯à¨ J

2 .

•®í⮬㠬 âà¨ç-

=

¬¥-â J0M0 0

j

n

JM

i

¬®¦¥â ¡ëâì ®â«¨ç¥- ®â -ã«ï ¯à¨ M0

M ¨

J0

=

h

z j

= 1

J; J

1 ¯à¨ J

1 ¨ J0

=2; 3=2 ¯à¨ J = 1=2. А- «®£¨ç-®, ¤«ï

®â¡®à

M0

=

M 1 ¨ ⥠¦¥ ¯à -

hJ0M0 0j n jJM i ¯®«ã稬 ¯à ¢¨«

¢¨«

®â¡®à

¤«ï J . ‘ãé¥á⢥--ë¬ ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠íâ¨å ¯à ¢¨«

®â¡®à ¡ë« -¥ ª®-ªà¥â-ë© ¢¨¤ ®¯¥à â®à

n,

¥£® ¢¥ªâ®à-ë© å à ª-

â¥à. •®í⮬㠨 ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à-®£® ®¯¥à â®à V^ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¯à ¢¨« ®â¡®à : ¬ âà¨ç-ë© í«¥¬¥-â

hJ0M0 0j V^z jJM i

®â«¨ç¥- ®â -ã«ï «¨èì ¯à¨ M0 = M , ¬ âà¨ç-ë© í«¥¬¥-â

hJ0M0 0j V^+ jJM i

®â«¨ç¥- ®â -ã«ï «¨èì ¯à¨ M0 = M + 1, ¬ âà¨ç-ë© í«¥¬¥-â

hJ0M0 0j V^− jJM i

®â«¨ç¥- ®â -ã«ï «¨èì ¯à¨ M0 = M − 1, ¨ ¢® ¢á¥å íâ¨å á«ãç ïå J0 =

J − 1, J , J + 1 ¯à¨ J 1 ¨«¨ J0 = 1=2; 3=2 ¯à¨ J = 1=2.

81

• ©¤¨â¥ ¯à ¢¨« ®â¡®à ¯® M ¤«ï ¢¥ªâ®à-®£® ®¯¥à â®à V^, ¨á- ¯®«ì§ãï á®®â-®è¥-¨¥

[J^z; V^ ] = V^ ;

á«¥¤ãî饥 ¨§ [J^m; V^n] = i"mnl V^l .

„®¯®«-¨â¥«ì-ë¥ ¯à ¢¨«					®â¡®à . —¥â-®áâì á®áâ®ï-¨ï V^ Ylm à ¢-
	−			=		h	j j i
- (		1)l, ¥á«¨ V^ | ¯®«ïà-ë© ( ªá¨ «ì-ë©) ¢¥ªâ®à, ¯®í⮬ã				l0m0	V^ lm
®â«¨ç¥- ®â -ã«ï «¨èì ¯à¨ l0			=		l 1 ¤«ï ¯®«ïà-®£® ¢¥ªâ®à	(- ¯à¨-
¬¥à, ¤«ï V = r) ¨ «¨èì ¯à¨ l0					l ¤«ï ªá¨ «ì-®£® ¢¥ªâ®à (- ¯à¨¬¥à,
¤«ï V^ = ^l = r p^=h).

x28. “á।-¥-¨¥ ¢¥ªâ®à-®£® ®¯¥à	â®à
ˆá¯®«ì§ãï ¯à ¢¨« ª®¬¬ãâ 樨 [J^m; V^n] = i"mnl V^l , ¯®ª ¦¨â¥, çâ®
J^2 (J^2 V^−V^ J^2)−(J^2 V^−V^ J^2) J^2 = J^2; [J^2; V]^		^2	^ ^ ^2	−	4J^ (J^V)^
	= 2	J	V + V J		:

‚§ï¢ ®â í⮣® á®®â-®è¥-¨ï ¬ âà¨ç-ë© í«¥¬¥-â ¯® á®áâ®ï-¨ï¬ jJM0 i ¨ jJM i, ®â«¨ç î騬áï «¨èì §- ç¥-¨ï¬¨ ¯à®¥ªæ¨¨ J^z , ¯®«ã稬 ä®à¬ã«ã ãá।-¥-¨ï

JM0

V^ JM

=

1

JM0 J^ JM

JM

J^V^ JM

;

i

J(J + 1)h

i h

h

j j

j j

j

j

i

â® ¥áâì ãá।-¥--ë© ¢¥ªâ®à V - ¯à ¢«¥- ¯® ãá।-¥--®¬ã ¢¥ªâ®àã

J. ‚ ç áâ-®áâ¨, ¯à¨ M0 = M ¯®«ãç ¥¬

hJM jV^jJM i = C (0; 0; M );

1

hJM j J^V^ jJM i :

C =

J (J + 1)

‚Ž••Ž‘›

28.1.• ©â¨ ( a)( b); ( a)n; ei a; e a; U mU−1, £¤¥ U = ei z '=2.

28.2.‡ ¤ ç 5.4 ƒŠŠ. Œ®£ãâ «¨ ª¢ ¤à âë ¯à®¥ªæ¨© í«¥ªâà®--®£®

ᯨ- - ®á¨ x; y; z ¨¬¥âì ®¤-®¢à¥¬¥--® ®¯à¥¤¥«¥--ë¥ §- ç¥-¨ï? 28.3. ‡ ¤ ç 5.12 ƒŠŠ. •®ª § âì, çâ® ¤«ï á®áâ®ï-¨ï, ®¯¨áë¢ ¥¬®-

£® ᯨ-®¢®© ¢®«-®¢®© äã-ªæ¨¥©

01

= eiγ @ cos A sin ei

82

(íâ® - ¨¡®«¥¥ ®¡é¨© ¢¨¤ -®à¬¨à®¢ --®© ¢®«-®¢®© äã-ªæ¨¨ ᯨ- -®¢®£® á®áâ®ï-¨ï ç áâ¨æë ᮠᯨ-®¬ s = 1=2 ¯à¨ 0 =2, 0 < 2 ), ¬®¦-® 㪠§ âì â ªãî ®áì ¢ ¯à®áâà -á⢥, ¯à®¥ªæ¨ï

ᯨ-	- ª®â®àãî ¨¬¥¥â ®¯à¥¤¥«¥--®¥ §- ç¥-¨¥ +1=2. • ©â¨ ¯®«ïà-
-ë© ¨	§¨¬ãâ «ì-ë© ã£«ë í⮩ ®á¨.
28.4. • ©â¨
	Z		^l		1
				d ; £¤¥	= p		(Y11 + Y1−1) ;
						2

¨ áà ¢-¨âì ¯®«ãç¥--ë© à¥§ã«ìâ â á १ã«ìâ ⮬ ¯à¥¤ë¤ã饩 § ¤ - ç¨.

28.5. • ©â¨ , ¤«ï ª®â®à®© s^ = 1		. ’® ¦¥ ¤«ï s^ = 1		.
x	2	y	2

28.6. ‡ ¤ ç 5.15 ƒŠŠ. „«ï ç áâ¨æë ᮠᯨ-®¬ s = 1=2 㪠§ âì § ª®- ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ᯨ-®¢®© ¢®«-®¢®© äã-ªæ¨¨

0 1

a= @bA

¯à¨ ¢à é¥-¨¨ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨- â - 㣮« ' ®â-®á¨â¥«ì-® ®á¨, - -

¯à ¢«¥-¨¥ ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥¤¨-¨ç-ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ n.

•®ª § âì, çâ® ¢¥«¨ç¨- 1 2 a1a2 + b1b2 -¥ ¬¥-ï¥âáï ¯à¨ ãª § -- -®¬ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¨, â® ¥áâì ï¥âáï ᪠«ï஬.

28.7. •®ª § âì, ç⮠㣫®¢ ï ¢®«-®¢ ï äã-ªæ¨ï á®áâ®ï-¨ï p1=2 (l = 1; s = 1=2; j = 1=2) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥- ¢ ¢¨¤¥ (− n) , £¤¥ n

|®àâ à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à , | ®¡ëç-ë© ¤¢ã媮¬¯®-¥-â-ë© á¯¨-®à.

28.8.• ©â¨ ®â-®á¨â¥«ì-ë¥ ¨-â¥-ᨢ-®á⨠à á饯«¥--ëå ¯ãç- ª®¢ -¥©âà®-®¢ ¢ ®¯ë⥠⨯ ˜â¥à- {ƒ¥à« å , ¥á«¨ ¯®«ïਧ®¢ --ë¥

¢¤®«ì ®á¨ x -¥©âà®-ë ¤¢¨¦ãâáï ¢¤®«ì ®á¨ z, ¬ £-¨â-®¥ ¯®«¥ B - - ¯à ¢«¥-® ¢ ¯«®áª®á⨠xy ¯®¤ 㣫®¬ = 450 ª ®á¨ x.

28.9. • ᯠ¤ ! p − (”¥©-¬ -®¢áª¨¥ «¥ªæ¨¨ ¯® 䨧¨ª¥. ‚ë¯. 9, £«. 15, x 5).

28.9. ‘¯¨- ¢ ¬ £-¨â-®¬ ¯®«¥ (§ ¤ ç¨ 7.40-7.42 ¨ 7.44 ƒŠŠ).

•©â¨ ®¯¥à â®àë ᪮à®á⨠v^ ¨ ã᪮à¥-¨ï ^a (¢ è।¨-£¥à®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¨) -¥©âà «ì-®© ç áâ¨æë (- ¯à¨¬¥à, -¥©âà®- ), - å®- ¤ï饩áï ¢ ¬ £-¨â-®¬ ¯®«¥.

•©â¨ § ¢¨á¨¬®áâì ®â ¢à¥¬¥-¨ ᯨ-®¢®© äã-ªæ¨¨ ¨ á।-¨å §- -

ç¥-¨© ª®¬¯®-¥-â ᯨ- -¥©âà «ì-®© ç áâ¨æë ᮠᯨ-®¬ s = 1=2 ¨ ¬ £-¨â-ë¬ ¬®¬¥-⮬ , - 室ï饩áï ¢ ®¤-®à®¤-®¬ ¯®áâ®ï--®¬ ¬ £-¨â-®¬ ¯®«¥ B.

83

Ž¡®¡é¨âì १ã«ìâ ⠯।ë¤ã饩 § ¤ ç¨ - á«ãç © ®¤-®à®¤-®- £® -¥¯®áâ®ï--®£® ¬ £-¨â-®£® ¯®«ï, - ¯à ¢«¥-¨¥ ª®â®à®£® ®áâ ¥âáï -¥¨§¬¥--ë¬, â. ¥. B(t) = B(t) n0.

— áâ¨æ ᮠᯨ-®¬ s = 1=2 ¨ ¬ £-¨â-ë¬ ¬®¬¥-⮬ - 室¨âáï ¢ ®¤-®à®¤-®¬ ¬ £-¨â-®¬ ¯®«¥ B(t) ¢¨¤

Bx = B0 cos !0t ; By = B0 sin !0t ; Bz = B1 ;

£¤¥ B0; B1; !0 { ¯®áâ®ï--ë¥ ¢¥«¨ç¨-ë.

•à¨ t = 0 ç áâ¨æ - 室¨« áì ¢ á®áâ®ï-¨¨ á ¯à®¥ªæ¨¥© ᯨ- - ®áì z, à ¢-®© sz = 1=2. • ©â¨ ¢¥à®ïâ-®áâì à §«¨ç-ëå §- ç¥-¨© ¯à¥ªæ¨¨ ᯨ- - ®áì z ¢ ¬®¬¥-⠢६¥-¨ t. Ž¡á㤨âì, ¢ ç áâ-®áâ¨, á«ãç ©, ª®£¤ jB1=B0j 1; ®¡à â¨âì ¢-¨¬ -¨¥ - १®- -á-ë© å - à ªâ¥à § ¢¨á¨¬®á⨠¢¥à®ïâ-®á⨠\¯¥à¥¢®à®â " ®â ç áâ®âë !0 ¢ í⮬ á«ãç ¥.

28.10. ‘«®¦¥-¨¥ ¬®¬¥-⮢	1		1	,	1		1	,	1		1	(¢ ⮬ ç¨á«¥ á
	2		2								2

¨á¯®«ì§®¢ -¨¥¬ â ¡«¨æ ª®íää¨æ¨¥-⮢ Š«¥¡è -ƒ®à¤ - ).

28.11. • ©â¨ á।-¥¥ §- ç¥-¨¥ ¬ £-¨â-®£® ¬®¬¥-â í«¥ªâà®- ¢ á®áâ®ï-¨¨ p1=2 á jz = 1=2 ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨: ) ¨á¯®«ì§ãï १ã«ìâ âë ¯à¥¤ë¤ã饩 § ¤ ç¨; ¡) ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã ãá।-¥-¨ï ¢¥ªâ®à-®£® ®¯¥à â®à .

28.12. ‘¨á⥬ á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ᯨ-®¢ s1 = s2 = 1=2, ¢§ ¨¬®¤¥©- á⢨¥ ª®â®àëå ¨¬¥¥â ¢¨¤ Ks1s2. • ©â¨ ã஢-¨ í-¥à£¨¨ á¨áâ¥¬ë ¢® ¢-¥è-¥¬ ¬ £-¨â-®¬ ¯®«¥ B, ¥á«¨ £¨à®¬ £-¨â-ë¥ ®â-®è¥-¨ï à ¢-ë g1 ¨ g2.

28.13.• ©â¨ ¯à ¢¨« ®â¡®à ¤«ï ¬ âà¨ç-ëå í«¥¬¥-⮢ ¤¨¯®«ì-

-®£® hl0m0jxj jlmi ¨ ª¢ ¤à㯮«ì-®£® hl0m0jxjxkjlmi ¬®¬¥-⮢.

28.14.• ©â¨ ¢ ¡®à-®¢áª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨ á¥ç¥-¨¥ à áá¥ï-¨ï ¡ë-

бвале -¥©ва®-®¢ ªг«®-®¢бª¨¬ ¯®«¥¬ (‡ ¤ з 13.43 ƒŠŠ, в ª¦¥ x 42 ¨§ ª-¨£¨ •¥à¥áâ¥æª®£®, ‹¨äè¨æ ¨ •¨â ¥¢áª®£® "Š¢ -⮢ ï í«¥ªâத¨- ¬¨ª " (Œ.: • 㪠, 1989).

x29. ’®¦¤¥á⢥--®áâì ç áâ¨æ

•« £®¤ ап ®вбгвбв¢¨о в®з-®© «®ª «¨§г¥¬®бв¨ ¢ ª¢ -в®¢®© ¬¥е -¨- ª¥ ⮦¤¥бв¢¥--®бвм з бв¨ж ¯а¨¢®¤¨в ª ¨е -¥а §«¨з¨¬®бв¨. •®н⮬г

(x2; x1) = ei (x1; x2):

84

’ ª ª ª ¤¢ãåªà â- ï ¯¥à¥áâ -®¢ª ¤¢ãå ç áâ¨æ | ⮦¤¥á⢥-- ï ®¯¥à æ¨ï, â®

(x2; x1) = (x1; x2):

•« £®¤ àï ¯à¨-樯ã á㯥௮§¨æ¨¨, ᨬ¬¥âà¨ï ¢á¥å á®áâ®ï-¨© ä¨- §¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ®¤¨- ª®¢ .

‚®«-®¢ ï äã-ªæ¨ï ¡®§®-®¢ ᨬ¬¥âà¨ç-

®â-®á¨â¥«ì-® ¯¥à¥áâ -

-®¢®ª

(x2; x1) = 8 p1

[

a(x1)

b(x2) + a(x2) b(x1)]; a 6= b;

2

<

a(x1) b(x2); a = b:

:

‚®«-®¢ ï äã-ªæ¨ï ä¥à¬¨®-®¢

-â¨á¨¬¬¥âà¨ç- :

1

[

(x1)

( 2)

(x2)

( 1)]

a = b;

(x2; x1) = ( p2

a

b x 0−

a

=

b:

b x ;

6

;

a

•à¨-樯 • 㫨: ¤¢ ä¥à¬¨®- -¥ ¬®£ãâ - 室¨âìáï ¢ ®¤-®¬ á®áâ®ï-¨¨. Ž- ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â áâ ¡¨«ì-®áâì ⮬ | á¨á⥬ë í«¥ª- âà®-®¢ (ç áâ¨æ ᮠᯨ-®¬ 1/2).

‚५ï⨢¨áâ᪮© ª¢ -⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¤®ª §ë¢ ¥âáï ⥮६

•ã«¨ ® á¢ï§¨ ᯨ- á® áâ â¨á⨪®©: ç áâ¨æë á æ¥«ë¬ á¯¨-®¬ | ¡®§®-ë, ç áâ¨æë á ¯®«ãæ¥«ë¬ á¯¨-®¬ | ä¥à¬¨®-ë.

‘®áâ ¢- ï ç áâ¨æ , ¯®áâ஥-- ï ¨§ ç¥â-®£® ç¨á« ä¥à¬¨®-®¢ | ¡®§®-, ¨§ -¥ç¥â-®£® ç¨á« ä¥à¬¨®-®¢ | ä¥à¬¨®-.

x30. “à ¢-¥-¨¥ Š«¥©- {”®ª {ƒ®à¤®-

Ž¯¥à â®àë

p^0 = Hc^ = ich @t@ ¨ ^p = −ihr

®¡à §ãîâ 4-¬¥à-ë© ¢¥ªâ®à

p^ = ih(1c @t@ ; −r) = ih@ :

ˆ§ ª« áá¨ç¥áª®£® á®®â-®è¥-¨ï ¤«ï ª®¬¯®-¥-â 4-¨¬¯ã«ìá ५ïâ¨-

¢¨áâ᪮© ç áâ¨æë

p − eA!2 = m2c2 ; c

85

£¤¥ A = (A0

= '; A) | 4-¯®â¥-æ¨ « í«¥ªâ஬ £-¨â-®£® ¯®«ï, á«¥-

¤ã¥â ५ï⨢¨áâ᪮¥ ¢®«-®¢®¥ ãà

¢-¥-¨¥ (1926 − 1927 £.)

2

i

h

@t

e

'!2

− −

ih

e

A!23 = m2c2 :

(30:1)

4

c

− c

r − c

5

—¥âëà¥å¬¥à- ï ¯«®â-®áâì ⮪

j =

1 ( ih@

e

A !

+

−

ih@

e

A !

)

2

− c

c

á®åà -ï¥âáï:

@ j = 0:

“à ¢-¥-¨¥ (30.1) ¨ ¯«®â-®áâì ⮪

j ¨-¢ ਠ-â-ë ®â-®á¨â¥«ì-® ª -

«¨¡à®¢®ç-®£® ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï (áà ¢-¨ á -¥à¥«ï⨢¨áâ᪨¬ á«ãç ¥¬

¢ x19)	A ! A − @ f (x); ! eief (x)=hc ;						(30:2)
£¤¥ f (x) | ¯à®¨§¢®«ì- ï äã-ªæ¨ï.
•¥«ï⨢¨áâáª ï ¯®¯à ¢ª ª § ª®-ã ¤¨á¯¥àᨨ, â® ¥áâì ª § ¢¨á¨¬®-
á⨠í-¥à£¨¨ ®â ¨¬¯ã«ìá ,
				p2		(p2)2
	V = cqm2c2 + p2 − mc2 −
					−
				2m		8m3c2

á-¨¬ ¥â ¢ë஦¤¥-¨¥ ¯® l

¢ ᯥªâॠªã«®-®¢®© § ¤ ç¨, ¯à¨¢®¤¨â ª

â®-ª®© áâàãªâãॠã஢-¥©. ‚®§-¨ª îé ï ¯®¯à ¢ª

ª í-¥à£¨¨ à ¢-

- (á¬. ãà ¢-¥-¨ï (10.1) ¨ (17.2))

Enl

= nl V^ nl

=

1

nl

p^2

2 nl

=

2

2 *

2

h j

j

i

−

mc

m

@

A

2

nl =

0

1

=

1

nl

En +

e2

me4 2

1

3

: (30:2)

2 2

2 2

3

+ 1 2 4

*

0

r

1

+

−

n

l

− mc

h

= − n

@

A

@

A

‡¤¥áì

e2

1

=

hc

137

| ¡¥§à §¬¥à- ï ª®-áâ -â , ¯®áâ®ï-- ï â®-ª®© áâàãªâãàë.

= 1

9

= 3

l

2

> n

>

=

0

>

>

;

86

l = 01					) n = 2
l = 0					g n = 1
’®-ª ï áâàãªâãà ã஢-¥©			⮬ ¢®¤®à®¤ ᮣ« á-® (30.2).
Ž¤- ª® ॠ«ì-ë© á¯¥ªâà ⮬			¢®¤®à®¤ ®â«¨ç ¥âáï ®â í⮣® ᯥª-

âà . •à¨ç¨- ¢ ⮬, çâ® ãà ¢-¥-¨¥ (30.1) -¥ ãç¨âë¢ ¥â ᯨ- í«¥ª- âà®- .

x31. “à ¢-¥-¨¥ „¨à ª

…áâ¥á⢥--®¥ ५ï⨢¨áâ᪮¥ ®¡®¡é¥-¨¥ ãà ¢-¥-¨ï • 㫨 (á¬. x25)

(ih@t

−

e') =

1

" p^

e

A!#2

2

m

− c

ª®â®à®¥ ãç¨âë¢ ¥â ᯨ- í«¥ªâà®- , ¢ë£«ï¤¨â â ª:

8

γ0

i

h

@t

−

e'

−

γ p^

e

A

2

−

m2c29

= 0;

(31:1)

c

<"

!

− c !#

=

:

;

£¤¥ γ = (γ0; γ ) | -¥ª®â®àë¥ ¬ âà¨æë. Ž¯¥à â®à ¢â®à®£® ¯®à浪

f:::g ¢ «¥¢®© ç

á⨠ãà

¢-¥-¨ï (31.1) ä ªâ®à¨§ã¥âáï:

"γ

ih@

e

A !

+ mc# "γ ih@

e

A !

−

mc#

:

− c

− c

”ã-ªæ¨ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢-¥-¨î (31.1), ¥á«¨ ®- ï¥âáï à¥- è¥-¨¥¬ ãà ¢-¥-¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪

"γ ih@		e	A !			−	mc# = 0:	(31:2)
	− c
•â® ¨ ¥áâì ãà ¢-¥-¨¥ „¨à ª	(1928 £.).
‘ª®«ìª® ª®¬¯®-¥-â ã ¢®«-®¢®© äã-ªæ¨¨ ?
•¥áª®-¥ç-® ¬ «ë© ¯®¢®à®â 2-ª®¬¯®-¥-â-®£® ᯨ-®à								- 㣮«
¢®ªà㣠®á¨ n					n! '
'0 = 1 +				i
	2
á®åà -ï¥â P -¨-¢ ਠ-â-®áâì (â® ¥áâì ¨-¢ ਠ-â-®áâì ®â-®á¨â¥«ì-®
®âà ¦¥-¨©), â ª ª ª ¨ ¬®¬¥-â , ¨ ®áì ¯®¢®à®â n |								ªá¨ «ì-ë¥

87

¢¥ªâ®àë; ᮮ⢥âá⢥--®, n | ᪠«ïà. •® ¥¤¨-á⢥--® ¢®§¬®¦-®¥ ¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥ ‹®à¥-æ ᮠ᪮à®áâìî v ¤«ï 2- ª®¬¯®-¥-â-®£® ᯨ-®à

'0 = (1 + v) '

- àãè ¥â P -¨-¢ ਠ-â-®áâì, â ª ª ª ᪮à®áâì v | ¯®«ïà-ë© ¢¥ª- â®à, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, v | ¯á¥¢¤®áª «ïà (â® ¥áâì ¬¥-ï¥â §- ª ¯à¨ ®âà ¦¥-¨¨ ª®®à¤¨- â). •®í⮬㠯à¨å®¤¨âáï ¢¢®¤¨âì ¢â®à®© ᯨ-®à. …᫨

P^ ' = '; â® P^ = − :

ˆ ⮣¤ ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥ ‹®à¥-æ ¢¨¤

'0 = '	−	1 v ; 0 = + 1 v '
		2	2
P -¨-¢ ਠ-â-®áâì á®åà	-ï¥â.

„¢ã媮¬¯®-¥-â-ë¥ á¯¨-®àë ' ¨ ®¡к¥¤¨-повбп ¢ 4-ª®¬¯®-¥-в-л© б¯¨-®а, ¨«¨ ¡¨б¯¨-®а

' !

= :

• ©¤¥¨¬ 4 4 ¬ âà¨æë γ . ‘¢®¡®¤-®¥ ãà ¢-¥-¨¥ „¨à ª (γ p^ − mc) = 0 ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ®¯¥à â®à γ p^ +mc ¤®«¦-® ¯¥à¥©â¨ ¢ (^p2 − m2c2) = 0. Žâáî¤ á«¥¤ã¥â

γ γ + γ γ = 2g I:

•à¨ ®âà ¦¥-¨¨ ª®®à¤¨- â p^0 -¥ ¨§¬¥-ï¥âáï, p^ ¨§¬¥-ï¥â §- ª. •®- í⮬ã

P^(γ0p^0 − γ p)^ = (γ0p^0 + γ p^) P^ :

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ âà¨æ P^ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬
P^γ0 = γ0P^; P^γ = −γP^ :
Ÿá-® ¯®í⮬ã, çâ® γ0 = P^. ‘ ¤à㣮© áâ®à®-ë, ¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î,
P^ ' ! =	' ! ;
	−

â ª çâ®	! :
γ0 = P^ = 0 −I
I 0

88

ˆ§ P^γ + γP^ = 0 á«¥¤ã¥â, çâ®

γ = 0	B !	:
C	0
А á®®â-®è¥-¨¥

γmγn + γnγm = −2 mn I

㤮¢«¥â¢®àï¥âáï, ¥á«¨ Bn = −Cn = n, £¤¥ n | ¬ âà¨æë • 㫨.

ˆâ ª,	;	γ = − 0 !	:
γ0 = 0 −I !
I 0		0

”ã-ªæ¨ï = +γ0 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢-¥-¨î 1

[γ (−i@ − eA ) − m] = 0;

£¤¥ ¯à®¨§¢®¤- ï @ ¤¥©áâ¢ã¥â - «¥¢®. 4-¬¥à- ï ¯«®â-®áâì ⮪

j = γ

㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢-¥-¨î -¥¯à¥àë¢-®á⨠@ γ = 0.

„«ï ¤¨à ª®¢áª®© ç áâ¨æë ¯«®â-®áâì ¢¥à®ïâ-®áâ¨ à ¢-

% = + ;
¯«®â-®áâì ⮪ |
j = + ;
£¤¥ ¬ âà¨æë	0	! :
= γ0γ =
0

íନ⮢ë.

“à ¢-¥-¨¥ „¨à ª ¨ ¯«®â-®áâì ¤¨à ª®¢áª®£® ⮪ , à §ã¬¥¥âáï, ¨-¢ ਠ-â-ë ®â-®á¨â¥«ì-® ª «¨¡à®¢®ç-®£® ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï (30.2).

‘¢®¡®¤-®¥ ¤¢¨¦¥-¨¥ ¤¨à ª®¢áª®© ç áâ¨æë

C¢®¡®¤-®¬ã ¤¢¨¦¥-¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯«®áª ï ¢®«-

(x) = u(p)eip x ;

£¤¥ ¡¨á¯¨-®à u(p) 㤮¢«¥â¢®àï¥â á¨á⥬¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢-¥- -¨©

(γ p − m) u(p) = 0 :

1 ‡¤¥áì ¨ -¨¦¥ ¢ x32 ¯®« £ ¥¬ h = 1, c = 1.

89

„«ï ¤¢ã媮¬¯®-¥-â-ëå ᯨ-®à®¢, ç¥à¥§ ª®â®àë¥ ¢ëà ¦ ¥âáï

'

!

u = ;

¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬ã ãà ¢-¥-¨©

(E − m) ' − p = 0 ; p ' − (E + m) = 0 :

•â á¨á⥬ ¨¬¥¥â -¥-ã«¥¢®¥ à¥è¥-¨¥, ¥á«¨ ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à ¢¥- -ã«î, â® ¥áâì ¯à¨ ãá«®¢¨¨

E2 = p2 + m2:

‚¢¥¤¥¨¬ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨©, ¯®«®¦¨â¥«ì-ë© ª®à¥-ì

" = +q

:

p2 + m2

‘ãé¥áâ¢ãîâ ¤¢¥ ¢®§¬®¦-®áâ¨(à¨á. 12):

1.

p

E = " ; =

' :

" + m

•à¨ -®à¬¨à®¢ª¥ '+' = 1, u+u = 1,

u"p = v

p

" + m '

; A =

2

+

u

"

A'

!

"

m

u

2.

t

";p = v

E = "; u

" + m −A

:

−

−

u

!

2

"

u

t

—¥âëॠª®¬¯®-¥-âë ¢®«-®¢®© äã-ªæ¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¤¢ã¬ ¢®§-

¬®¦-ë¬ ®à¨¥-â æ¨ï¬ ᯨ-

¯à¨ ¤¢ãå ¢®§¬®¦-ëå §- ª å í-¥à£¨¨.

ˆáª«îç¨âì á®áâ®ï-¨ï á ®âà¨æ ⥫ì-®© í-¥à£¨¥© -¥«ì§ï, â ª ª ª

¢ ª¢ -⮢®© ¬¥å -¨ª¥ ¢®§¬®¦-ë ¯¥à¥å®¤ë ¬¥¦¤ã á®áâ®ï-¨ï¬¨. „¨- à ª ¯®áâ㫨஢ «, çâ® ã஢-¨ á ®âà¨æ ⥫ì-®© í-¥à£¨¥© § ¯®«-¥-ë. ’®£¤ ¯¥à¥å®¤®¢ - -¨å -¥â ¢ ᨫ㠯à¨-樯 • 㫨. „ëઠ¢ ¤¨à - ª®¢áª®¬ ¬®à¥ ¢¥¤¥â á¥¡ï ª ª ç áâ¨æ ⮩ ¦¥ ¬ ááë, çâ® ¨ í«¥ªâà®-, -® á ¯à®â¨¢®¯®«®¦-ë¬ § à冷¬, â® ¥áâì ï¥âáï ¯®§¨âà®-®¬.

•®¦¤¥-¨¥ í«¥ªâà®--¯®§¨âà®--ëå ¯ à ¯®áâ®ï--ë¬ ¢-¥è-¨¬ í«¥ª- âà¨ç¥áª¨¬ ¯®«¥¬

•®¦¤¥-¨¥ í«¥ªâà®--¯®§¨âà®--ëå ¯ à ¢-¥è-¨¬ í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬ ¯®- «¥¬ | § ¬¥ç ⥫ì-®¥ ¯à¥¤áª § -¨¥ ५ï⨢¨áâ᪮© ª¢ -⮢®© ¬¥- å -¨ª¨ (‡ ãâ¥à, 1931 £.; ˜¢¨-£¥à, 1951 £.). • ¯à殮--®áâ¨ í«¥ª- âà¨ç¥áª®£® ¯®«ï, ¤®áâ â®ç-® ¡®«ì訥 ¤«ï ॠ«ì-®£® - ¡«î¤¥-¨ï

90